이탈리아어
: 안드레아 삼부세티, 로마 대학
여기를 클릭하세요 1:1 축척 모형의 도면이 나타나게 하려면, 인쇄해서 잘라내십시오.
두 가지 다른 색상의 브리스톨 판지에 네 부를 복사하면,
조립 지침을 따라 직접 모형을 만들 수 있습니다
여러분은 분명히 이 사이트 첫 페이지 왼쪽에서 기이한 물체가 쉬지 않고 회전하는 것을 보셨을 것입니다. 그것은 무엇일까요?
언젠가 시간이 나면, 이 사이트에 구의 뒤집기에 관한 설명을 설치하겠습니다. 그것은 제가 1979년 1월호 Pour la Science에 설명했던 것, 즉... 22년 전의 일입니다! 모든 것에는 많은 세부 사항과 서론이 필요할 것입니다. "구를 뒤집는다"는 것은 무슨 뜻일까요? 구는 일반인과 수학자-기하학자에게 같은 의미가 아닙니다. 일반인에게 그것은 미리 정해진 점 O로부터 거리 R에 위치한 공간의 점들의 자리에 불과합니다. 반면 기하학자는 "변형된 구", 예를 들어 감자에 해당하는 물체도 계속 "구"라고 부를 것입니다. 이러한 개념을 더 정확히 이해하려면, 만화 "토폴로지콘"이 들어 있는 Lanturlu의 CD를 구하십시오. 그러나 수학자는 조금 더 나아갑니다. 곡면은 각 점에서 접평면을 정의할 수 있을 때 "정칙"이라고 합니다. 이것만으로도 구의 무한히 가능한 정칙 변형, 즉 감자의 무한히 가능한 형태를 상상할 수 있으며, 그러한 곡면의 넓이도 임의로 변화시킬 수 있습니다. 그렇다면 우리의 물리적 우주에서 구를 뒤집으려는 사람(즉, 내부 곡면을 외부로 가져오려는 사람)은 자신의 곡면이 스스로를 통과하게 만드는 것이 불가능하다는 것과 마주하게 됩니다. 이 가설을 받아들일 때, 즉 곡면이 스스로를 통과하거나 심지어 "접촉"하는 것도 금지할 때, 수학자는 구 S2의 매장(embedding)이라고 말합니다. 그러나 수학자는 항상 모든 것을 허용합니다. 그에게 구는 "가상의" 비물질적 대상이며, 한 겹이 다른 겹을 통과하는 것이 가능하다고 간주됩니다. 아래의 연속 도면은 스스로를 통과하는 구를 보여줍니다. 그러한 표현, 즉 자기 통과를 허용하는 표현을 침입(immersion)이라고 합니다.
따라서 침입은 자기 교차 집합을 가집니다(여기서는 단순한 원형 곡선입니다). 그러나 접평면은 연속적으로 변해야 합니다. 이 전제 아래 위의 그림을 보면, 그 작업이 내부 곡면의 일부(녹색으로 표시됨)를 외부로 가져온다는 것이 분명히 보입니다. 뒤집기를 완성하려면 이 일종의 적도 창자를 납작하게 눌러야 합니다. 여기에 문제가 있는 것처럼 보입니다. 이 납작하게 누르기는 접평면의 연속성을 파괴할 것이며, 따라서 그러한 변환에는 침입이 아닌 단계가 포함될 것입니다.
어느 날 미국 수학자 스티븐 스메일은 "구 S2는 단 하나의 침입류를 가진다"는 것을 증명했습니다. 이 난해한 문장의 따름정리는 오직 진정한 침입만을 포함하는 변환을 통해 "표준" 구에서 그 "대척" 표현, 즉 각 점이 그 대척점과 교환되는 표현, 다시 말해... 뒤집힌 구로 넘어갈 수 있어야 한다는 사실이었습니다. 라울 보트는 스메일의 상사였습니다. 이 사실의 형식적 증명이 정확해 보이는 만큼, 아무도 이 뒤집기 작업을 구체적으로 실현할 수 있는 것처럼 보이지 않았습니다. 보트는 계속 스메일에게 "어떻게 진행할 생각인지 보여 주게"라고 요청했고, 그러자 유명하게도 거침없는 스메일은 "전혀 감이 없습니다"라고 대답했습니다. 스메일은 이후 수학의 노벨상에 해당하는 필즈 메달을 받았습니다. 덧붙이자면, 여러분은 아마 수학에 노벨상이 없는 이유를 궁금해하실지도 모릅니다. 답은 간단합니다. 그의 아내가 수학자와 도망쳤기 때문입니다.
