균형을 이룬 세계들
J.P. 페티
전 프랑스 과학연구원(CNRS) 연구소장
2012년 12월
영문 번역: 프랑수아 브로
과학잡지 'Pour la Science'에 게재하기 위해 학계의 학자인 로버트 도트레이가 게재를 약속한 글.
하지만 수개월간의 침묵 끝에, 이 일이 이루어질 것이라는 희망을 잃었다.
사람들이 '균형 상태의 시스템'을 떠올릴 때, 그들은 보통 분화구 바닥에 놓인 공을 떠올린다. 혹은 비슷한 이미지를 떠올린다.
그러나 열역학적 균형의 개념은 더 미묘한 '역학적 균형'을 포함한다. 가장 단순한 예는 우리가 호흡하는 공기다. 공기 분자들은 모든 방향으로 빠르게 움직이고 있으며, 이 열운동의 평균 속도는 초당 400미터이다. 끊임없이 분자들은 충돌하고 상호작용한다. 이 충돌은 각 분자의 속도를 변화시킨다. 그러나 물리학자들은 이 과정이 통계적으로는 일정한 상태를 유지한다고 말한다. 어떤 공간의 특정 지점에서, 공기 분자들의 속도를 특정 방향(예: 특정한 방향, 혹은 아주 좁은 각도 범위 내에서)에 대해 실시간으로 측정할 수 있는 요정이 있다고 상상해 보자. 그 요정은 매 순간마다, 속도가 대수적으로 V에서 V+ΔV 사이에 있는 분자들의 수를 세고, 다시 세며, 이를 그래프에 기록한다. 그러면 그는 400m/s의 평균 속도 근처에 뾰족한 꼭대기가 있는 아름다운 가우시안 곡선을 볼 수 있다. 속도가 더 빠른 분자나 더 느린 분자일수록 그 수는 점점 줄어든다.
그 요정은 공간의 모든 방향에 대해 이 측정을 반복하고, 놀랍게도 동일한 결과를 얻는다. 방 안 공기 분자의 운동은 등방성이다. 또한 이 역학적 균형이 깨지지 않는다면, 이 기체의 온도가 일정하게 유지되는 한, 어떤 외부 요인도 이 균형을 방해하지 않는다. 왜냐하면 절대온도는 바로 이러한 열운동에 해당하는 운동에너지의 평균값을 측정하는 것이기 때문이다.
물리학자들은 이 기체가 열역학적 균형 상태에 있다고 말한다. 이 상태는 또 다른 특징을 가진다. 공기 분자들은 구형 대칭을 가지지 않는다. 산소나 헬륨 같은 이원자 분자는 땅콩 모양이다. 이산화탄소와 수증기 분자는 더욱 다른 형태를 가진다. 그러나 이 물체들은 스스로 회전하면서 관성의 작은 풍선처럼 에너지를 저장할 수 있다. 또한 진동할 수도 있다. 에너지의 등분배 원리에 따르면, 이 에너지는 이러한 다양한 '모드'에 균등하게 분배되어야 한다. 충돌 시 운동에너지가 분자의 진동이나 회전을 유도할 수 있다. 그러나 역으로도 가능하다. 결국 모든 것은 통계의 문제이며, 이 요정은 몇몇 분자가 어떤 상태에 있는지, 어떤 운동에너지 값을 가지는지, 어떤 진동 상태에 있는지 세어볼 수 있다. 우리가 호흡하는 공기에서도 이 조사 결과는 일정한 상태를 유지한다. 이러한 매체는 '완전히 회복된 열역학적 균형 상태'에 있다고 말한다.
이제 마법사가 이 분자들의 운동을 시간적으로 멈추고, 회전과 진동의 다양한 움직임을 고정한 후, 자신이 원하는 대로 조작하여 통계를 바꾸고, 아름다운 가우시안 곡선을 왜곡하거나, 예를 들어 특정 방향에서 열운동 속도가 수직 방향보다 두 배로 높은 비등방적인 상태를 만들어 낼 수 있다고 상상해 보자. 그런 후 이 시스템이 충돌의 영향을 받아 자연스럽게 진화하도록 놔둔다.
