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크로스 캡 곡면을 보이 곡면(오른쪽 또는 왼쪽, 선택 가능)으로 변환하는 방법, 슈타이너의 로마 곡면을 거쳐서.

이탈리아어: 안드레아 삼부제티, 로마 대학교

2003년 9월 27일 - 10월 25일

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우리는 모델을 또 다른 관점에서 제시한다:

도판 14: 우리는 자기교차 곡선의 세 번째 "귀"를 만들어내면서 항상 같은 작업을 반복한다. 다면체 모델에서 이 곡선은 하나의 꼭짓점을 공유하는 세 개의 정사각형 형태를 띤다: 삼중점 T.

도판 15: 물체를 회전시키면 내가 토폴로지콘에서 제시했던 보이 곡면의 다면체 버전을 다시 찾을 수 있다(거기서는 그것을 만들 수 있게 해주는 조립 도면도 찾을 수 있다).

마지막 도판: 나는 슈타이너 곡면이 몸부림치며 보이 곡면으로 변형되는 모습을 묘사하려 했다.

"둥글게" 그려진 경우 그것을 이해하려면 상당한 연습이 필요하다는 것을 알 수 있다. 우리의 눈은 동일한 시선 위에서 두 개 이상의 곡면 조각이 겹쳐지는 물체를 이해하는 데 매우 불편해한다. 여기서 다면체 모델의 흥미가 나온다. 그것은 기하학에서 복잡하다고 여겨지는 변환들을, 누구든 스스로 모형을 만들어보기만 한다면, 누구나의 손이 닿는 곳에 놓아준다. 덧붙여 말하자면, 선택된 첨점 쌍에 따라 "오른쪽" 또는 "왼쪽" 보이 곡면이 얻어진다(완전히 임의적인 정의다). 사영 평면은 두 개의 거울상 "반자기동형" 표현을 통해 공간 속으로 매몰된다. 따라서 우리는 "중심" 모델인 슈타이너의 로마 곡면을 통해 오른쪽 보이 곡면에서 왼쪽 보이 곡면으로 갈 수 있다는 것도 알 수 있다.

이 그림들이 Pour la Science나 La Recherche 같은 잡지에 실린다면 분명 멋질 것이다. 하지만 20년 동안 UFO 편향주의 때문에 이 잡지들에 발표하는 것이 나에게 "금지"되어 있다. 고맙습니다, 에르베 티스와 필리프 불랑제 씨. 내가 이 잡지들에 제안했다가 정중히 거절당한 이런 종류의 글들을 몇 개나 썼는지 이제 셈이 안 된다. 파문당한 자의 신분에 익숙해지게 마련이다.

일화 삼아 말하자면, 수학 대중서 저자들을 상주기 위한 "달랑베르 상"이 있다. 그 이야기는 누구에게 상을 줘야 할지 결정하는 위원회의 한 위원이 내게 해준 것이다(어쨌든 뒤에는 돈 문제가 있다). 대화:

• 그러니까, 왜 프티에게 상을 주지 않는 거요? 그는 "지오메트리콘", "블랙홀", "토폴로지콘" 같은 뛰어난 작품들을 썼소.

• 그래, 하지만 그것만 쓴 건 아니잖아.

• 무슨 말씀이오?

• "침묵의 벽"도 썼잖아.

• 아, 그렇다면....

그렇다, 1983년에 출판된 "침묵의 벽"은 MHD에 바친 앨범이다. 그리고 우리 모두가 알다시피, 이 부식성 과학은 비행접시가 굉음 없이 초음속으로 움직일 수 있게 해준다는 장점, 혹은 단점을 지니고 있다.

«이 과학을 감춰다오, 내가 볼 수 없게»

내 상자 속에는 "정육면체 뒤집기"의 멋진 버전이 있는데, 그것은 모랭 변형의 다면체 버전이 아니다. 전부 내 자작이다. 조만간....

2003년 10월 22일: 카운터를 믿어야 한다면, 이 페이지들에 그리 서두르는 사람은 없다. 2003년 10월 13일 월요일에 나는 트로트만의 초청으로 CMI(샤토-곰베르-마르세유 수학 및 정보학 센터)에서 세미나를 했다. 그 기회에 나는 판지로 만든 서른 개 정도의 모델 컬렉션을 꺼낼 수 있었는데, 크리스토프 타르디가 사진을 찍어두었으므로 언젠가 그 첫 선을 맛볼 수 있을 것이다.

