a702 태양계에 관한 J.M. 소리우의 저작. ** **
...이 작업은 1989년 스위스 제노바에서 열린 중력에 관한 과학 회의에서 J.M. 소리우가 발표하였다. 논문의 제목은 태양계 내의 공명 및 비공명 현상이었다.
...소리우는 각 행성의 궤도 주기를 분석하여 시작한다. 지구는 태양을 365일 동안 공전한다. 금성의 연도는 225일이다. 이 두 숫자를 바탕으로 소리우는 피보나치 수열(각 항은 이전 두 항의 합)을 구성한다. 우리는 연속된 항의 비율이 황금비로 수렴한다는 것을 알고 있다. 그는 이 값을 궤도 주기와 비교한다. ** **
30 태양 (29일) 55 없음 85 수성 (88일) 140 없음 225 금성 365 지구. 590 (1년 7개월): 화성 (1년 10개월) 955 없음 1545 (4년 3개월): 세레스-팔라스 (소행성대) 2500 없음 4045 (11년): 목성 (11년 10개월) 6545 없음 10590 (29년): 토성 (29년 5개월) 17135 없음 27725 (76년) 천왕성 (84년) 44860 없음 72585 (199년) 해왕성 (165년), 명왕성 (248년)
...그 후 그는 행성 쌍의 공명을 연구한다. 수학자들(리우빌, 허르вит츠, 보렐)은 주어진 수의 무리수 수준을 측정하는 수학적 테스트를 개발했다. 이는 "유리수 분수, 즉 두 정수의 비로부터 얼마나 멀리 떨어져 있는가"를 나타낸다. (a701)
보렐은 수량 q(x, q) = (분모)² × |x - q|를 도입한다. q(x)는 q가 유리수일 때의 하한값이다. x가 유리수에 가까우면 q는 0에 가까워진다. 이로 인해 주어진 수 x의 무리수 측정값 q(x)를 보여주는 곡선을 얻는다. 모든 가능한 값 중에서 가장 무리적인 두 수는 황금비 (a702)
- 그리고 그의 제곱인 w² = 1 - w = 0.3820... 이다. 이는 다음 다이어그램에서 확인할 수 있다. (a703)
그림 1: q(x) 다이어그램. 이는 황금비와 그 제곱에 해당하는 두 개의 특징적인 피크를 보여준다.
이 함수 q(x)는 어떤 관측 자료와도 관련이 없으며 순수한 수학적 객체이다. 보이는 간극은 유리수 분수(q = 0)에 해당한다.
다음은 궤도 주기이며, 단위는 지구 연도이다.
수성 : 0.2408425
금성 : 0.6151866
지구 : 1.0000000
화성 : 1.8808155
세레스-팔라스 : 4.604
목성 : 11.86178
토성 : 29.45665
천왕성 : 84.0189
해왕성 : 164.765
명왕성 : 247.68
해왕성과 명왕성의 궤도 주기 비율을 계산하라. (a704)
...두 개의 연속된 주기를 계산하면, 이 비율들이 1/3과 2/3 사이에 있음을 알 수 있다. 다섯 개의 비율이 0.35와 0.40 사이에 있다. 따라서 해왕성-명왕성 쌍은 공명이 있는 것으로 보인다.
소리우는 위에서 언급된 테스트를 행성 쌍에 적용한다.
해왕성-명왕성 : x = 2/3 × 0.9980 q = 0.01
천왕성-해왕성 : x = 1/2 × 1.0199 q = 0.04
천왕성-명왕성 : x = 1/3 × 1.0176 q = 0.05
금성-화성 : x = 1/3 × 0.9812 q = 0.06
목성-토성 : x = 2/5 × 1.0067 q = 0.07
...원거리에 있는 해왕성과 명왕성이 매우 강한 공명을 보인다는 것을 알 수 있다. 소리우는 이후의 분석에서 이 특별한 행성 쌍을 무시하기로 결정한다. 이 분석은 주기 Pj의 푸리에 분석에 기반한다. (a705)
다음 그림에서 |F(a)|⁴가 표시된다. (a706)
그림 2: 함수 F(a)
...소리우는 0.615와 0.380의 두 가지 중요한 피크를 발견한다. 이는 그림 1의 q(x) 곡선과 매우 잘 일치한다. 그림 3을 참조하라. (a707)
그림 3.
...그는 전체적으로 태양계가 공명이 없거나 약한 공명을 보이는 시스템이라고 결론짓는다. 그는 푸리에 역변환(역변환)을 수행하여 궤도 주기의 확률적인 값을 구축한다. 역푸리에 변환 (a708)
는 선택된 라인 ak로부터 구성할 수 있다. 그는 두 개의 특별한 라인, a₁ = w, a₂ = w²를 선택한다.
그러면 다음과 같은 결과를 얻는다. 궤도 주기의 실제 값이 표시된다. (a709)
그림 4: 두 개의 특별한 라인 w와 w²에 제한된 스펙트럼을 기반으로 한 행성의 확률적인 주기 P