군과 물리학의 코어드준 작용 운동량
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포인카레 군의 네 가지 성분.
로렌츠 군으로부터 포인카레 군을 구성할 수 있으며, 이미 언급된 바 있다:
(142)
C는 "시공간 이동 벡터"이다.
(143)
이 포인카레 군 역시 네 가지 성분을 가지며, 각각은 로렌츠 군의 대응 성분과 관련된다.
위에서는 군이 그 운동 공간 위에서 작용하는 모습을 보여주고 있다. 그러나 더 흥미로운 것은 네 가지 성분이 운동량 에 미치는 작용이다. 참고: Souriau, 『동역학계의 구조』, Dunod 1973 (또는 영문판 Birkhauser 1997), 제3장, 197쪽, 제목: 공간과 시간의 반전.
포인카레 군과 관련된 운동량의 성분을 다시 상기해보자:
E: 에너지
p: 운동량
f: 통과량
l: 회전량
Souriau의 표기법에 가까워지기 위해 다음과 같이 부르자:
- Ln: 로렌츠 군의 중성 성분
- Ls: 공간 반전 성분
- Lt: 시간 반전 성분
- Lst: 공간과 시간을 동시에 반전하는 성분
C가 시공간 이동이므로, 포인카레 군의 네 가지 성분은 다음과 같다:
gp ( Ln , C): 중성 성분
gp ( Ls , C): 공간 반전
gp ( Lt , C): 시간 반전
gp ( Lst , C): 공간과 시간 동시 반전
이제 운동량 성분에 미치는 영향을 살펴보자. 우리는 군이 운동량 공간에 작용하는 법을 나타내는 공식을 고려해야 한다:
(144)
P는 4차원 벡터이다:
(145)
분석할 행렬을 다음과 같이 쓸 수 있다:
(146)
여기서 l = ± 1, m = ± 1.
Ln = **L **( l = 1 ; m = 1)
Ls = **L **( l = - 1 ; m = 1)
Lt = **L **( l = 1 ; m = - 1)
Lst = **L **( l = - 1 ; m = - 1)
(147)
(148)
이제 회전량과 통과량에 대한 작용을 검토하자.
(149)
그러나 우리가 관심 있는 경우 C = 0 이다.
(150)
따라서 l' = l 이고, f' = l m f
이로부터 다음을 도출할 수 있다:
(151)
gp ( Ln , C): E → E; p → p; f → f; l → l
gp ( Ls , C): E → E; p → -p; f → -f; l → l
gp ( Lt , C): E → -E; p → p; f → -f; l → l
gp ( Lst , C): E → -E; p → -p; f → f; l → l
반전은 결코 회전량 l 을 변화시키지 않는다.
반면에, 시간 반전과 에너지 반전 E → -E 는 동치이다.
회전량은 양자화되었을 때 스핀과 동치가 된다. 어떤 반전도 이를 변화시키지 않는다.
스핀(입자의 회전량 벡터의 크기로서)은 단지 하나의 수치일 뿐이다.
정지한 입자의 에너지는 mc²이다.
시간 반전은 질량 m의 반전과 동치이다.
공간 반전은 질량을 반전시키지 않는다.
Souriau는 이 두 성분을 동조성 (orthochronous), 나머지 두 성분을 비동조성 (antichronous)이라고 이름 붙였다.
그는 이 모든 것이 음의 질량 문제를 야기한다는 점을 지적한다. 물리학자들은 이 문제를 선호하지 않는다. 왜냐하면 에너지가 +mc²와 -mc²인 두 입자가 만날 경우 어떤 결과가 나오는지 불명확하기 때문이다.
이는 완전한 소멸 이다. 단순한 물질-반물질 소멸과는 달리, 이 경우는 광자만을 생성하는 것이 아니라 순전히 '공허'를 만들어낸다.
음의 질량 문제를 피하기 위해 Souriau는 두 가지 해결책을 제시한다. 첫째, 음의 질량을 가진 입자가 존재하지 않는다고 단정하는 것이다. 둘째, 비동조성 변환을 배제하는 것이다.
약간 비유적으로 말하자면:
- 신께서 그 무한한 지혜 속에서...
우리 자신의 작업을 시작할 기초를 마련해보자.