크로스캡을 스테이너의 로마 표면을 통해 보이 표면으로 변형하기
스테이너의 로마 표면을 거쳐 크로스캡을 오른쪽 또는 왼쪽 보이 표면으로 변형하는 방법.
2003년 9월 27일
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이제 모델을 다른 각도에서 제시한다.
그림 14: 동일한 작업을 반복하여 교차 곡선의 세 번째 "귀"를 만든다. 다면체 형태에서는 이 부분이 공통된 꼭짓점을 가진 세 개의 정사각형으로 표현되며, 이 꼭짓점은 삼중점 T 를 나타낸다.
그림 15: 물체를 회전시키면, 내가 '톱로지콘'에서 소개한 다면체 형태의 보이 표면을 다시 만날 수 있다. 이 표면은 직접 조립할 수 있도록 자르는 방법이 포함되어 있다.
마지막 그림: 나는 4차 스테이너 표면(보이 표면은 6차)이 어떻게 비틀리며 보이 표면으로 변형되는지를 시도해 보았다.
보이듯이, 이 물체를 이해하려면 상당한 익숙함이 필요하다. 우리가 보는 시선이 동시에 두 장 이상의 겹쳐진 면을 포함할 경우, 우리의 눈은 매우 불편함을 느낀다. 이에 따라 다면체 형태가 중요한데, 일반인들도 직접 모델을 조립함으로써 기하학에서 복잡하게 여겨지는 변형을 쉽게 이해할 수 있기 때문이다. 동시에, 선택한 쿠스피드 점 쌍에 따라 오른쪽 또는 왼쪽 보이 표면이 만들어진다는 점을 알 수 있다(이 용어는 완전히 임의적이다). 평면은 두 가지 "에나니오모르프" 형태로 임베딩되며, 서로 거울상 관계이다. 오른쪽 보이 표면에서 왼쪽 보이 표면으로 전환할 수 있으며, 그 중간에 있는 중심 모델은 스테이너의 로마 표면이다.
이런 그림들이 '포르 라 사이언스'나 '라 레체르슈'에 게재되었으면 좋겠다. 하지만 지난 20년 동안 나는 우주선에 대한 이론적 편향으로 인해 이 두 잡지에서 출판 금지 상태다. 헤르베 티스 씨와 피에르 보랑제르 씨께 감사드립니다. 이런 종류의 기사들을 나는 수없이 보냈지만, 정중하게 되돌려받기만 했다. 결국 나는 자신이 추방된 존재라는 것을 받아들이게 되었다.
일화적으로, 프랑스에는 수학 대중화 서적을 위한 '알랭베르 상'이 있다. 이 이야기는 상을 결정하는 위원회 소속 한 사람이 들려준 것이다(상금도 어느 정도 있다). 대화 내용은 다음과 같다.
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하지만 어쩌면 페티에게 상을 주는 것은 어때요? 그는 '기하학콘', '블랙홀', '톱로지콘' 같은 훌륭한 책들을 썼잖아요.
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그렇긴 하지만, 그는 그 외에도 다른 책을 썼어요.
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무슨 말이죠?
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그는 '침묵의 벽'도 썼어요.
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아, 그렇다면... 그렇군요.
맞습니다. 1983년 출간된 '침묵의 벽'은 MHD(우주선 비행학)에 관한 책입니다. 그리고 누구나 아는 바와 같이, 이 신비로운 과학은 비행체가 음속 이상으로 비행할 때 '펑' 소리를 내지 않도록 해주는 특별한 능력을 지닌 것으로 알려져 있습니다.
이 과학을 숨겨라, 내가 보지 못하게 하여라
나는 '큐브 뒤집기'의 아름다운 버전을 가지고 있는데, 중심 모델은 매우 아름다운 형태이며, 모린의 변형의 다면체 형태가 아니다. 이 모든 것은 나의 창작이다. 언젠가는 그걸 공개할 날이 올 것이다.
