군과 물리학의 코어드로이트 작용 운동량
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바르그만 군의 운동량 성분을 쓰지 않겠습니다. 개략적으로 바르그만 군의 운동량을 다음과 같이 씁니다:
JB = { 스칼라 m, 그리고 운동량의 나머지 성분들 }
코어드로이트 작용은 운동량의 다양한 성분들이 어떻게 변하는지를 나타냅니다. 그러나 이 코어드로이트 작용은 간단한 관계로 시작합니다:
(63) m' = m
바르그만 군의 코어드로이트 작용은 운동량 공간 위에서 시작하여 질량을 보존함으로써, 질량이 결국 순수하게 기하학적인 성격을 갖게 됩니다.
포인카레 군의 운동량 공간 (Jp) 위에서의 코어드로이트 작용의 구성**
이제 완전히 헤매고 있다면, 그냥 넘어가도 됩니다. 이건 정상적인 반응이며, 페이지가 진행될수록 점점 더 어려워질 것입니다. 지금쯤이면 이 글이 누구를 위한 것인지 정확히 알 수 없을 정도입니다. 아마도 이론 물리학자나 수학자들에게는 맞을 수 있지만, 아마도 수도사나 철거공에게는 맞지 않을 것입니다. 그러나 대학 또는 물리학 학사 과정을 밟는 학생이라면, 꼭 붙잡고 따라오려는 의지가 있다면 따라올 수 있을 것입니다. 이건 단지 행렬들일 뿐입니다.
모든 것은 4×4 행렬로 이루어진 로렌츠 군에서 시작합니다. 이 군의 원소는 L로 표시됩니다.
이 행렬들은 다음과 같은 행렬 G를 출발점으로 정의됩니다:
(64)
다음 조건을 만족합니다:
(65) tL G L = G
여기서 tL은 행렬 L의 전치 행렬을 의미합니다.
이러한 행렬 L들은 군을 이룹니다.
증명
항등원은 L = 1입니다.
L1과 L2가 집합의 두 원소라고 하면, 그 곱 L1L2가 군에 속하는지 확인해 봅시다. 만약 그렇다면:
t( L1L2 ) G L1L2 = G
그런데,
t( A B ) = t B t A
이므로,
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
다음으로 행렬 L의 역행렬을 구해 봅시다. L의 정의적 성질에서 시작합니다:
tL G L = G
오른쪽에 L-1을 곱합니다:
tL G L L-1 = G L-1
tL G = G L-1
왼쪽에 G를 곱합니다:
G tL G = G G L-1
G tL G = L-1
따라서 L의 역행렬은 다음과 같습니다:
L-1 = G tL G
즉,
(66)
시간-공간 벡터입니다. 행렬 G는 민코프스키 계량에서 유래하며, 이는 c = 1일 때 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
(67)
연습문제: 역행렬이 다음을 만족함을 보이세요:
(68)
이제 시간-공간 이동 벡터를 도입합니다:
(69)
이로부터 포인카레 군의 원소 gp를 구성합니다:
(70)
연습문제: 이것이 군을 이룬다는 것을 보이고, 역행렬을 계산하세요:
(71)
다음은 "군의 접선 벡터", 즉 그 "리 대수"의 원소입니다:
(72)
이로부터 반작용을 계산합니다:
(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp
계산의 편의를 위해 다음 사실을 주목합니다:
(74) G d L
는 반대칭 행렬입니다. 이를 다음과 같이 부릅니다:
(75)
따라서,
(76)
다음과 같이 둡니다:
(77)
이 자료를 바탕으로 반작용을 구성합니다:
(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp
모든 계산을 마친 후, 다음 변환을 얻게 됩니다:
(79)
단순한 행렬 계산 부분을 건너뛰고 싶다면, 아래 식 (80)을 참조하세요.
(79a)
(79b)
따라서 반작용의 성분은 다음과 같습니다:
(79c)
그러나,
(79d)
따라서,
(79e)
그리고 GG = 1이므로,
(79f)
결과적으로 다음 변환을 얻습니다:
(79g)
이것이 원하는 반작용, 즉 다음 변환입니다:
(80)