세미나를 하면 어떤 분위기가 조성된다. 아래 사진에서 한 기하학자가 당혹감을 표현하고 있다.

배경에는 오랜 협력자이자 같은 학과 소속 기하학자인 보리스 콜레프의 도움으로 전시된 모델들의 일부가 있다. 어느 순간 내가 물었다:

• 여러분 중 슈타이너의 로마 곡면을 본 적이 있는 사람은 몇 명입니까? 손을 들어주세요.

아무도 본 적이 없었다. 그래서 내가 가지고 있던 노트북에서 가상 현실 프로그램으로 이 물체를 제시하는 것이 유용해 보였다. 그 프로그램은 엔지니어 크리스토프 타르디와 그르노블 라우에-랑주뱅 연구소(ILL)의 프레데리크 데스캉의 도움으로 만들어졌다. 분명히 이 발표는 수학 곡면이 마음대로 빙글빙글 도는 것에 익숙하지 않은 청중을 당혹스럽게 했다.

앞쪽에 보이는 두 장의 판지 도판은 일련의 모델들을 논리적 순서대로 제시할 수 있게 해주었다. 초록색과 노란색 모델들은 첨점 쌍의 생성-소멸이라는 핵심 도구를 다면체 형태로 보여준다. 더 멀리 있는 흰색 물체는 크로스 캡 곡면의 다면체 버전으로, 먼저 슈타이너의 로마 곡면의 다면체 버전으로 변형되고, 그다음 1미터 더 떨어진 곳에서 원하는 대로 "오른쪽" 또는 "왼쪽" 보이 곡면으로 변형된다.

모델들을 분석하면서 청중에게서 여러 관찰이 나왔다. 기하학자 중 한 명이 묻는다:

- 이 순서대로 모델들을 따라가면 크로스 캡 곡면에서 보이 곡면으로 갈 수 있다는 것이 사실이라면, 반대 과정을 따라가면 보이 곡면을 크로스 캡으로 변형할 수 있을 것 같습니다.

나는 그렇다고 답했다. 기세를 올린 내 대화 상대가 덧붙인다:

- 그렇다면, 슈타이너의 로마 곡면 단계에 도달해서 멈춘다면, 보이 곡면으로 되돌아갈 수 있어야 하지만, 처음 것에 대해 반사된 것이어야 합니다.

나는 두 번째로도 동의했다. 하지만 안타깝게도 닫힌 곡면의 매몰이 쌍으로 생성되거나 소멸되는 첨점들을 가지도록 허용하는 이 이상한 세계, 즉 그 전체가 매몰의 세계를 일종의 확장한 것에 대해 설명해줄 사람은 아무도 나서지 않았다. "서브머전"이라는 용어가 적당해 보인다. 어떤 독자가 설명을 해줄 수 있다면 환영한다.

한 첨점에 집중된 곡률.

우리는 꼭짓점에서의 각들을 합하고 이 합을 유클리드 평면의 경우에 얻어지는 결과인 2π와 비교함으로써 그것을 계산할 것이다.

왼쪽 위에서 한 첨점의 가능한 여러 다면체 표현 중 하나를 볼 수 있다. 곡면을 "분해"하면 각들의 합이 2π 값을 2α만큼 초과하는 것에 도달한다. 이로부터 이 점 C 주위에 집중된 각곡률이 -2α임을 추론한다. 각 α가 π/2와 같다면 음의 곡률은 -π가 된다(왼쪽 아래 그림). 실제로 첨점의 곡률은 무한한 값을 가질 수 있다. 오른쪽 아래에서 우리는 각의 합을 강조하고 곡률은 그때 < -π가 된다(음의 곡률을 증가시켰다).

반대로 작업하면 상당히 놀라운 상황에 도달할 수 있다: C에 집중된 (각)곡률이 ... 0이 되도록 할 수 있다:

이제 각각의 곡률이 -π인 두 첨점이 나타나는 크로스 캡 곡면의 다면체 표현에서 출발하자:

이 그림에는 +π/2의 값에 해당하는 여덟 개의 "포지콘"이 있다. 곡률 +π/4의 "포지콘" 네 개와 곡률 -π/4의 "네가콘" 네 개를 더한다.