2003년 10월 22일: 카운터 숫자를 보아하니, 이 페이지들은 별로 인기가 없는 듯하다. 2003년 10월 13일 월요일, 트로트만의 초청으로 마르세이유의 CMI(마르세이유 샤토-꽁베르 수학·정보센터)에서 세미나를 진행했다. 그 기회에 크리스토프 타르디가 촬영한 종이 모델 약 30개를 전시했다. 곧 여러분께 선보일 예정이다.
세미나를 할 때는 특별한 분위기가 형성된다. 다음 사진에서 한 기하학자가 당황한 표정을 짓고 있다.
뒷배경에는 전시된 모델의 일부가 보인다. 어느 순간 나는 이렇게 물었다.
- "이 로마 표면을 본 적 있는 사람은 손을 들어보세요."
결과는 아무도 본 적이 없었다. 그래서 나는 실제로 가상의 모델을 내가 가져온 노트북으로 보여주기로 했다. 이 모델은 크리스토프 타르디(엔지니어)와 그레노블의 라우-랑게빈 연구소(ILL)의 프레데릭 데스캄의 협력으로 제작되었다. 명백히 이 보여주는 방식은 청중을 당황시켰다. 그들은 수학적 표면이 자유롭게 뒤집히는 모습을 보는 데 익숙하지 않았기 때문이다.
앞쪽에 보이는 두 장의 종이 패널은 모델의 논리적 순서를 보여주기 위해 사용되었다. 녹색과 노란색 모델은 다면체 형태로 쿠스피드 점 쌍을 생성·소멸하는 핵심 도구를 보여준다. 가장 멀리 있는 흰색 물체는 다면체 형태의 크로스캡이며, 먼저 다면체 형태의 스테이너 로마 표면으로 변형되고, 한 미터 떨어진 곳에서 다시 보이 표면(오른쪽 또는 왼쪽)으로 변형된다.
모형 분석을 통해 청중들 사이에서 여러 가지 의견이 제기되었다. 한 기하학자가 질문했다.
- "이 모형을 이 방향으로 따라가면 크로스캡에서 보이 표면으로 갈 수 있다면, 역으로 진행하면 보이 표면을 크로스캡으로 변형할 수 있을 것 같은데요?"
나는 긍정적으로 답했다. 더 용기를 얻은 그는 추가로 말했다.
- "로마 표면에 도달했을 때 멈추면, 거울상의 보이 표면으로 다시 되돌릴 수 있지 않을까요?"
나는 다시 한번 동의했다. 그러나 안타깝게도 아무도 이 이상한 세계에 대해 설명해줄 사람이 없었다. 폐쇄된 표면의 임베딩에 쿠스피드 점을 부여하고, 이 점들을 쌍으로 생성하거나 소멸하는 과정은 일반적인 임베딩의 세계를 확장한 것처럼 보인다. '서머션(submersions)'이라는 용어가 적절할 것 같다. 만약 누군가 이에 대한 설명을 찾게 된다면, 그 정보는 매우 반갑게 환영받을 것이다.
쿠스피드 점에서 집중된 곡률
정점에서 각도를 더한 후 유클리드 각도 합 2π와 비교하여 계산한다.
왼쪽 상단에는 다면체 형태의 쿠스피드 점의 여러 표현 중 하나를 보여주었다. 오른쪽의 분해 과정을 거치면 유클리드 각도 합 2π를 초과하는 값 2α가 나온다. 따라서 이 점 C 주변에 집중된 각도 곡률은 -2α가 된다. 만약 각도 α가 π/2라면, 음의 곡률은 c (아래 왼쪽 그림)가 된다. 실제로 쿠스피드 점에 집중된 곡률은 무한한 값들을 가질 수 있다. 아래 오른쪽에서는 각도 합을 더 크게 하여 곡률이 2α보다 작게 만들었다. 이로써 음의 곡률을 더욱 강조할 수 있다.
역으로 작동하면 매우 놀라운 상황에 이르게 된다: 점 C 주변에 집중된 각도 곡률을 완전히 0으로 만들 수 있다.
이제 크로스캡의 다면체 표현에서 각각 -π의 음의 곡률을 가진 두 개의 쿠스피드 점이 있는 경우를 생각해보자.
