수학 기하학 표면 위상수학
크로스캡 표면을 보이 표면(오른쪽 또는 왼쪽, 선택 가능)으로 변환하는 방법
스테이너의 로만 표면을 거쳐서.
이탈리아어: 안드레아 산부세티, 로마 대학교
../../Crosscap_Boy1.htm
2003년 9월 27일 - 10월 25일
2페이지
아래는 "크로스캡 표면"의 모습입니다(가상현실 이미지에서 발견한 그 모습이죠). 이 표면은 두 개의 정점이 있는 자가교차선을 가지고 있습니다. 이 표면은 편지용 클립으로 풍선을 눌러 만들 수 있습니다. 또한 다면체 형태의 표현도 만들 수 있습니다. 아래의 그림은 특히 관심을 끌 것입니다.
표 4에서는 배우기 가장 어려운 부분이 나와 있습니다. 단순히 그림만 보고 이 물체들을 잘 이해할 수 있다고 생각하는 것은 불가능해 보입니다. 모형을 만들어 보세요. 간단히 말해, 정점 C2를 표면 내부로 당깁니다(여기서 주의할 점은, 이미 눈치챘겠지만, 크로스캡 표면은 한쪽면만 존재하는 표면이므로 내부와 외부가 없습니다). 계속해서 당기면 표면이 스스로를 뚫고 지나가며, 자가교차 집합이 생기고, 약간 둥글게 다듬어지면서 8자 모양의 곡선이 됩니다. 참고로, 이 과정에서 삼중점 T가 생깁니다.
이 표면은 다면체 형태로 보는 것이 더 이해하기 쉬우며, 아래에서는 특정 부분을 확대하여 스테이너의 로만 표면으로 변환하는 이유를 보여줍니다(가상현실 시뮬레이션 참조). 가장 단순한 다면체 형태는 네 개의 큐브를 조합하는 것입니다(여기서는 세 개만 보입니다).
표 5: 왼쪽은 다면체 형태, 오른쪽은 둥근 형태. 화살표는 우리가 "조여야 할 점"을 지나갑니다. 아래에는 조여짐의 시작 단계가 나와 있습니다.
표 6: 조여짐이 완료되어 특이점 B가 생깁니다. 실제로는 양쪽에서 동시에 조여지기 때문에, 두 개의 특이점 S1과 S1이 생기고, 그 후 두 개의 정점이 생깁니다. 이 시점에서 카드보드, 가위, 테이프 없이선 어려운 상황입니다.
표 7: 여기서는 다양한 정점들을 이동시켰습니다. 정점 C2는 명확하지만, 정점 C3과 C4가 정점임을 알아내는 데는 더 어려움을 겪을 것입니다. 그러나 이 두 점은 자가교차선의 끝에 있습니다. 정점 C3 위에는 제가 '포지코노'라고 부른 구조가 있습니다. 즉, 양의 곡률이 모이는 점입니다(음의 곡률이 모이는 점은 '네가코노'라고 부릅니다). 이 물체를 약간 변형하면, 스테이너가 로마에서 발명한 로만 표면의 다면체 형태에 도달합니다(가상현실 이미지 참조).
결국, 이 작업은 성공했습니다. 규칙을 정하면 다양한 종류의 표면이 존재합니다. 서로 자가교차하지 않는 표면은 '임베딩'(3차원 공간 R3에서 구나 토러스의 임베딩)이라고 합니다. 반면 자가교차는 하지만 접선 평면이 연속적으로 변하고 붕괴되지 않는 경우는 임머전이라고 합니다. 예를 들어, 고전적인 클라인 병의 표현이 이에 해당합니다. R3에서는 클라인 병을 임베딩 형태로 표현할 수 없습니다. 반드시 자가교차가 발생합니다. 임머전은 자가교차 집합이 정점이 없는 특이점들을 가집니다. 이러한 집합은 연속적인 곡선이지만, 이중점이나 삼중점에서 교차할 수 있습니다. 참고: 구는 자가교차를 통해 임머전 형태로 표현할 수 있습니다. 실제로 이것은 구를 뒤집는 방법입니다(1967년 A. 필립스의 방법, 중심 단계는 보이 표면의 이중 피복; 또한 1979년 B. 모린과 J.P. 페티의 연구 참조, 여기서 중심 모델은 모린의 '네 귀 모델'이며, 아래는 제가 약 10년 전에 개발한 다면체 표현입니다).
이러한 규칙을 확장하여 정점이 포함된 물체도 허용하면, 서머머전(summersion)이라는 새로운 종류의 표면이 생깁니다(크로스캡 표면, 스테이너의 로만 표면). 저는 '서머머전'이라는 용어가 정확한지 확신하지 못하지만, 이 주제에 대해 설명해 줄 수 있는 수학자가 없었기 때문에, 잠시 동안 제가 임의로 만들어 본 것입니다. 최소한 전문가가 등장할 때까지는 이 용어를 사용하겠습니다. 따라서 크로스캡 표면과 스테이너의 로만 표면은 모두 '사영 평면'의 서머머전입니다.
솔직히 말해, 25년간의 활동과 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 자기자신의 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