군과 물리학의 공첨 가역 운동량
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운동량 문제에 대한 재고.
우리는 이제 모험을 시작할 준비가 되었다. 즉, 단순한 행렬을 쓰고, 일정한 수의 매개변수에 따라 달라지는 군을 창조하며, 그 군이 일정한 차원을 가진 공간에 작용할 수 있도록 하려는 것이다(여기서는 10차원이다). 그 후, '부스트로페돈' 방식(부스트로페돈: '부스'는 소, '스트로페인'은 갈라진 땅)으로 이 유명한 군의 공첨 작용(공첨 작용) 을 계산하고, 그 작용이 무엇인지, 그 작용이 어떻게 작용하는지, 그 구성 요소와 속성들을 정의하였다. 그리고 이에 대해 의미 를 부여하고, 물리적 해석 을 시도할 것이다.
이제 우리가 지난 길을 다시 돌아보며, 다음과 같은 군을 다시 살펴보자. 이 군은 형태상 더 복잡해 보이지만:
(168)
우리는 다음과 같은 공첨 작용을 얻었다:
(169)
이 작용은 곧바로 이 점입자 , 즉 물질점 의 구성 요소들을 드러냈다.
(170)
JB = { E , m , p , f , l } JB = = { E , m , px , py , pz , fx , fx , fx , lx , lx , lx }
어쨌든 우리는 처음부터 이 신비로운 운동량이 11개의 스칼라로 구성되어야 한다는 것을 알고 있었다. 왜냐하면 그 수는 군의 차원과 같아야 하며, 그 차원은 11이기 때문이다. 바르그만 군의 행렬-요소를 다시 살펴보자:
(171)
a 는 "직교 행렬"이며, 3차원 공간에서 회전을 나타내는 행렬이다. 우리는 2차원의 경우에 이를 이미 명시적으로 표현하였다. 이 경우 행렬은 회전 각도 a 하나의 매개변수에만 의존한다.
3차원에서는 세 개의 매개변수, 즉 오일러 각도:
a b g
가 필요하다.
속도 벡터 v 는 세 개의 추가적인 매개변수를 제공한다:
vx vy vz
공간 이동 c 는 또 세 개의 매개변수를 더한다:
Dx Dy Dz
시간 이동은 하나 더 추가된다: e = Dt
합계: 10개.
그리고 신비로운 11번째 매개변수 f 를 더한다. 이는 양자 세계와 관련된 것이다. 좋다.
총계: 11개. 따라서 11개의 성분을 가진 운동량이 되며, 이를 다음과 같이 표현할 수 있다:
(172)
JB = = { J1 , J2 , J3 , J4, J5 , J6 , J7 , J8 , J9 , J10 }
모든 것을 계산해 본 결과, 운동량의 각 성분들 사이에 존재하는 관계, 그들이 어떻게 서로 연결되고, 어떻게 그룹화되어 구성되는지를 확인할 수 있었다:
- 스칼라로 (E와 m)
- 벡터로 (p 와 f )
- 행렬로 (l )
마치 내가 인간이 머리 하나, 팔 두 개, 다리 두 개를 가지고 있다고 말하는 것과 같다. 하지만 어떻게 움직이는가? 이러한 '성분들'은 어떻게 서로 '관절'처럼 연결되어 있는가?
그 후 공첨 작용은 군이 운동량의 이러한 요소들에 어떻게 작용하는지를 구체적으로 보여주었다:
(173)
이 표에서 바로 알 수 있었던 것은, 이 유명한 운동량 내에 존재하는 성분 중 하나인 m (이름을 J2로 유지해도 무방했을 것이다)은 군의 작용에 영향을 받지 않는 단순한 스칼라라는 점이다.
우리는 이 상태가 비상대성 이론 세계에서 우리가 알고 있는 질량 m 에 적합할 것이라 생각했다.
이 운동량의 공식들은, 물질점에 관련된 운동량의 성분들, 즉 속성의 값을 제공해주었다. 우리는 물질을 그 상태들 속에서 추적한다: 회전(a), 공간 이동(c), 시간 이동(e), 속도 v 로 움직임, 그리고 또 하나 신비로운 다섯 번째 차원 z 에서의 신비로운 이동량 f. 그리고 우리는 그 모든 것이 양자와 관련되어 있다고 들었다.
좋다.
운동량은 공첨 작용을 통해 변환된다. 이는 한 '상태'에서:
(174)
다른 '상태'로 변화한다:
(175)
따라서 이때 '기본 상태'라 할 수 있는 것을 고려해보는 것은 어떨까? 다음과 같은 상태:
(176) JB = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 } = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0, 0 }
그리고 공첨 작용이 이 상태에서 우리가 인식할 수 있는 속성들을 만들어낼 수 있다고 말할 수 있다.
하지만 나는 질량 m 을 적어도 포함해야 한다는 것을 깨달았다. 왜냐하면 공첨 작용은 질량을 변화시키지 않기 때문이다. 따라서 만약 m 을 0으로 둔다면, 그 값은 여전히 0일 것이다. 따라서 기초 객체는 다음과 같아야 한다:
(177)
JB = { 0 , m , 0 , 0 , 0 } = { 0 , m , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 }
이 객체는 에너지가 없다. 에너지는 군의 작용을 통해 부여된다. 마찬가지로 운동량, 이동, 회전도 그 작용을 통해 부여된다.
운동 에너지*:
(178)
운동량 (물리학자라면 '운동량'이라고 말할 것이다):
(179) m v
회전 또는 '고유 운동량'처럼 보이는 것. 마치 우리의 물질점이 스스로 회전할 수 있는 것처럼 말이다(작은 금속 구슬처럼, 질량 m 이 작고 점입자로 간주될 수 있는 경우).
(180)
여전히 물리학자에게는 매우 혼란스러운 객체가 남아 있다. 바로 '이동'이다. 내 물질점에 E 가 작용하면서, 나는 그에게 '이동 속성'을 부여했다. 처음에는 이 속성이 없었지만, 그 결과는 다음과 같다:
(181)
군의 행렬 성분들은 모두 독립적인 양으로 취급되었다. 이것이 '가장 일반적인 이동'이다.
결국, 인간에게 작용할 때, 인간은 '이동'되고, '모든 상태'에 놓일 수 있다.
여기서는 가장 일반적인 이동이 이루어지며, 우리의 물질점은 다음과 같은 상태가 된다:
- 회전: a
- 공간 이동: c
- 시간 이동: e
- 속도 부여: v
- 신비로운 양 f 에 의해 신비로운 다섯 번째 차원 z 에 이동
또는:
- 거리 c 에서 관측됨
- 속도 v 로 움직이는 관측자에 의해
- 각도 a 로
- e = Dt 전이나 후에 촬영된 영화 기록에 따라
- 공간의 다섯 번째 시점 z 에서, 관측자가 신비롭게 z 만큼 이동한 상태에서
모든 것이 결국 '같은 결과'로 돌아온다고 여겨진다.