군과 물리학의 코어조인트 작용 운동량
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제가 말할 수 있는 것은 다음과 같다:
- 거리 c 만큼 "목표"에서 벗어나서
- 나 자신이 속도 v 로 이동하면서
- 그 목표에 비해 시간 차이 Dt 만큼 이동한 상태에서
내 기준으로는:
--- 질량 m은 변하지 않았다.
--- 운동량 mv를 부여했다.
--- 전이량 m[c - v Dt]를 부여했다.
--- 그리고 회전 운동을 부여했다.
이 회전 운동을 명확히 하자면:
(118a)
(118b)
(118c)
또는:
(118d)
회전 행렬 l 의 세 개 독립 성분을 벡터의 성분으로 간주할 수 있다. 이 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있다:
(119)
우리 공간에서는 벡터 곱을 정의하지 않았다(즉, 오른손/왼손 방향성을 부여하지 않았다), 그러나 이를 벡터 곱으로 간주할 수 있다:
(120)
뒤집힌 v는 벡터 곱을 나타낸다. 공식에서 코어조인트 작용에 의해 주어지는 운동량의 마지막 행은 다음과 같이 된다:
(121)
l은 벡터가 아니라 행렬이지만(우리 표기법에서는 굵은 글자는 벡터든 행렬이든 모두를 가리키며, 얇은 글자는 스칼라를 의미한다).
이 벡터의 벡터 곱은 물리학자에게 익숙한 어떤 것과 유사해 보인다: 운동량 모멘트.
한 입자를 취하고, 그로부터 c 만큼 떨어져서, 속도 v 로 이동하며 관측한다. 마치 반대로, 고정된 관측자가 존재하고 그 입자가 속도 v 로 움직이고 있는 것처럼 보인다.
(122)
남은 것은 전이량 f = m[c - v Dt]이다.
이 값은 단순히 c = v Dt 를 만족시키면 사라진다. 즉, 속도 v 와 시공간 이동량 사이에 관계를 설정하는 것이다.
(123)
포인카레 군에서 유도된 운동량의 표현식을 다시 살펴보자. 전이량이 0이 되는 좌표계에서 표현하면:
(124)
입자는 운동량 내에서 특별한 선택을 한 것이다. 이러한 좌표 변환을 통해 전이량 f 를 제거하고, 회전 운동 l 과 운동량 P 의 성분을 하나의 성분(예: z 방향 운동)으로 줄일 수 있다.
(125)
따라서 포인카레 군으로 설명되는 물체는 초기에 다음을 갖는다:
- 에너지 E
- 운동량 P
- 고유 회전 운동량 l
회전 운동량은 질량 × 길이 × 속도의 차원을 가지며, 이는 플랑크 상수 h의 차원 M L² T⁻¹과 일치한다.
수리아우(1973, Dunod 출판)가 개발한 기하학적 양자화 방법은 이 회전 운동량이 다음에 비례해야 함을 보여준다:
(125b)
반정수 값으로. 즉, 광자 같은 입자는 1을 가지며, 전자, 양성자, 중성자, 중성미자 및 그 반입자 같은 다른 입자는 1/2을 갖는다.