군과 물리학의 공대칭 작용 운동량
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스핀을 가진 입자.
포인카레 군은 점입자의 상대론적 운동을 기술한다. 마찬가지로, 나중에 제시될 표현을 갖는 바르그만 군은 점입자의 비상대론적 운동을 기술하며, 이를 '점질량'이라 부른다.
따라서 이 기법, 즉 군이 운동량 공간 위에서 공대칭 작용을 계산하는 것은 숨겨진 요소들, 즉 물체의 특성들 — 운동량의 성분들 — 을 드러내는 데 성공했다는 점에서 주목할 만하다.
흥미로운 점은, 수리아우가 제안한 이러한 접근법이 물리학자의 핵심 대상을 순수한 기하학적 대상으로서 드러낸다는 것이다. 따라서 그는 물리학의 기하학화 를 위한 전례 없는 업적을 이룩한 셈이다.
에너지와 운동량 외의 다른 성분들, 즉 '회전'과 '이동'은 물리학자에게 상당한 혼란을 준다. 이는 과연 무엇인가?
운동량 성분의 표현은 명백히 선택한 좌표계에 따라 달라진다.
가장 간단한 방법은 비상대론적 상황, 즉 바르그만 군의 분석에서 등장할 법한 공대칭 작용의 표현으로 되돌아가는 것이다.
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비밀스러운 공식이다. 이는 무엇을 위해 쓰이며, 어떻게 작동하는가?
위의 박스에서 물리학자는 익숙한 몇 가지 대상을 알아볼 수 있다:
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이는 단지 속도 벡터 { vx , vy , vz } 의 두 가지 표현일 뿐이다. 첫 번째는 열 행렬 형태로, 두 번째는 행 행렬 형태로 나타낸 것이다. 두 행렬의 곱은 스칼라가 된다:
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이것은 마치 운동 에너지와 비슷한 형태를 띤다.
m v 는 운동량이다.
전통적인 물리학자에게 점입자의 역학에 관해 알려진 것은 단지 세 가지뿐이다:
- 질량 m
- 운동량 m v
- 운동 에너지 1/2 mv²
맞다. 하지만 속도는 어떤 기준에 비해 측정되는가?
군은 또한 사람이 사물을 바라보는 시각 이기도 하다. 따라서 군을 이용해 물체를 이동시키는(유클리드 군의 경우처럼) 고정된 관찰자에 대해 물체를 이동시키는 것 외에도, 물체가 고정되어 있을 때는 관찰자가 다른 방식으로 관찰하는 것으로 볼 수 있다.
만약 이동, 즉 물체의 운반을 고려한다면, 물리학에서의 동역학적 군들(유클리드 군과는 달리 시간이 등장하는 군들)에 대해, 우리는 물체에 속도 v 와 에너지 E 를 부여함으로써 물체를 움직이게 한다고 말해야 한다.
반대로 다른 관점을 취한다면, 물체가 고정되어 있고, 자신이 움직이는 상황을 고려해보자. 이 경우 군은 어떤 의미를 갖는가?
유클리드 군은 다음과 같이 해석될 수 있다:
"다른 장소에서, 또 다른 각도에서 본 것."
"다른 장소"는 이동 벡터 를 의미한다:
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"다른 각도에서 본 것"은 회전 행렬 a 를 의미하며, 이는 공간 내에서의 회전을 나타낸다(오일러 각으로 표현할 수 있지만, 여기서는 생략한다).
동역학적 군의 경우, 이러한 관점은 더욱 풍부하게 확장되어야 한다. 바르그만 군의 맥락에서 속도 v 를 도입한다는 것은, 점질량을 다른 장소(c 벡터로 이동)에서, 다른 각도(a 회전 행렬로) 관찰하는 관찰자가, 고정된 점질량에 대해 속도 v 로 움직이고 있다는 의미이다.
또한 완전성을 위해, 모든 것을 더 복잡하게 하기 위해, 관찰자는 관측 대상인 점질량과 같은 시간에 진전되지 않는다. 그는 관측 대상과 시간 차이 Δt 만큼 이격되어 있다. 다시 말해, 그는 다른 장소를 관찰하지만, 이는 공간-시간적 장소의 이격이며, 다음과 같은 공간-시간 이동 벡터에 해당한다:
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이러한 점질량에 대해 이와 같은 '거리'를 두고 관찰할 때, 나는 무엇을 관찰할 수 있는가? 첫째, m' = m 이다.
이것은 질량에 영향을 주지 않는다.
회전을 제거함으로써 삶을 단순화할 수 있다. 다른 시간에, 이격된 상태에서, 속도 v 로 움직이는 스케이트보드 위에 앉아 점질량을 관찰하는 것만으로도 충분히 복잡하다. 더 이상 목을 비틀 필요가 있는가?
아니다. a = 1 로 하자.
그러나 일반적으로 이 세부 사항은 계산에서 간과된다. 이와 같이 특별화된 공대칭 작용은 다음과 같이 된다:
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여기서 '고려하다'는 표현은 어원적으로 의미한다. 내가 상황, 하늘, 전장, 또는 정찰기에서 촬영한 영화를 고려할 때 나는 무엇을 하는가?
법원 집행관은 이렇게 기록할 것이다:
- 현장의 상태를 고려하여...
이것은 유클리드 군에 해당하는 정적인 시각이다. 집행관은 물체를 거리 c 에서, 동시에(Dt = 0), 원칙적으로 정지해 있는 상태( v = 0)에서 관찰한다. 필요에 따라 특별한 각도에서, '특정한 각도'로 관찰한다.
반면, 정찰기에서 산책하는 장군은 속도 v ≠ 0 로 움직이는 일종의 집행관이다.
그러나 정찰기, 즉 '드론'이 촬영한 영상을 시청하는 사령관은 시간이 이격된 상황에 직면한다. 그는 다음과 같이 생각해야 한다:
- 타깃을 특정 지점에서, 기울어진 자세로, 특정 속도로, 그리고 두 시간 전에 나타났던 모습으로 고려하자...
타깃은 특별한 고유 속도를 갖지 않는다. 심지어 '고정된 시설'이라 하더라도 고정된 것으로 간주할 수 없다. 지구도 움직이며, 태양도 움직이며, 은하계도 움직인다.