이 시스템이 열역학적 균형 상태로 돌아오기 위해 몇 번의 충돌이 필요한가? 답은 단지 몇 번이다. 분자 간의 평균 자유 경로 시간은 기체에서의 회복 시간, 즉 열역학적 균형 상태로 돌아가는 시간의 주요 척도가 된다.
균형 상태에서 벗어난 매체는 존재하는가? 즉, 구성 요소들의 운동 속도 통계가 안정적인 등방성과 아름다운 가우시안 곡선에서 크게 벗어난 경우는?
물론 존재한다. 사실 우주에서는 이것이 대부분의 경우이다! 수백억 개의 별로 이루어진 은하, 즉 '은하도'는, 각 별의 질량이 대체로 비슷하므로 기체 집합체로 간주할 수 있다. 여기서 분자는 별들이다. 이 경우, 별의 평균 자유 경로 시간이 우주의 나이의 1만 배에 달하는 놀라운 세계를 발견하게 된다. 그러나 여기서 '만남'이란 무엇을 의미하는가? 두 천체가 충돌하는 것을 말하는가? 전혀 아니다. 이론적 기체 이론이라는 물리학 분야에서는 별의 궤도가 이웃 별과 교차할 때 그 궤도가 감지할 만큼 변화하면 충돌로 간주한다. 그러나 계산 결과, 이러한 사건은 극히 드물며, 은하 내 수십억 개의 별들이 궤도를 도는 시스템은 거의 충돌이 없는 시스템으로 간주할 수 있다. 따라서 수십억 년 동안 태양의 궤도는 매우 규칙적이고 거의 원형이다. 만약 태양이 의식을 가졌다면, 이웃 별과의 만남으로 인한 궤도 변화가 없었다면, 이웃이 있다는 사실을 몰랐을 것이다. 중력장은 그저 '부드러운 웅덩이'로만 인식될 뿐이다. 다른 별들이 만든 미세한 불규칙성은 느끼지 못한 채, 그는 마치 작은 흠집이 없는 웅덩이 속을 걷는 것처럼 움직일 것이다.
즉각 도출되는 결론은 다음과 같다. 우리가 요정을 천문학자로 바꾸어 태양 근처에 두고, 은하계 내 모든 별들의 상대적 속도를 모든 방향에서 통계적으로 조사해 보자. 그러면 매우 명확한 사실이 드러난다. 이 매체는 역학적으로 매우 비등방적이다. 별의 운동 속도(천문학자들이 태양 근처에서 평균 230km/s의 운동을 기준으로 한 잔여 속도라 부르는 것)가 수직 방향보다 약 두 배 높은 방향이 존재한다. 우리가 호흡하는 공기에서는 속도의 '타원체'를 말했지만, 여기서는 '속도의 타원체'가 된다.
이러한 현상이 우리가 세계를 어떻게 이해하고 인식하는 데 어떤 영향을 미치는가? 이는 모든 것을 바꾼다. 왜냐하면 우리는 이처럼 극단적으로 균형에서 벗어난 시스템을 이론적으로 다룰 수 없기 때문이다. 은하계의 이상한 질량 부족 현상(스위스계 미국인 프리츠 즈위키가 발견)을 제외하면, 자중력으로 움직이는 점질량 시스템(자신의 중력장 내에서 궤도를 도는)에 대한 모델을 전혀 만들 수 없다. 우리의 물리학은 항상 열역학적 균형 상태 근처에 있다. 물론 이와 저와의 작은 차이는 균형에서 벗어난 것으로 간주되며, 예를 들어 두 기체 영역 사이의 온도 차이는 열전도, 즉 열운동의 운동에너지 전달을 유도한다. 이 경우, 요정이 측정을 하면, 역학적으로는 '거의 등방적'이라고 결론지을 것이다. 이는 강한 바람이 불어도 대기에서는 여전히 해당된다.
