수학 기하학 표면 위상수학
크로스캡 표면을 보이 표면(오른쪽 또는 왼쪽, 선택 가능)으로 변환하는 방법
스테이너의 로마 표면을 거쳐서.
이탈리아어: 안드레아 산부세티, 로마 대학교
../../Crosscap_Boy1.htm
2003년 9월 27일 - 10월 25일
2페이지
아래는 가상 현실 이미지에서 발견했을 것 같은 '크로스캡 표면'입니다. 이 표면은 두 개의 꼬리점(자기 교차선의 꼭짓점)을 가지고 있습니다. 이 표면은 편지 클립으로 풍선을 찌르는 방식으로 만들 수 있습니다. 또한 다면체 형태의 표현도 만들 수 있습니다. 아래의 그림은 특히 주목할 만합니다.
표 4에서는 배우기 가장 어려운 내용이 나와 있습니다. 단순히 그림만 보고 이 물체들을 잘 이해할 수 있다고 생각하는 것은 불가능해 보입니다. 모형을 만들어 보세요. 간단히 말해, 꼬리점 C2를 표면 내부로 당깁니다. (여기서 주의할 점은, 아마도 이미 눈치챘겠지만, 크로스캡 표면은 단면이므로 외부와 내부가 구분되지 않습니다.) 계속해서 당기면 표면이 스스로를 가로지르게 되고, 자기 교차선은 약간 둥글게 만들어져서 8자 모양의 곡선이 됩니다. 참고로, 이 과정에서 삼중점 T가 생깁니다.
다면체 형태로 바꾸면 표면이 훨씬 더 이해하기 쉬워지며, 아래 그림에서는 특정 부분을 확대하여, 이 물체를 스테이너의 로마 표면으로 변환할 수 있도록 하는 이유를 보여줍니다(가상 현실 시뮬레이션 참조). 가장 단순한 다면체 형태는 네 개의 큐브를 조립하는 것입니다(여기서는 세 개만 보입니다).
표 5: 왼쪽은 다면체 형태, 오른쪽은 둥근 형태. 화살표는 우리가 "조여야 할 점"을 지나갑니다. 아래에는 조여짐 작업의 시작 부분이 보입니다.
표 6: 조여짐이 완료되어 특이점 B가 생깁니다. 실제로는 양쪽에서 동시에 조여지기 때문에 두 개의 특이점 S1과 S1이 생기고, 그 후 두 개의 꼬리점이 생깁니다. 이 시점에서 카드보드, 가위, 테이프 없이선 도저히 진행이 어렵습니다.
표 7: 여기서는 다양한 꼬리점을 이동시켰습니다. 점 C2는 명확하게 보이지만, 점 C3과 C4가 꼬리점임을 알아내는 것은 더 어렵습니다. 그러나 이 두 점은 자기 교차선의 끝부분에 있습니다. 점 C3 위에는 단순히 제가 '포지코노'라고 부른 점이 있습니다. 즉, 양의 곡률이 모이는 점입니다(음의 곡률이 모이는 점은 '네가코노'라고 부릅니다). 이 물체를 약간 변형하면 스테이너가 로마에서 고안한 로마 표면의 다면체 형태에 도달합니다(가상 현실 이미지 참조).
결국, 이 작업은 성공했습니다. 규칙에 따라 다양한 종류의 표면이 존재합니다. 자기 교차가 없는 표면은 '임베딩'(3차원 공간 R3에서 구나 토러스의 임베딩)이라고 합니다. 반면 자기 교차는 있지만 접선 평면이 연속적으로 변하고 특이점이 발생하지 않는 경우는 임무화라고 합니다. 예를 들어, 고전적인 클라인 병의 표현이 이에 해당합니다. 3차원 공간에서는 클라인 병의 임베딩 표현이 존재하지 않으며, 반드시 자기 교차가 발생합니다. 임무화는 꼬리점이 없는 자기 교차 집합을 가집니다. 이러한 집합은 연속적인 곡선이지만, 이중점이나 삼중점에서 교차할 수 있습니다. 참고: 구는 자기 교차를 통해 임무화로 표현할 수 있습니다. 실제로 이 방법을 통해 구를 뒤집을 수 있습니다(1967년 A. 필립스의 방법, 핵심 단계는 보이 표면의 이중 피복; 또한 1979년 B. 모린과 J.P. 페티의 연구에서 모린의 '네 귀 모델'을 중심으로 하며, 아래는 제가 약 10년 전에 고안한 다면체 표현입니다).
이러한 규칙을 확장하여 꼬리점도 허용한다면, 서머지션(크로스캡, 스테이너의 로마 표면)을 얻게 됩니다. 저는 '서머지션'이라는 용어가 정확한지 확신하지 못하지만, 이에 대해 설명해 줄 수 있는 수학자가 없었기 때문에, 임시로 이 용어를 만들어 보았습니다. 앞으로 전문가가 나타나면 수정하겠습니다. 따라서 크로스캡 표면과 스테이너의 로마 표면은 모두 '사영 평면'의 서머지션입니다.
솔직히 말해, 25년간의 연구 활동과 자기 전자역학 분야에서의 실망 끝에, 이 작업은 군사적 응용과 가장 거리가 먼 것으로 보였습니다. 그러나 제 오랜 친구 미른이 지적했듯이, '서머지션'이라는 용어는 혼동을 야기할 수 있으며, 해군이 이 연구를 통해 잠수함 추진 기술의 진보를 숨기려 한다고 오해할 수 있습니다.
꼬리점 쌍의 '생성-해체' 규칙을 통해 한 서머지션에서 다른 서머지션으로 전환할 수 있으며, 우리는 바로 이 작업을 수행했습니다. 크로스캡과 스테이너의 로마 표면이 모두 동일한 물체인 '사영 평면'의 서머지션임을 보여주었습니다. '사영 평면'을 상상하려 하지 마세요. 이 물체는 다양한 표현을 통해 이해할 수 있습니다. '사영'이라는 용어는 수학자들이 자신들의 비밀 동맹에 침입하려는 사람들을 혼란스럽게 하기 위해 고안한 수많은 용어 중 하나일 뿐입니다. 자니첼리 사전은 수학에서는 아무런 도움이 되지 않습니다.
그러므로 이제 사영 평면의 임무화인 보이 표면으로 넘어가는 방법을 살펴보겠습니다.
최신 소식 섹션으로 돌아가기 가이드 섹션으로 돌아가기 메인 페이지로 돌아가기
2003년 10월 25일 이후 방문자 수 :
이미지
