군과 물리학의 코어조인트 작용 운동량
| 8 |
|---|
(91)
이 코어조인트 작용은 행렬 형태로 표현할 수 있다.
포인카레 군의 행렬은 다음과 같다.
(92)
그 전치 행렬은 다음과 같다.
(93)
다음 행렬을 고려하자.
(94)
즉, 운동량
(95) Jp = { M , P }
를 행렬 형태로 표현하고, 다음과 같은 곱을 형성한다.
(96)
(97)
(98)
이것은 다음 행렬과 일치시킬 수 있다.
(99)
따라서 Jp는 포인카레 군의 운동량을 행렬 형태로 나타낸 것이다. 그리고 코어조인트 작용은 다음과 같이 쓸 수 있다.
(100)
연습 문제로, 독자는 공리에 기반하여 이것이 실제로 작용임을 확인해 볼 수 있다.
포인카레 군의 운동량은 다음과 같이 명시적으로 표현할 수 있다.
(101)
이 행렬은 반대칭행렬이다 (이로 인해 주대각선은 모두 0으로 구성된다). M은 행렬이다.
(102)
명시적으로 나타내면 다음과 같다.
(103)
이것은 확실히 반대칭행렬이며, 처음부터 가정한 바와 같이 6개의 매개변수에 의존한다.
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
세 번째부터의 세 개의 성분 ( fx , fy , fz)은 벡터의 성분으로, 벡터-**이동 f **를 나타낸다.
(105)
세 개의 앞선 성분 ( lx , ly , lz)은 3×3 반대칭행렬의 독립적인 성분으로, **회전량 l **를 나타낸다.
(106)
따라서 다음과 같이 된다.
(107)
벡터 P는 사차원 운동량-에너지 벡터이다.
(108)
이제 포인카레 군의 운동량을 일반적으로 명시할 수 있다.
(109)
이것이 실제로 10개의 성분을 가지는 대상임을 확인할 수 있다 (군의 차원과 동일한 수).
(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}