f4202 그룹이 자신의 운동량 공간에 대해 공액 작용을 통해 물질과 반물질의 기하학적 구조화. 1 :
그룹이 10차원 공간에 작용할 때 운동량의 추가적인 스칼라 성분으로서의 전하.
반물질의 기하학적 정의. (p2) – 세 번째 성분 :
(14)
로렌츠 군의 성분 $L_t$로부터 구성된.
– 그리고 네 번째 :
(15)
로렌츠 군의 성분 $L_{st}$로부터 구성된.
그룹은 자신의 운동량 공간에 작용한다 [1]. 포인카레 군과 관련된 운동량 공간을 $J_p$라고 하자.
…$J_p$의 각 특별한 요소 J$_p$는 이 군에 의해 설명되는 상대론적 질점의 특별한 운동을 나타낸다. 이 군이 운동량에 대한 공액 작용을 계산할 수 있다 [1].
운동량은 10개의 성분으로 구성되어 있다(군의 차원과 같다). 이 성분들은 다음과 같다:
(16) J$_p$ = { $E$, $p_x$, $p_y$, $p_z$, $f_x$, $f_y$, $f_z$, $s_x$, $s_y$, $s_z$ } = { $E$, p, f, s }
$E$는 에너지이다.
p는 운동량 벡터이다:
(17)
f는 이동 벡터 [1]이다.
(18)
s는 3x3 비대칭 행렬이며, 독립적인 성분은 다음과 같다:
(19)
{ $s_x$, $s_y$, $s_z$ }
운동량은 행렬 형태로 정리할 수 있다 [1], 다음을 포함하여:
(20)
그리고:
(21)
4차원 운동량-에너지 벡터를 도입하자:
(22)
(23)
또는:
(24)
그러면 포인카레 군의 공액 작용은 행렬 형태로 쓸 수 있다:
(25)
더 명확히 말하면:
(26)
…포인카레 군의 다양한 성분들이 그 운동량 공간의 성분들에 미치는 영향을 연구하는 것은 흥미로운 일이다. 특정 행렬에 집중할 수 있다:
(27)
A는 관련된 로렌츠 행렬이다.
공액 작용은 다음과 같다:
(28)
(29)
여기서 $I_4$는 포인카레 군의 중성 성분이다.
해당 공액 작용은:
$E \mapsto E$ ; p $\mapsto$ p ; f $\mapsto$ f ; s $\mapsto$ s
— 이는 공간을 반전시킨다. 해당 공액 작용은:
$E \mapsto E$ ; p $\mapsto$ –p ; f $\mapsto$ –f ; s $\mapsto$ s
— 이는 시간을 반전시킨다. 해당 공액 작용은:
$E \mapsto$ –$E$ ; p $\mapsto$ p ; f $\mapsto$ –f ; s $\mapsto$ s
— 이는 공간과 시간을 동시에 반전시킨다. 해당 공액 작용은:
$E \mapsto$ –$E$ ; p $\mapsto$ –p ; f $\mapsto$ f ; s $\mapsto$ s
J.M. Souriau [1]가 지적했듯이, 두 성분
\begin{pmatrix} E \ \mathbf{p} \end{pmatrix}
는 에너지 $E \mapsto$ –$E$의 반전과 함께 나타나며, 이는 질량 $m \mapsto$ –$m$의 반전을 의미한다.
다음과 같은 행렬 집합을 정의하자:
(30)