그렇다면, 기체나 유체가 명백히 균형에서 벗어난 상태를 실제로 경험하거나 '손으로 만져볼 수 있는' 경우는 없는가? 충격파를 통과할 때 이러한 조건을 찾을 수 있다. 충격파 영역은 제한된 크기를 가지며, 정확히 말해 충격파의 두께는 평균 자유 경로의 수 배 정도이다. 충격파를 통과할 때 기체는 매우 급격하게 한 상태에서 다른 상태로 전환되며, 몇 번의 평균 자유 경로 시간 후에는 열역학적 균형에 매우 가까운 상태가 다시 회복된다.
약 40년 전, 제가 일하던 마르세유 유체역학연구소(지금은 사라짐)에서 우연히 발견한 사실이 있다. 그곳에는 '충격파 튜브'라 불리는 가스 총이 있었다. 간단히 말해, 폭발물을 이용해 수천 미터/초의 속도로 기체 내에서 충격파를 발생시켰다. 초기 기체는 수 밀리미터 수은의 압력이었다. 충격파가 지나간 후 기체는 압축되어 밀도가 증가했다. 우리는 광학적 간섭계를 이용해 밀도의 상승을 쉽게 정확하게 확인할 수 있었다. 당시에는 펙시글라스 모형의 표면에서 열유동을 측정하는 실험이 있었다. 이 실험은 전부 몇 밀리초밖에 지속되지 않아, 측정 장비의 반응 속도가 매우 빨라야 했다. 실제로는 벽에 진공 증착된 몇 마이크론 두께의 금속 필름으로 구성된 열저항계를 사용했다. 이 센서의 저항이 가열되면서 변화하는 것을 기록함으로써 열유동을 평가했다.
어느 날, 우리는 튜브 벽에 단순히 센서를 설치했다. 그런데 충격파가 지나간 후, 밀도가 급격히 증가하는 신호를 받은 후, 열유동이 센서에 나타나는 데 일정한 지연이 있었다. 그러나 우리는 센서의 열관성은 충분히 낮아서 이 지연이 그 때문이 아니라는 것을 확신했다. 사실 우리는 충격파 뒤의 열역학적 균형으로의 회복 현상을 직접 경험한 것이다. 이 현상을 망치질에 비유할 수 있다. 밀도가 급격히 증가할 뿐만 아니라, 온도도 급격히 상승하며, 분자들의 열운동 속도가 증가하는 것을 관찰할 수 있다. 그러나 이 충격파 뒤에서는 등방성이 평균 자유 경로 수 개의 시간이 지난 후에야 나타난다. 밀도 변화의 전면 바로 뒤에서는 열운동의 증가가 처음에는 충격파에 수직인 방향으로만 나타난다. 우리가 센서를 통해 열을 수집하는 것은 공기 분자가 그 표면에 충돌하기 때문이다. 그러나 충격파 바로 뒤에서는 일정 거리 동안 열운동이 벽과 평행하게 일어난다. 기체는 매우 '따뜻했지만', 일시적으로 벽에 열을 전달할 수 없었다. 충돌이 반복되면서 '속도의 타원체'는 '속도의 구체'로 변하고, 결국 센서는 수신한 열유동을 기록하게 된다. 제가 기억하기로는, 실험 조건상, 밀도 전면에서 열유동이 기록된 거리는 전면에서 약 1cm 정도였다.
따라서 충격파는 기체 매체가 명백히 균형에서 벗어난 매우 얇은 영역을 나타낸다. 이러한 현상을 어떻게 다루는가? 평균 자유 경로의 두께가 거의 0인 표면으로 간주하는 것이다. 이 방법은 거의 1세기 동안 효과적으로 작동해 왔다.
