f4505 군이 자신의 운동량 공간에 대해 공수작용을 통해 물질과 반물질의 기하학화. 4 : 쌍둥이 군. 디랙의 반물질의 기하학적 설명. 피인만 이후의 반물질의 기하학적 해석과 말하는 CPT 정리. (p5)
식 (16)은 군에 해당하는 리 대수의 원소에 대한 작용이다. 공수작용은 이 작용의 쌍대이며 스칼라의 불변성에 기반한다. 이 스칼라를 S라고 하자. 이 스칼라로부터 군이 자신의 운동량에 대한 공수작용을 계산한다. 우리는 군 g3의 공수작용을 스칼라로부터 계산한다:
(17) c dJ + S
그러면 군 g3이 자신의 운동량에 대한 공수작용은:
(18) (4529)
군 g3의 운동량은:
(19) J = { c , 군 G의 운동량 }
군의 확장은 운동량에 성분 c를 추가하며, 이는 (20)에 따르고 있다. 특히, 만약 이면, 즉:
(20) (4531)
그의 공수작용은:
(21) c' = l m c
(22) (4532)
(23) (4533)
식 (22) + (23)은 L이 로렌츠 군의 중성 성분일 때, 푸앵카레 군의 공수작용과 같다.
푸앵카레 군 gp의 운동량 Jp는 반대칭 행렬로 표현할 수 있다:
(24) (4534)
이 운동량에 대한 작용은:
(25) (4535)
그러므로 다음과 같이 쓸 수 있다:
(26) **J **= { c , Jp }
그리고:
(27) (4536) c' = l m c
푸앵카레 군의 차원은 10이다. 이 확장된 군의 차원은 11이며, 이는 새로운 변수 f를 추가했기 때문이다. (l = ± 1)과 (m = ± 1)은 군의 새로운 차원을 나타내지 않는다.
이 방법은 원하는 만큼 확장할 수 있다. 다음 행렬을 고려하자:
(28) (4537)
푸앵카레 군은 10개의 차원을 가진다. (f1, f2, f3, f4, f5, f5)는 6개의 추가 차원을 더한다. (l1, l2, l3, l4, l5, l5)는 고정된 스칼라이며 새로운 차원을 나타내지 않는다.
군이 자신의 운동량에 대한 공수작용
(29) J = { c1, c2, c3, c4, c5, c6, Jp }
는 다음과 같다:
(30) (4538) c'i = li m ci, i = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
참고문헌.
[1] J.P.Petit & P.Midy : 군이 자신의 운동량 공간에 대해 공수작용을 통해 물질과 반물질의 기하학화. 1 : 10차원 공간에서 작용하는 군의 운동량의 추가 스칼라 성분으로서 전하. 반물질의 기하학적 정의. 물리학의 기하학 B, 1, 1998년 3월.
[2] J.P.Petit & P.Midy : 군이 자신의 운동량 공간에 대해 공수작용을 통해 물질과 반물질의 기하학화. 2 : 디랙의 반물질의 기하학적 설명. 물리학의 기하학 B, 2, 1998년 3월.
[3] J.P.Petit과 P.Midy : 군이 자신의 운동량 공간에 대해 공수작용을 통해 물질과 반물질의 기하학화. 3 : 디랙의 반물질의 기하학적 설명. 피인만 이후의 반물질의 첫 번째 기하학적 해석과 말하는 CPT 정리. 물리학의 기하학 B, 3, 1998년 3월.
[4] J.M.Souriau : 동적 시스템의 구조, Dunod-France 출판, 1972년 및 Birkhauser 출판, 1997년.
[5] J.M.Souriau : 기하학과 상대성. Hermann-France 출판, 1964년.
[6] P.M.Dirac : "양성자와 전자의 이론", 1929년 12월 6일, 런던의 Royal Society 논문집에 발표됨, 1930년: A 126, 360-365쪽
[7] R.Feynman : "반입자에 대한 이유"는 "기초 입자와 물리 법칙"에 수록됨. 케임브리지 대학 출판, 1987년.
감사의 말.
이 연구는 프랑스의 CNRS와 프랑스의 Brevets et Développements Dreyer 회사에 의해 지원되었다.
1998년 파리 과학 아카데미에 봉인된 서류로 제출됨.
프랑스 과학 아카데미 저작권, 파리, 1998년.
원본(영어)
f4505 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 4 : The Twin group. Geometrical description of Dirac's antimatter. Geometrical interpretations of antimatter after Feynmann and so-called CPT-theorem. (p5)
The equation (16) is the action on the Lie algebra element , corresponding to the group .The coadjoint action is the dual of this action and is based on the invariance of a scalar. Call S this scalar from which one computes the coadjoint action of the group on its momentum. We compute the coadjoint action of the group g3 from the scalar :
(17) c dJ + S
Then the coadjoint action of the group g3 on its momentum is :
(18) (4529)
The moment of the group g3 is :
(19) J = { c , momentum of the group G }
The extension of the group adds a component c to the moment, which obeys (20). In particular, if , i.e :
(20) (4531)
its coadjoint action is :
(21) c' = l m c
(22) (4532)
(23) (4533)
The equations (22) + (23) identifies to the coadjoint action of the Poincaré group when L is the neutral component of the Lorentz group.
We know that we can put the momentum Jp of the Poincaré group gp into an antisymmetric matrix :
(24) (4534)
The its action on this momentum is :
(25) (4535)
Then we can write :
(26) **J **= { c , Jp }
and :
(27) (4536) c' = l m c
The Dimension of the Poincaré group is ten. The dimension of this extended group is eleven, due to adding the new variable f . ( l = ± 1 ) and ( m = ± 1 ) are not new dimensions of the group.
This method can be extended as many times as one wants. Consider the following matrix :
(28) (4537)
The Poincaré group depends owns ten dimensions. The set ( f1 ,f2 , f3 , f4 , f5 , f5 )
adds si more dimensions. The scalar ( l1 ,l2 , l3 , l4 , l5 , l5 ) are fixed and do not correspond to new dimensions.
The coadjoint action of the group on its momentum
(29) J = { c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , Jp }
is :
(30) (4538) c'i = li m ci with i = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
References.
[1] J.P.Petit & P.Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of antimatter. Geometrical Physics B , 1 , march 1998.
[2] J.P.Petit & P.Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 : Geometrical description of Dirac's antimatter. Geometrical Physics B, **2 **, march 1998.
[3] J.P.Petit and P.Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3 : Geometrical description of Dirac's antimatter. A first geometrical interpretation of antimatter after Feynmann and so-called CPT-theorem. Geometrical Physics B , 3 , march 1998.
[4] J.M.Souriau : Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod-France Ed. 1972 and Birkhauser Ed. 1997.
[5] J.M.Souriau : Géométrie et relativité. Ed. Hermann-France, 1964.
[6] P.M.Dirac : "A theory of protons and electrons", Dec. 6th 1929, published in proceedings of Royal Society ( London), 1930 : A **126 **, pp. 360-365
[7] R.Feynman : "The reason for antiparticles" in "Elementary particles and the laws of physics". Cambridge University Press 1987.
Acknowledgements.
This work was supported by french CNRS and Brevets et Développements Dreyer company, France.
Déposé sous pli cacheté à l'Académie des Sciences de Paris, 1998.
Copyright french Academy of Science, Paris, 1998.