더하기 곡률 -π의 두 첨점.

합계: 2π

이 "총곡률"의 값을 2π로 나누면 사영 평면(또는 보이 곡면)의 어떤 표현이든 그 오일러-푸앵카레 지표의 값을 다시 얻는다.

회의 중에 나는 구의 뒤집기를 이용하여 크로스 캡 곡면의 두 첨점을 치환하는 기술과 방법을 언급했다. 이걸 내 사이트 어딘가에 두었는지 이제 기억이 안 난다. 참으로 엉망진창이다. 찾아봐야 할 것이다, 아니면 추가할 것이다. 재미있다. 어쨌든 이 작업은 세미나에 참석한 사람 중 한 명을 전혀 기쁘게 하지 못했다:

• 크로스 캡의 두 첨점을 잇는 대칭을 보여주기 위해 프티가 그렇게 많은 장비를 사용하는 이유를 모르겠다. 훨씬 더 간단하게 할 수 있다.

그리고 칠판에 서로 닿는 두 자 사이에 눌린 구의 그림을 그렸는데, 그것은 실제로 크로스 캡 곡면처럼 양 끝에 두 첨점이 있는 선분 형태의 자기교차 집합을 준다. 불행히도, 그리고 문제의 그 신사도 알아차렸듯이, 이것은 크로스 캡 곡면이 아니다.

• 맙소사, 그럼 그건 뭐요? 누군가 물었다.

그것은 단순히 두 첨점을 가진 구의 매몰이다. 그것들을 하나의 점으로 수렴시키면 자기교차선이 원이 된다. 그리고 (오른쪽 아래에서) 우리가 표준 매장으로 변형하기만 하면 되는 구의 매몰을 얻는다. 이 곡면의 다면체 표현도 줄 수 있다:

그것은 총곡률이 2π인 양면 곡면이다.

요컨대, 이런 "서브머전"으로 꽤 많이 즐길 수 있다. "무한대" 기호를 축 주위로 회전시켜 얻은 토러스의 매몰을 생각해보자:

첨점들을 하나의 점으로 수렴시키는 기술은 위의 연속 그림에서 설명한 것처럼 토러스의 표준 매장에 빠르게 도달할 수 있게 해준다.

하지만 일이 항상 그렇게 쉽고 명백하지는 않다. 예를 들어 이번에는 지름보다 짧은 두 선분 사이에 눌린 구를 생각해보자. 우리는 다시 두 첨점을 얻는다.

이 곡면은 뫼비우스 띠를 포함하므로 단면이다. 우리는 총곡률을 계산할 수 있게 해주는 그 다면체 표현을 옆에 두었다. 그러면 0을 얻는다. 내가 틀리지 않았다면, 그것은 클라인 병이어야 한다. 일반적으로 그것의 고전적 매몰만이 알려져 있는데, 거기서 자기교차선은 단순한 원이다. 하지만 여기 이것처럼 다른 것들도 있다. 나는 아직 그것을 평범한 클라인 병으로 변형하는 방법을 찾지 못했다고 고백한다. 게다가 이 "매몰"과 고전적인 것이 같은 호모토피류에 속하는지조차 모르겠다(예를 들어 구의 경우에는 하나뿐이다). 선험적으로, 단정할 수는 없다: 실제로 토러스는 3차원 공간 속에 네 가지 다른 방식으로 매몰될 수 있으며, 그것들은 정칙 호모토피로 서로 변형될 수 없다. 이 경우에 가능한지 아닌지를 밝혀낼 때까지, 나는 첨점 두 개를 더 만들어 그것을 변형시키는 것을 즐겼고, 그리하여 관으로 연결된 두 개의 크로스 캡을 얻었다. 그것들을 분해하면 오일러-푸앵카레 지표가 0이 됨을 다시 찾을 수 있다.

이 이상한 곡면은 클라인 병의 가능한 4가지 매몰 중 하나로 변형되어야 하지만, 어느 것일까? 어쨌든, 여기 8자를 축 주위로 회전시키면서 동시에 그 자체로 반 바퀴 돌려서 얻은 것이 하나 있다:

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