나는 컴퓨터 역사 전체를 경험한 나이가 있다. 국립항공학교에서 공부할 당시에는 집에 컴퓨터가 하나도 없었다. 컴퓨터는 '계산센터'라 불리는 성소에 있었고, 우리는 그곳에 접근할 수 없었다. 우리는 계산자(현재 젊은 세대에게는 희귀한 물건)를 사용했다. 예비 과정에서는 각자 '로그 표'를 가지고 있었고, 시험에서는 이 계산자를 이용한 수치 계산이 매우 번거로운 과정이었다. 오늘날은 이런 계산자가 박물관에서나 볼 수 있다. 졸업 후에는 수동식 기계 계산기 Facit이 등장했다. 곱셈은 한쪽으로, 나눗셈은 반대쪽으로 손잡이를 돌려 계산했다. 교수나 부서장들은 전기식 기계를 사용했고, 1964년 유체역학연구소의 조용한 사무실을 전기 기어의 콩닥거림이 가득 채웠다. 컴퓨터는 여전히 접근할 수 없는 신성한 존재였고, 그 모습은 항상 계산센터의 유리 너머에서만 볼 수 있었다. 오늘날의 계산기 수준의 성능을 가진 이 기계들은 백색 작업복을 입은 제사장들이 돌보았다. 우리가 이 기계에 접근하려면, 두꺼운 카드 팩을 넣어야 했고, 이 카드는 거친 소음을 내며 '카드 리더'에 의해 읽혔다. 우리는 '계산 시간'을 구입했으며, 그 시간은 초 단위로 측정되었고, 매우 비쌌다. 오늘날의 젊은이들에게는 고대의 모습이다. 마이크로 컴퓨터의 등장은 모든 것을 바꿔놓았다. 그리고 그 이후 컴퓨터의 성능은 급격히 상승했다. 인터넷에는 거대한 서버 랙이 가득한 사진들이 많다. 보통 검은색이며, 상상할 수 없을 정도로 방대한 데이터를 처리한다. 메가플롭스, 기가플롭스, 페타플롭스… 원하면 얼마든지 있다. 1970년대에는 애플 II의 RAM 내용을 전부 탐색하는 것이 충분히 가능했고, 그 내용은 작은 책자 한 권에 담겨 있었다.
우리는 프로메테우스의 세계에 살고 있다. 그렇다면 이 현대적 도구들이 물리학에 대한 우리의 통제력을 강화했는가?
내 머릿속에 한 이야기가 떠오른다. 나는 프랑스에서 마이크로 컴퓨터의 선구자 중 하나였으며, 초기 Apple II 기반의 센터를 이끌었다. 당시 아르스 아르테스 아크스 예술학교에서 조각 교사로도 활동했다. 어느 날, 내부에 그림을 그리는 테이블이 장착된 컴퓨터를 소개했다. 이 컴퓨터는 요청에 따라 뛰어난 기술로 원근법을 그릴 수 있었다. 한 노년의 교수가 눈을 치켜뜨며 말했다. "당신은 컴퓨터가 예술가를 대체할 것이라고 말하는 건가요?" 이 상황을 비유하면, 어떤 사람이 거대한 데이터센터를 둘러본 후 "당신은 컴퓨터가 뇌를 대체할 것이라고 말하는 건가요?"라고 말할 수 있겠다.
