유머와 수학

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유머와 수학

2005년 8월 23일

교수 타르디는 우연히 음경의 암묵방정식을 발견하다

타르디의 '비토이드'

이 암묵방정식의 극도로 단순함을 주목하자. 차수는 6이다. 이 발견은 순전히 우연이었다. 사실 타르디는 수학의 '성배'를 찾기 위해 다시 연구를 시작했다. 바로 보이 표면의 완벽하게 균형 잡힌 암묵방정식을 찾는 것이었다. 이 표면은 1902년 여름 직전, 고팡엔 대학에서 페르너 보이에 의해 발견되었다. 당시 이 대학의 젊은 학생이었던 보이는 유명한 수학자 힐베르트에게 이 표면을 보여주었고, 힐베르트는 매우 흥미를 느껴 학생과 가을에 다시 함께 연구하기로 약속했다. 그러나 보이는 갑자기 사라져踪적을 감추고 말았다. 그의 최후는 아무도 모른다. 그의 무덤도 알려져 있지 않다. 고팡엔의 수학과에서는 그를 기리기 위해 '모르는 수학자의 묘비'를 세우자는 제안까지 나왔다.

데시도르 궁전은 25년 동안 이 표면의 모형을 전시했다. 나는 이 모형을 창안했고, 이후 지르롬 소리외와 함께 이 표면의 첫 번째 매개변수 표현을 발견했다. 이 표현은 『톱로지콘』의 마지막 페이지에 실려 있다.

내 만화 『톱로지콘』에서 발췌

아래에는 합성 이미지를 얻기 위해 사용한 BASIC 언어로 작성된 프로그램이다. 이 작업은 폴리테크닉 학교 출신의 콜로나가 맡았으며, 전 세계에서 볼 수 있는 보이 표면의 모든 합성 이미지는 이 매개변수 방정식에서 시작된다. 이 객체는 '극'을 둘러싼 세 개의 특징적인 불룩한 주름을 통해 쉽게 식별할 수 있다. 이 주름들은 매개변수 조정의 오류 때문이며, 사실은 결함이다. 언젠가 타르디와 내가 이 '가짜 주름' 문제를 다룰 것이다. 단지 한 번의 틈만 있으면 된다.

데시도르 궁전이 이 표면을 전시에서 철거하기로 결정했을 때, 나는 이를 회수해 집에 보관하고 있다. 거대한 상자 안에 있다. 마치 한 알의 달걀을 부화시키는 듯한 모습으로, 방문객들에게 많은 호기심을 자극한다.

여기서 크리스토프는 훨씬 더 높은 차원에서 문제를 다룬다. 아페리(고급 수학 교수, 맹인 수학자 베르나르 모린의 제자)는 암묵방정식, 즉 다음과 같은 형태의 방정식을 제시했다:

f(x, y, z) = 0

그러나 자신의 지도자인 모린의 잘못된 조언을 받아들여, z축을 대칭축으로 삼았다. 그 결과 방정식은 복잡하고 미적으로는 별로 아름답지 않다. 그 결과로 얻어진 표면은... 토끼 귀를 가졌다. 이것은 보이 표면의 '로저 래빗' 버전이다. 그러나 안타깝게도 지금까지 우리가 가진 유일한 방정식이며, 전 세계 수학 교재에 실려 있는 방정식이다. 그러나 훨씬 더 간단한 방정식이 존재한다. 이것은 확실하다. 스테이너의 웅장한 로마인 표면의 방정식을 생각해보라:

x²y² + y²z² + z²x² - 2xyz = 0

이 방정식의 풍부함은 누구도 예상하지 못할 것이다. 아래는 타르디가 얻은 이미지이다.

스테이너의 로마인 표면, Winplot으로 그린 것. 원점은 삼중점.
축 위에는 여섯 개의 쿠스피다점이 있다

이 이미지는 푸아티에 출신 리처드 파리스가 개발한 훌륭한 소프트웨어 Winplot을 사용해 제작되었다.
무료 다운로드 가능

또한 참조: http://www.mathcurve.com/surfaces/romaine/romaine.shtml

보이 표면은 이처럼 단순한 방정식으로도 설명될 수 있을 것이다. 단지 몇 개의 항만 더 추가하면 된다. 이 표면은 6차이며, 3중 대칭성을 가지고 있다. 따라서 벡터 (1,1,1)를 대칭축으로 삼는 표현을 찾는 것이 타당하다. 그러면 변수 x, y, z의 순환 대칭을 수행하더라도 방정식이 불변하게 된다. 게다가 좌표의 원점을 삼중점에 두고, 그 점에서의 접평면들이 직교하도록 한다면, 가장 낮은 차수의 항은 정확히 xyz가 된다. (암묵방정식 xyz = 0은 세 평면이 원점에서 만나는 것을 나타낸다.)

따라서 타르디는 이 방향으로 탐색을 계속하고 있으며, 표면과 그 단면을 시각화할 수 있는 소프트웨어를 활용하고 있다. 그가 단면을 하나 그릴 때 우연히 위에 제시된 비토이드의 방정식을 발견했다. 이 방정식의 놀라운 우아함과 단순함을 감상해보자.

2005년 8월 27일: 창세기 재작성

이 발견은 수학계에 일정한 파장을 일으켰다. 일부 여성 수학자들이 MLF(여성 수학자 연합)와 밀접한 관계를 맺고 있어 강하게 반발했다. 그러나 한 발견이 또 다른 발견을 이끌 수 있듯이, 플라즈마 물리학 전문가인 미국의 연구자 키파인 파인은 타르디의 비토이드의 3차원 확장인 방정식에 관심을 가졌다:

z(y, y) = x⁶ + y⁶ - x³y² - y³x²

이 방정식으로 얻어진 이미지는 MATLAB로 생성되었다.

키파인의 '푸푸노이드'

키파인의 푸푸노이드 다른 시점

붉은 선(개략적 표시)은 z = 0 평면과의 교차선을 나타낸다.

창세기에 따르면, 하나님은 남성의 한 갈비뼈를 빌려 여성의 창조를 하셨다. 이는 상징적인 관점에서 보면, 남성이 2차원 구조라면 여성은 3차원 구조이며, 남성은 여성의 부분집합(즉, z = 0 평면과의 교차)에 불과하다는 것을 시사한다.

2005년 8월 28일, 키파인의 반응:

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