군과 물리학의 코어드로인 작용 운동량
| 14 |
|---|
포인카레 군의 중심 확장.
이와 같은 확장은 J.M. 수리오의 『동역학계의 구조』에서 언급된다. 그의 기하학적 양자화 방법을 통해 군에서 양자역학의 방정식을 재구성할 수 있다. 예를 들어, 비상대론적 입자를 묘사하는 바르그만 군은 비상대론적 슈뢰딩거 방정식을 도출한다.
기초는 갈릴레이 군이다. 이는 다음과 같이 구성된 (5,5) 형식의 행렬이다:
(152)
회전 행렬은 세 개의 매개변수, 즉 오일러 각도에 따라 달라진다. 따라서 군의 차원은 열다섯이다.
다음과 같은 표기법을 사용하자:
(153)
(154)
이것은 시공간과 관련된다:
(155)
어쩌면 이상하게 들릴지 모르지만, 군이 운동량 공간 위에서의 코어드로인 작용을 구성할 때 질량 m은 기하학적 대상으로 나타나지 않는다. 이는 군의 비자명한 확장, 즉 바르그만 군(1960)을 통해만 가능하다.
(156)
스칼라 f의 존재로 인해 이 군의 차원은 하나 더 증가한다: 열여섯이다.
이 군은 다섯 차원의 시공간과 추가적인 차원 z를 가진 공간 위에서 작용한다. 작용은 다음과 같다:
(157)
바르그만 군의 운동량 위에서의 코어드로인 작용은 앞서 이미 제시되었다. 스칼라 f의 추가는 군의 차원을 하나 늘리며, 운동량에 새로운 성분을 더한다. 이 성분은 질량 m과 일치하게 된다(이때 질량은 보존되며, m' = m이다).
바르그만 군을 기초로 하여 기하학적 양자화 방법을 사용하면 수리오는 비상대론적 슈뢰딩거 방정식을 구성할 수 있다.
상대론적 양자 방정식은 클라인-고르돈 방정식이다. 따라서 이 방정식이 어떤 군에서 유도되는지 탐구하는 것은 자연스러운 일이었다. 그 군은 중심 확장이다:
(158)
"pe"는 "확장된 포인카레"를 의미한다. 여기서 포인카레 군은 로렌츠 군 Lo의 동치성 부분군에서 구성되었다.
이 군과 관련된 공간 역시 다섯 차원이다:
(159) ( t , x , y , z , z )
이 확장은 바르그만의 것보다 더 단순하지만, 사실 상대론적 경우는 항상 더 간단하다. 부차적으로, 첫 번째 행의 1과 f 사이에는 오직 행렬 0 = (0 0 0)만 존재할 수 있음을 보일 수 있다: 모두 0이다.
그리고 기하학적 양자화 방법은 클라인-고르돈 방정식을 도출한다. 군이 그 운동량 공간 위에서 작용할 때, 다음과 같은 결과를 얻는다:
(160)
Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
계산은 어렵지 않으며, 사실 포인카레 군의 운동량 위에서의 코어드로인 작용 계산과 완전히 일치한다.
역작용을 계산한다:
(160 b)
그리고 쌍대성(내적의 보존)을 표현한다:
(160 c)
이 계산을 마치면, 정말 좋은 징조다. 그것은 당신이 이 복잡한 세계에 들어가기 시작했다는 의미이다.
그러므로 보존되는 스칼라 c가 나타나며, 그 유일한 역할은 보존되는 것이다. 이는 무엇을 의미하는가? 설명은 없다. 단지 "보존되는 무언가"일 뿐이다. 예를 들어 전하 전하로 해석할 수 있다.
가장 먼저 떠오르는 생각은 이러한 확장을 여러 번 반복하는 것이다:
(161)
나중에 이 작업이 무한히 반복될 수 있음을 보일 것이며, 각각의 반복마다 추가적인 스칼라가 하나씩 더해진다:
(162) Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., M, P }
Jpe = { c₁, c₂, c₃, ..., Jp }
코어드로인 작용은 다음과 같다:
(163)
그러면 운동량의 일부 이산적인 성분이 입자의 전하로 해석될 것이다.
좋다, 독자는 이렇게 말할 수 있다. 실제로 우리는 예를 들어 여섯 개의 추가 행을 더할 수 있다. 그러면 다음과 같은 스칼라의 불변성을 얻게 된다:
(164)
c₁ = e (전기 전하)
c₂ = cB (바리온 전하)
c₃ = cL (레프톤 전하)
c₄ = cm (뮤온 전하)
c₅ = ct (타오 전하)
c₆ = v (자기모멘트 계수)
이 경우 10차원 공간:
(165) (x, y, z, t, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆)
(166)
다시 한 번, 로렌츠 군의 동치성 부분군 Lo를 중심으로 군을 구성한다:
Lo = Ln (중성 성분) » Ln (공간 반전).
이 두 성분을 가진 군은 단순히 입자와 함께 나타나는 여섯 개의 스칼라를 도출한다. 이 스칼라는 어떤 것과도 상호작용하지 않는다. 운동량은 다음과 같이 된다:
(167) Jpe = { q, cB, cL, cm, ct, v, Jp }
여기서 Jp는 "포인카레 부분"이다. 그러나 이는 여전히 제한된 의미를 가진다.