계산 능력의 급격한 증가와 병렬 처리, 멀티프로세서의 발전에도 불구하고, 우리는 여전히 멀리 떨어져 있다. 그러나 일부 분야에서는 이 기계들이 우리의 로그 표, 계산자, 기타 장치들을 완전히 쓸모없게 만들었다. 이제는 종이와 연필로 적분을 계산하는 사람은 누구도 없고, 미분 방정식을 다루는 사람은 수학자 외에는 거의 없다. 오늘날 우리는 '컴퓨터가 모든 것을 처리한다'는 믿음을 가지고 산다. 알고리즘을 만들고, 데이터를 입력하고, 실행만 시키면 결과를 보는 것으로 충분하다. 실제로 건물이나 예술 작품을 그리는 데는 매우 효과적이다. 유체역학에서도 성공을 거두었다. 예를 들어, 어떤 모양의 표면 요소를 유동과 수직으로 배치하고, 그 뒤에서 발생하는 회전 유동의 형태를 계산할 수 있으며, 그 모양이 어떻게 되든 상관없다. 이는 실험과 완벽하게 일치하는가? 반드시 그렇지는 않다. 그러나 정성적으로는 현상을 완전히 이해할 수 있으며, 예를 들어 기체의 회전으로 인해 발생하는 항력의 크기를 신뢰성 있게 계산할 수 있다. 같은 방식으로 실린더 내 연소 효율이나 공간 내 대류도 계산할 수 있다. 예보 기상학은 시간 범위가 몇 일 정도로 제한되지만, 점점 더 발전하고 있다. 다만 '마이크로 현상', 즉 매우 국지적인 기상 현상은 여전히 예측하기 어렵고 관리하기 어렵다.
그러나 모든 분야에서 이와 같은 상황인가?
어떤 존재들은 현대의 컴퓨터가 주장하는 방정식의 제어자라는 것에 마음을 열지 않는다. 바로 플라즈마이다. 플라즈마는 균형에서 벗어난 세계의 최고의 대표자이다. 게다가 플라즈마는 유체역학과는 거리가 멀다. 왜냐하면 플라즈마는 전자기장이라는 장거리 작용을 통해 작용하기 때문이다. 이 장은 시스템을 구성하는 모든 전하 입자의 기여를 합산해야만 평가할 수 있다. 그렇다면, 플라즈마를 N체 문제로 다루면 되지 않겠는가? 말은 쉬운데, 실현은 어렵다.
지금까지 은하를 비결이 없는 세계의 예로 들었다. 토카막도 마찬가지이다 (ITER는 거대한 토카막이다). 이 기체는 매우 희박하다. 가동 전, ITER의 840m³ 공간 내 압력은 수은의 몇 밀리미터 미만의 아주 작은 값이다. 왜 이렇게 낮은 압력인가? 왜냐하면 이 기체를 1억도 이상으로 가열하기 때문이다. 압력은 p = n k T라는 공식으로 주어지며, k는 볼츠만 상수, T는 절대온도, n은 1m³당 입자 수이다. 플라즈마를 격리하기 위해서는 자기압력이 필요하며, 이는 자기장 세기의 제곱에 비례한다. 5.3테슬라의 자기장에서는 자기압력이 200기압에 달한다. 플라즈마를 격리하려면 그 압력이 이 값보다 훨씬 낮아야 한다. 초전도 장치를 이용해 자기장을 무한히 높일 수는 없기 때문에, 플라즈마의 밀도는 매우 낮은 수준으로 제한된다. 따라서 이는 완전히 비충돌적인 존재이며, 신뢰할 수 있는 거시적 설명이 불가능하다. 이를 N체 문제로 다룬다면, 지금도, 미래에도 불가능하다. ITER에는 10²¹개의 입자가 있으며, 각 입자에 대해 위치와 속도를 각각 3개씩 총 6개의 양을 고려해야 한다. 중성 유체역학처럼 국소적으로 생각할 수 없다. 각 영역은 전자기장을 통해 모든 다른 영역과 결합되어 있다. 예를 들어 플라즈마 중심에서 벽으로의 에너지 전달 문제를 생각해 보자. 전도와 난류 외에도, '비정상적 운반'이라는 세 번째 메커니즘이 작용한다. 이는 전자기파를 통해 발생한다.
한마디로, 토카막은 이론가에게는 절대적인 악몽이다.
플라즈마 자체의 통제 불능성 외에도, 벽에서 떨어진 입자