군과 물리학의 코어드조인트 작용 운동량
| 12 |
|---|
질량이 없는 스핀 입자.
광자와 중성자와 같이 질량이 없는 입자들처럼 에너지와 운동량 사이에 직접적인 연결이 더 이상 존재하지 않는다.
(131)
m는 정지 질량을 의미하며, 이는 바르그만 군에서 나타나는 질량과 일치한다. 따라서 다음과 같다:
(132a)
(132b)
다음에 국한하자:
질량이 있는 입자들 — 양성자, 전자, 중성자 및 그 반입자들.
이 입자들은 다양한 전하와 속성들을 가지며, 이들은 포인카레 군에서 유래하지도 않는다:
- 전하 전하 e = ±1
- 바리온 전하 cB = ±1
- 렙톤 전하 cL = ±1
- 뮤온 전하 cm = ±1
- 타우 전하 ct = ±1
- 자기율 계수 v
이 모든 양들의 부호를 반전시키는 것은 C대칭을 의미한다. 따라서 다음과 같이 정리할 수 있다:
(133)
이것은 스핀과 마찬가지로 임의의 방향을 가질 수 있다.
자기모멘트는 자기율 계수 v와 스핀 s의 곱과 같다.
(134)
여기서 스핀을 굵은 글자 s로 표기하였다. 이는 입자의 스핀 방향이 임의일 수 있음을 의미한다. 반면 그 크기는 입자의 특성 중 하나이며, 본질적으로 불변하다(입자의 회전 운동의 기하학적 양자화).
C대칭, 즉 전하의 공액 변환은 자기율 계수 v를 반전시키며, 이로 인해 자기모멘트도 반전된다. 스핀은 그대로 유지된다.
영구 자석.
강한 자기장 속에 부드러운 철 조각을 두고 그 자기장을 점차 줄이면, 금속은 영구 자성을 유지하게 된다. 무슨 일이 일어난 것일까?
자기장은 전자의 스핀을 정렬시킨다. 전자는 미세한 자석처럼 작용하며, 작은 자기 이중극자처럼 행동한다.
그러나 왜 이들 전자는 우리가 부여한 방향을 유지하는 것일까? 이는 모방 때문이다. 각 전자는 이웃 전자들이 만든 자기장에 따라 정렬된다. 이웃 전자들이 모두 같은 방식으로 정렬되면서, 모든 자기모멘트는 서로 평행을 유지하게 된다. 마치 '공간의 파누르그'처럼 말이다. 다만 금속을 가열하거나 때리면, 이 아름다운 전자 배열이 무너지게 된다.
반물질의 자기모멘트.
전하 공액 변환은 디랙의 의미에서 물질-반물질 변환과 관련이 있으며, 자기율 계수의 반전으로 인해 자기모멘트도 반전된다. 스핀은 그대로 유지된다.
물론 이 C대칭은 입자의 에너지나 운동량에 영향을 주지 않는다.
로렌츠 군의 네 가지 성분.
앞서 설명했듯이, 로렌츠 군 L의 원소 L은 공리적으로 정의된다. 다음 조건을 만족해야 한다:
(135)
(136)
이 정의를 만족하는 모든 행렬 L은 군 L의 원소이다. 이는 (4,4) 형식의 행렬로, 예를 들어 다음과 같이 작용할 수 있다:
(137)
즉, 시공간에 작용할 수 있다. 이 경우 이러한 행렬이 시공간 내에서 대칭 작용을 할 수 있는지 궁금해질 수 있다. 예를 들어 x를 -x로 바꾸는 것이 가능한가? 이러한 행렬들은 서로 다른 부분집합으로 나뉠 수 있는가? 즉, 어떤 것은 이러한 작용을 하고, 어떤 것은 그렇지 않은가?
오래전(영어로는 'many beautiful candles ago'), 이러한 문제를 탐구하여 로렌츠 군이 실제로 네 가지 유형의 행렬로 구성됨을 밝혀냈다.
Ln — 공간과 시간을 모두 반전시키지 않는 것들
Ls — 공간만 반전시키는 것들
Lt — 시간만 반전시키는 것들
Lst — 공간과 시간을 모두 반전시키는 것들
이러한 집합을 군의 '성분(component)'이라 부른다. 따라서 로렌츠 군은 네 개의 성분을 가진 군이다.
지금 당장 각 성분에 속하는 행렬 네 개를 제시할 수 있다:
(138)
An = 1 (항등원)은 Ln에 속한다: 공간과 시간을 반전시키지 않음.
As는 Ls에 속한다: 공간을 반전시킴.
At는 Lt에 속한다: 시간을 반전시킴.
Ast는 Lst에 속한다: 공간과 시간을 동시에 반전시킴.
군을 구성하려면(여기서는 로렌츠 군의 부분군), 행렬 집합이 고려 중인 형식(4,4)의 항등원 1을 포함해야 한다. 오직 Ln 집합의 행렬만이 이 조건을 만족한다. 따라서 이들은 로렌츠 군의 부분군을 이룬다. 이 집합은 군의 항등원을 포함하므로, '군의 항등 성분(identity component)'이라도 부른다. 다른 집합은 부분군이 될 수 없다(항등원을 포함하지 않기 때문).
참고:
(139) At = - As
Ast = - An
따라서 다음과 같이 정의된 집합 Lo = Ln » Ls는 로렌츠 군의 부분군이며, 이를 '동조성군(orthochronous)'이라 부른다[1]. 반면 행렬 집합 Lac = Lt » Lst는 군이 아니지만, 시간 반전과 관련된 성분들을 포함하는 집합으로, '비동조성군(antichronous)'이라 부른다[12]. 완전한 로렌츠 군은 다음과 같다:
(140) L = Lo » Lac
또한 다음과 같은 원소를 관찰할 수 있다:
(141) m Lo, 여기서 m = ±1
이 원소는 완전한 군을 커버한다.