+π/2의 곡률을 가진 여덟 개의 '포지코인'이 있다. 여기에 +π/4의 곡률을 가진 네 개의 '포지코인'과 -π/4의 곡률을 가진 네 개의 '네가코인'을 더한다.
또한 두 개의 쿠스피드 점은 각각 -π의 곡률을 가진다.
합계: 2π
이 총 곡률을 2π로 나누면, 보이 표면을 포함한 모든 평면의 다면체 표현에 대해 오일러-포앵카레 특성 수가 나온다.
내 세미나에서 나는 구의 뒤집기 기법을 이용해 크로스캡의 두 쿠스피드 점을 교환하는 방법을 설명했다. 이 내용을 내 웹사이트에 올렸는지 기억이 나지 않는다. 너무 복잡해서 찾기가 어렵다. 그래도 언젠가는 찾아내야겠다. 아니면 다른 곳에 올릴 것이다. 꽤 재미있는 내용이다. 그러나 그 세미나에서 한 참석자는 이 발표에 별로 만족하지 않았다.
- 페티 씨가 왜 크로스캡의 두 쿠스피드 점 사이의 대칭성을 보여주기 위해 이렇게 복잡한 장비를 써야 하는지 이해할 수 없다. 훨씬 간단한 방법이 있다.
그는 보드에 구를 두 개의 막대 사이에서 눌러서 연결시키는 그림을 그렸다. 실제로 이는 크로스캡과 마찬가지로 두 쿠스피드 점으로 둘러싸인 선분 형태의 자가교차 구조를 만들어낸다. 그러나 안타깝게도, 그는 이 모양이 크로스캡이 아니라는 것을 깨달았다.
- 어이쿠, 그렇다면 이건 도대체 뭐죠? 누군가 물었다.
이것은 단순히 두 개의 쿠스피드 점을 가진 구일 뿐이다. 이 두 점이 합쳐지면 자가교차선이 단순한 원이 되고, 아래 왼쪽(단면)에서는 구의 임베딩을 얻게 된다. 이는 단순히 구의 포함형으로 바꾸기만 하면 된다. 또한 이 표면을 다면체 형태로 표현할 수도 있다.
이 표면은 양면적이며 곡률은 2π이다.
따라서 이런 '서머션'을 가지고 놀아볼 수 있다. 토러스의 임베딩을 생각해보자. 무한 기호 또는 '8' 모양을 축을 중심으로 돌리는 것이다.
쿠스피드 점의 융합 기술을 사용하면, 그림의 순서대로 표준 토러스 포함형에 매우 빠르게 도달할 수 있다.
그러나 때로는 생각보다 쉽지 않다. 예를 들어, 두 선분 사이에 구를 눌러보자. 이번에는 선분 길이가 지름보다 짧다. 여전히 두 개의 쿠스피드 점이 생긴다.
이 표면에는 모비우스 띠를 넣을 수 있으므로, 이 표면은 단면적이다. 다면체 형태로 표현하여 총 곡률을 계산해보면 0이 나온다. 내가 틀리지 않는다면, 이것은 클라인 병일 것이다. 일반적으로 알려진 임베딩은 자가교차선이 단순한 원인 경우지만, 이 외에도 여러 가지 형태가 있다. 나는 위의 물체를 클라인 병의 임베딩으로 변형하는 방법을 아직 찾지 못했다. 또한, 다양한 임베딩이 동일한 호모토피 군에 속하는지 여부도 알 수 없다(구는 하나뿐이다). 우선, 토러스는 정칙 호모토피로 연결되지 않는 네 가지 다른 임베딩 방식이 있으므로, 아마도 그렇지 않을 것이다. 그 사이에 나는 이 표면에 추가로 두 개의 쿠스피드 점을 만들어내어, 두 개의 크로스캡이 튜브로 연결된 형태로 만들었다. 이들을 잘라내면 오일러-포앵카레 특성 수가 0이 된다.
이 '기묘한 표면'은 클라인 병의 임베딩 중 하나로 변형될 수 있어야 한다. 그러나 어느 것일까? 어쨌든, '8' 모양을 축을 중심으로 돌리면서 동시에 반 바퀴를 더하는 방식으로 얻은 하나의 임베딩을 보여준다.
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