크로스캡을 스텐너의 로마 표면을 거쳐 보이 표면으로 변환하기
가상 현실 이미지에서 발견한 크로스캡을, 선택에 따라 왼쪽 또는 오른쪽 보이 표면으로 변환하는 방법.
2003년 9월 27일 - 10월 25일
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여기 보이는 것이 바로 여러분이 가상 현실 이미지에서 발견한 크로스캡입니다. 이 표면은 두 개의 쿠스피다점(모서리점)을 가지며, 이들은 자가교차선을 둘러싸고 있습니다. 이 표면은 헤어드라이어로 공기를 빨아들이는 방식으로 공을 눌러 만들 수 있습니다. 그러나 다각형 형태의 표현도 만들 수 있습니다. 아래에 보이는 것이 특히 주목할 만합니다.
이 그림 4에서는 이해하기 가장 어려운 순간이 나타납니다. 단순히 그림만 보고 누구나 이 도형을 이해할 수 있다고 보는 것은 거의 불가능해 보입니다. 이 모형을 직접 만들어 보세요. 명확히 말해, 점 C2를 표면 내부 방향으로 끌어당깁니다(그러나 이는 사실 의미가 없습니다. 왜냐하면 여러분이 이미 눈치챘겠지만, 크로스캡은 단면이기 때문입니다. 표면을 더 강하게 당기면 표면이 스스로를 교차시키며, 자가교차선은 8자 형태의 곡선으로 완성됩니다. 이 과정에서 삼중점 T가 생깁니다.
다각형 형태로 보는 것이 표면을 더 잘 이해할 수 있습니다. 아래 그림에서는 일부 요소를 확대하여, 왜 이 물체를 스텐너의 로마 표면으로 변환해야 하는지 보여줍니다(가상 현실을 참조). 가장 간단한 다각형 형태는 네 개의 정육면체를 조합하는 것입니다(여기서는 세 개만 보입니다).
그림 5: 왼쪽은 다각형 형태, 오른쪽은 8자 형태. 화살표는 우리가 "누르는" 통로를 따라갑니다. 아래는 누르기 시작하는 단계입니다.
그림 6: 누르기를 통해 특이점 B를 만듭니다. 실제로 양쪽에서 동시에 누르기 때문에 시간을 절약하기 위해, 특이점 S1과 S1이 생기며, 두 쌍의 쿠스피다점이 형성됩니다. 이 시점에서 브리스톨지, 가위, 테이프 없이 작업하는 것은 어렵습니다.
그림 7: 단지 다양한 쿠스피다점을 이동시켰을 뿐입니다. 점 C2는 "명확하게" 보이지만, 점 C3와 C4가 쿠스피다점임을 인식하는 것은 약간 더 어렵습니다. 그러나 이 점들은 자가교차선의 끝부분에 존재합니다. 점 C3 위에는 제가 '포지코인'이라고 부르는 점이 있습니다. 이는 양의 곡률이 집중된 점(음의 곡률이 집중된 점은 '네가코인'이라고 부릅니다). 이 물체를 약간 변형하면, 스텐너가 로마에서 고안한 4차 표면인 로마 표면의 다각형 형태에 도달하게 됩니다. 가상 현실에서의 설명 보기
결국, 이 작업은 성공했습니다. 우리가 설정하는 규칙에 따라 다양한 종류의 표면이 존재합니다. 스스로를 교차시키지 않는 표면은 '임베딩'(예: 3차원 공간 R³에서 구나 토러스의 임베딩)이라고 합니다. 스스로를 교차시키지만 접선의 방향이 연속적으로 변하는 경우는 '임머전'이라고 부릅니다. 예: 클라인 병의 전통적인 표현. R³에서는 클라인 병을 임베딩 형태로 표현할 수 없습니다. 반드시 스스로를 교차시켜야 합니다. 임머전은 쿠스피다점이 없는 자가교차 집합을 가집니다. 이러한 곡선은 연속적이지만, 두 점 또는 세 점의 교차가 발생할 수 있습니다. 참고: 구는 단순히 스스로를 교차시키게 함으로써 임머전 형태로 표현될 수 있습니다. 실제로 이것이 1967년 A.필립스가 구를 뒤집는 방법(중심 단계로 보이 표면의 이중 겹침을 사용), 그리고 1979년 B.모린과 J.P.페티가 사용한 방법(모린의 네 귀 모델을 중심으로, 아래에 제가 약 10년 전에 고안한 다각형 표현이 있습니다).
이러한 규칙을 확장하여, 이 물체들이 쿠스피다점을 가진다고 가정하면, 이는 '서브머전'이 됩니다(크로스캡, 스텐너의 로마 표면). 제가 사용한 이 단어가 정확한지는 모르지만, 제가 도움을 줄 수 있는 수학자들을 찾지 못했기 때문에, 전문가가 나타날 때까지 임시로 사용해 보는 것이 재미있어 보였습니다. 따라서 크로스캡과 스텐너의 로마 표면은 모두 '사영 평면'의 서브머전이라고 볼 수 있습니다.
솔직히 말해, 25년간의 MHD 연구에서의 실패 이후, 저는 이 작업이 군사적 응용과 가장 멀리 떨어져 있다고 생각했기 때문에 시작했습니다. 그러나 오래된 친구인 민이 지적했듯이, '서브머전'이라는 용어는 혼동을 줄 수 있으며, 해군이 이 연구를 통해 잠수함 추진 기술의 돌파구를 숨기려 한다고 오해할 수 있습니다.
쿠스피다점 쌍의 '생성-소멸' 규칙을 통해 한 서브머전에서 다른 서브머전으로 전환할 수 있으며, 우리가 방금 한 일은 크로스캡과 스텐너의 로마 표면이 모두 동일한 물체인 '사영 평면'의 서브머전임을 보여주는 것입니다. '사영 평면'이 어떤 모양인지 궁금할 수 있지만, 이 물체는 그 다양한 표현을 통해만 이해할 수 있습니다. '사영 평면'이라는 말은 수학자들이 그들의 폐쇄된 세계에 들어오려는 사람들을 혼란스럽게 만들기 위해 고안한 수천 가지 용어 중 하나일 뿐입니다. 라루스 사전은 수학에서는 아무런 도움이 되지 않습니다.
이제 보이 표면으로 넘어가야 합니다. 보이 표면은 사영 평면의 임머전입니다.
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