상황은 꽤 오랫동안 그대로였습니다. 그러다 1967년 앤서니 필립스라는 미국 수학자가 Scientific American에 이 뒤집기의 첫 번째 버전을 발표했는데, 극도로 복잡했습니다. 두 번째는 1970년대 초 프랑스 수학자(시각 장애인) 베르나르 모랭이 고안했습니다. 제가 그 변환의 연속을 처음으로 그렸으며, 그것은 제가 예고한 대로 이 사이트의 다음 글, 아마도 꽤 풍부할 글의 주제가 될 것입니다. 어쨌든 이 모든 것은 우리를 한 가지 고찰로 이끕니다. 곡면은 다면체 형태로 표현될 수 있습니다. 정육면체나 정사면체는 이 물체들이 같은 위상을 가진다는 의미에서 구의 다면체 표현으로 간주될 수 있습니다. 이 점에 관해서는 제 토폴로지콘을 참조하십시오. 또한 구를 뒤집는 것이 가능하다면 정육면체를 뒤집는 것도 마찬가지로 가능하다는 것을 이해할 수 있습니다. 베르나르 모랭이 고안한 변환(제가 1979년 1월 Pour la Science 글에서 설명한)은 중심 모형을 거칩니다. 이 연속에는 대칭이 있습니다. 그것이 제가 "4귀 중심 모형"이라고 부르는 것입니다. 제가 앞서 나가고 있군요. 어쨌든 구가 다면체 표현에 적합한 것처럼, 이 변환의 후속 단계들도 마찬가지입니다. 제 첫 페이지에서 회전하는 것은 제가 십여 년 전에 고안한 구 뒤집기의 중심 모형의 다면체 버전입니다. 그러한 다면체 모형의 흥미는 평면 곡면으로 만들 수 있다는 데 있습니다. 종이와 가위로도 만들 수 있습니다. 아래 도면을 보십시오(괄호 안에서 정확한 치수의 요소를 만들어 준 친구 크리스토프 타르디에게 감사합니다).
여기에 전체 보기가 있는 조립 도면입니다. 그러나 인쇄하려면 découpage 페이지로 가는 것이 좋습니다. 그것을 인쇄하십시오. 그런 다음 프린터의 일반 용지에 인쇄한 이 사본을 가지고, 동일한 사본 4부를 복사하십시오. 두 부는 녹색 브리스톨 판지에, 두 부는 노란색에 하십시오. 이 잘라낼 종이들을 통해 정육면체 뒤집기의 중심 모형을 만들 수 있을 것입니다.
잘라낼 요소에는 글자 쌍이 있습니다: a, b c, d, e, f 등.... 종이를 접어 같은 글자들을 일치시키고, 그런 다음 면들을 투명 테이프로 고정하면 됩니다. 이어지는 그림들은 네 조각 중 하나를 조립하는 방법을 보여줍니다. 우선 네 요소 중 하나를 접기 시작하는 방법은 다음과 같습니다:
다음은 서로 다른 각도에서 본 네 요소 중 두 개입니다.
그런 다음 녹색과 노란색 요소가 번갈아 나타나는 4차 대칭을 가진 물체가 되도록 배치합니다. 3d로 보려면 "가상 현실" 섹션에서 타르디의 작품을 보십시오. 중심 모형은 조립되어 있으며 이 섹션에서 "vrml"로도 구현되어 있습니다. 다음은 여러 관점에서 재현한 것입니다:
한 관점이 "위"에, 다른 관점이 "아래"에 해당한다고 말할 수는 없습니다. 이러한 명칭은 완전히 임의적이기 때문입니다. 왼쪽 이미지에서 "중심" 점은 모랭의 중심 모형의 "이중점"(두 겹이 교차하는 점)에 해당하고, 오른쪽 이미지의 중심 점은 같은 모형의 "사중점"(네 겹이 교차하는 점)에 해당합니다. 왼쪽 그림이 스바스티카를 연상시키지 않도록 물체의 방향을 매우 주의 깊게 잡아야 했습니다. 그 외에 건축적 관점에서 모랭의 중심 모형에 대한 이 다면체 표현은 국가사회주의 문화의 집의 멋진 설계가 될 수 있었을 것입니다.
마지막 관찰: 구(또는 정육면체) 뒤집기의 좋은 다면체 표현은 존재하지 않습니다. "좋은"이란 위의 모형처럼 비교적 쉽게 잘라낼 종이 형태로 설명될 수 있는, 충분히 명시적인 모형의 연속을 의미합니다. 이 방향으로 연구가 필요하며, 누구나, 비수학자라도, 예를 들어 조각가라도 할 수 있습니다. 20여 년 전 저는 내 친애하는 친구 자크 불리에가 관장이던 시절 엑상프로방스 미술학교에서 조각 교사였습니다. 바로 그곳에서 타원을 통한 보이 곡면의 최초 자오선 표현, 즉 아페리가 제시한 최초 음함수 방정식 구성의 열쇠가 탄생했습니다. 당시에도 예술 학생들의 기하학적 상상력에 놀랐다고 말해야겠습니다. 그것은 종종... 기하학자들의 상상력을 능가했습니다.
2001년 12월 31일 설치된 카운터. 연결 수: