황금비를 통한 태양계의 구조화. 수리오의 황금 법칙 Jean-Marie Souriau의 작업을 회상하며
태양계의 역학에 관하여
...이 작업은 1989년 제네바 천문대에서 열린 학술 회의에서 저자인 수리오가 발표한 것으로, 주제는 다음과 같았다:
"태양계 내의 공명과 비공명"
...수리오의 출발점은 각 행성의 궤도 주기 분석이다. 그는 지구의 주기 365일과 금성의 주기 225일을 선택한 후, 피보나치 수열(또는 피보나치 유사 수열: 각 항이 앞의 두 항의 합으로 이루어진 수열)을 전후로 계산한다. 이러한 조건에서 이 수열의 연속된 두 수의 비율은 황금비로 수렴함을 알고 있다.
...수리오는 다음과 같은 결과를 얻었다:
30 태양 (29일)
55 없음
85 수성 (88일)
140 없음
225 금성
365 지구
590 (1년 7개월) 화성 (1년 10개월)
955 없음
1545 (4년 3개월) 세레스-팔라스 (소행성대)
2500 없음
4045 (11년) 목성 (11년 10개월)
6545 없음
10590 (29년) 토성 (29년 5개월)
17135 없음
27725 (76년) 천왕성 (84년)
44860 없음
72585 (199년) 해왕성 (165년), 플루토 (248년)
...매우 놀라운 일치다. 인정하자. 이후 수리오는 행성들 사이의 공명을 연구한다. 이를 위해 두 주기의 비율 x(0과 1 사이)가 "유리수 분수에 가까운지"를 측정하는 검사를 필요로 한다.
...이러한 검사는 오래전 수학자들(리우빌, 허르비츠, 보렐 등)에 의해 개발되었다. 그 수식은 다음과 같다:
q(x, q) = (분모)² × |x - q|
...여기서 q는 유리수 전체 집합을 따라 움직일 때 q(x)의 하한값을 의미한다. x가 유리수이면 q는 0이 되며, x가 유리수에 가까울수록 q는 작아진다. 따라서 이 값은 x의 무리수 정도를 측정한다. 가장 "무리수적인 수"는 황금비이며, 그 제곱은 w² = 1 - w = 0.3820...이다.
...이 함수 q는 관측 데이터와 아무런 관련이 없으며, 순수한 "수학적 대상"이다. 실수의 연속 수열이 이와 같은 특이한 스펙트럼을 생성하며, 정수 비율(즉, 유리수)이 존재하는 곳에는 빈 공간(즉, q = 0)이 나타난다.
...다음은 태양계 주요 행성들의 공전 주기(년 단위):
수성: 0.2408425
금성: 0.6151866
지구: 1.0000000
화성: 1.8808155
세레스-팔라스: 4.604
목성: 11.86178
토성: 29.45665
천왕성: 84.0189
해왕성: 164.765
플루토: 247.68
...플루토와 해왕성의 주기 비율은 다음과 같다:
...이 항목들 중 하나와 다음 항목의 비율은 항상 1/3과 2/3 사이에 있다. 이 9개 비율 중 다섯 개는 0.35와 0.40 사이에 있다. 수리오는 이제 서로 다른 행성들의 주기 비율을 분석하기 시작한다. 완전한 공명 상태에 있는 두 행성은 주기 비율이 유리수가 되며, 두 정수의 나눗셈 결과가 된다.
...수리오는 현재 태양계에서의 다양한 공명을 분석하기로 결정한다. 이를 위해 주요 행성들의 공전 주기를 두 개씩 짝지어 비율을 계산한 후, 앞서 언급한 검사를 적용한다.
...간단한 계산을 통해, 분모가 6인 경우 q값이 0.1 이하인 거대 행성들 사이의 공명 목록을 도출할 수 있다:
해왕성-플루토: x = 2/3 × 0.9980, q = 0.01
천왕성-해왕성: x = 1/2 × 1.0199, q = 0.04
천왕성-플루토: x = 1/3 × 1.0176, q = 0.05
금성-화성: x = 1/3 × 0.9812, q = 0.06
목성-토성: x = 2/5 × 1.0067, q = 0.07
...이 표는 가장 멀리 떨어진 두 행성인 해왕성과 플루토가 특히 두드러진 공명을 보임을 보여준다. 따라서 이 둘은 다른 행성들과는 별개의 쌍으로 간주되며, 이후 분석에서는 제외하기로 결정한다. 이후 푸리에 변환을 통해 주기를 분석한다.
...Pj는 수성에서 천왕성까지의 행성 주기이다. 연속된 주기 비율은 1/3과 2/3 사이에 있다. 아래 그림은 a가 1/3에서 2/3 사이에서 변할 때, |F(a)|의 형태를 보여준다. 가독성을 높이기 위해 수리오는 그래프에 |F(a)|⁴을 표시하였다.
그림 2: 함수 F(a)
...두 개의 두드러진 피크가 0.615와 0.380에 나타나며, 이는 그림 1의 피크와 정확히 일치한다(φ = 0.618, φ² = 0.380). 수리오는 이 스펙트럼을 함수 q와 겹쳐보았다.
그림 3.
그리고 그는 해왕성-플루토 쌍을 제외하고는 전체적으로 공명이 없는 상태임을 결론짓는다. 두 피크 사이의 F의 위상차는 역 푸리에 변환으로 해석할 수 있다: 특정 수의 선 aₖ를 스펙트럼 F에서 선택하여 함수 F를 구성할 수 있다.
...이제 Pj의 값은 F의 실수부의 일부 최대값 근처에 위치한다. 수리오는 이 스펙트럼을 두 개의 선 a₁ = φ와 a₂ = φ²로 제한하고, 다음 그림의 곡선을 얻는다. 여기에는 실제 행성의 주기도 함께 표시되어 있다.
그림 4: 두 선 φ와 φ²로부터 구성된 스펙트럼을 기반으로 한 행성의 가능성 있는 위치 P
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