군과 물리학의 코어지oints 작용 운동량
| 5 |
|---|
차원 (n,n)의 정사각행렬은 차원 (n,0)의 열벡터 위에 작용한다. 이전에 보았듯이, (x,y) 공간에 대한 2차원 유클리드 군은 열벡터 위에 작용하지 않고, 다음과 같이 작용한다:
(51)
대신 다음과 같은 열벡터 위에 작용한다:
(52)
이는 군이 공간 X 위에 작용하는 예시이며, x ∈ X 를 의미한다. 가능한 작용은 무수히 많으며, 군 자체 위에 작용하는 경우도 포함된다. 이러한 작용은 공리들로 정의된다.
(53)
열벡터를 다음과 같이 고려하자:
(54)
여기서 x 는 예를 들어 다음과 같은 벡터들을 나타낸다:
(55)
(56)
이 벡터들은 군 작용의 공리들을 만족한다. 이제 군의 원소를 나타내는 정사각행렬을 왼쪽에서 열벡터 y 에 곱하는 연산을 고려해보자. 이것이 또한 군 작용인지 알아보자.
(57) Ag(y) = y x g
그 답은 아니다. 이것은 군 작용이 아니다. 위에서 제시된 공리들을 만족하지 않기 때문이다. 따라서 나는 이를 "역작용(anti-action)"이라 부르고, 다음과 같은 "역공리"를 따른다:
(58)
수학자들은 이러한 "역작용"을 도입할 필요가 없으며, 단 하나의 공리계만 있으면 충분하다고 말할 것이다. 물론 그렇다. 마찬가지로 다음과 같이 여겨지는 역작용:
(59) AAg(m) = g-1 x m x g
여기서 m 은 주어진 벡터이며, "g ∈ G의 원소에 대한 행렬 m 에 대한 역작용"이라 하며, g-1 은 행렬의 역행렬을 의미한다. 이는 원소 g-1 에 대한 일반적인 작용으로 간주할 수 있다.
마찬가지로, "역작용"은 단지 작용의 쌍대(dual)일 뿐이다. 나는 이 개념을 도입하는 것이 교육적인 이유로 유용하다고 느꼈다.
n개의 매개변수 pi에 의존하는 정사각행렬 군에서, 각 매개변수 pi에 대해 미분하여 dpi를 얻을 수 있다. 이러한 방식으로 얻어진 행렬들은 dpi 요소들로 이루어져 있으나, 군을 이루지 못하며, 이를 "군의 접선 벡터(tangent vector)"라 부르며, 그 "리 대수(Lie algebra)"라 불린다. 다만 이 역시 진정한 대수는 아니며, 넘어가자.
따라서 군은 군의 항등원 e 근처의 "접선 벡터" dg 위에 "역작용"을 통해 작용할 수 있다:
(60) **AAg(m) = g-1 x dg(g=e) **x g
그 결과 다음과 같은 구조를 얻는다:
(61)
그러나 역작용은 작용의 쌍대이다. 쌍대성은 스칼라 곱 S의 보존을 수반한다. 따라서 수리아우(Souriau)는 군이 자신의 운동량 공간 위에 작용하는 두 번째 군 작용 을 구성하려 했다. 그러나 이 작용, 즉 코어지oints 작용(coadjoint action) 또는 본질적 작용(essential action) 은 직접적으로 등장할 수 없었다. 따라서 그는 내가 "군이 자신의 접선 벡터 위에 작용하는 역작용"이라 부르는 중개 단계를 거쳐야 했다.
결과적으로, 찾고자 하는 작용은 군이 자신의 접선 벡터 위에 작용하는 역작용의 쌍대로서 등장한다. 그리고 역작용의 쌍대는 작용 이며, 다음과 같이 표현된다:
(62) Ag(J)
여기서 J 는 "운동량(moment)"을 의미한다. 이는 물리적 점(점질량)의 속성을 나타내는 양들의 집합이며, 이 작용, 즉 코어지oints 작용 은 이러한 속성이 운동 중 어떻게 변화하는지를 보여준다.
앞서 언급할 예정인 군 중 하나는 갈릴레이 군의 확장이며, 이후 다시 언급할 것이며, 1960년 바르그만(Bargmann)이 이름 붙인 바르그만 군이다. 이 군에 대해 이 방법을 적용하면, 그 운동량 JB 와 군이 이에 작용하는 방식을 구성할 수 있다.
수리아우는 다음과 같이 말하는 것이 습관이다:
운동량은 그림자처럼 움직임을 따른다.
아름다운 비유로, 그의 저서 『자연의 문법(Grammaire de la Nature)』에서 차용한 것이다. 점질량은 실제로 공간-시간 (x,y,z,t) 속에서 이동한다. 이 과정에서 그의 속성들이 변화하며, 이러한 변화는 군이 자신의 운동량 공간 위에 작용하는 코어지oints 작용으로 기술된다.