크로스캡을 보이 표면으로 변환하는 과정, 스테이너의 로마 표면을 통해
크로스캡을 선택한 방향(오른쪽 또는 왼쪽)의 보이 표면으로, 스테이너의 로마 표면을 거쳐 변환하는 방법.
2003년 9월 27일
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이제 모델을 다른 각도에서 제시한다.
그림 14: 동일한 작업을 반복하여 교차 곡선의 세 번째 "귀"를 만든다. 다면체 형태에서는 이 부분이 공통된 꼭짓점을 가진 세 개의 정사각형으로 구성되며, 이 꼭짓점은 삼중점 T이다.
그림 15: 물체를 회전시키면, 내가 '톱로지콘'에서 소개한 다면체 형태의 보이 표면을 다시 볼 수 있다(이 모델은 직접 만들 수 있도록 자르는 방법이 포함되어 있다).
마지막 그림: 나는 스테이너 표면(4차 곡면, 보이 표면은 6차 곡면임)이 몸부림치며 보이 표면으로 변하는 모습을 시도해 보았다.
"둥글둥글한" 형태에서는 이 물체를 이해하기 위해 상당한 익숙함이 필요하다. 우리가 한 번에 두 장 이상의 겹쳐진 표면을 동일한 시선으로 인식하는 것을 매우 어렵게 느끼기 때문이다. 이에 따라 다면체 형태는 수학적으로 매우 정교하게 여겨지는 변환을 일반인도 직접 모델을 만들면서 이해할 수 있도록 도와준다. 동시에, 선택한 코너 점 쌍에 따라 오른쪽 또는 왼쪽 보이 표면을 얻을 수 있음을 알 수 있다(이 용어는 완전히 임의적이다). 실수는 두 가지 "반사적"인 표현 방식으로 평면의 임베딩을 가능하게 한다. 오른쪽 보이 표면에서 왼쪽 보이 표면으로 전환하는 중간 모델로 스테이너의 로마 표면이 존재함을 알 수 있다.
이러한 그림들이 '과학을 위한 것'이나 '연구'에 게재된다면 정말 즐거울 것이다. 그러나 지난 20년간 나는 우주선에 대한 이론적 편향으로 인해 이 두 잡지에서 출판 금지 상태다. 헤르베 티스와 피에르 보랑거 씨에게 고맙다. 나는 이 잡지에 보낸 이와 같은 기사들을 수없이 보냈지만, 모두 정중히 되돌려받았다. 결국 나는 자신이 추방된 존재라는 사실에 익숙해졌다.
일화적으로, 프랑스에는 수학 대중화 서적을 위한 '알랭베르 상'이 있다. 이 이야기는 상을 결정하는 위원회 구성원으로부터 들었다(상금도 어느 정도 있다). 대화 내용은 다음과 같다.
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하지만, 페티에게 상을 주는 것은 어때요? 그는 '기하학콘', '블랙홀', '톱로지콘'과 같은 훌륭한 저서를 썼죠.
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맞아요, 하지만 그는 그 외에도 다른 책을 썼어요.
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무슨 말을 하시는 거죠?
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그는 '침묵의 벽'도 썼어요.
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아, 그렇다면...
맞다. 1983년 출간된 '침묵의 벽'은 MHD(비행체의 자기장 조절 기술)에 관한 책이다. 누구나 아는 바와 같이, 이 논쟁적인 과학은 비행선이 폭음 없이 초음속 비행을 가능하게 한다는 특성을 지닌다.
이 과학을 숨기라, 내가 보지 못하게 하라
내 창고에는 아주 아름다운 '정육면체 뒤집기'의 버전이 있는데, 중심 모델이 매우 아름다운데, 모린의 변형의 다면체 버전이 아니다. 전부 내 손으로 만든 것이다. 언젠가는 그걸 공개할 날이 올 것이다.
2003년 10월 22일: 카운터 숫자를 보면, 이 페이지들에 사람들이 몰리지 않는 것 같다. 2003년 10월 13일, 트로트만의 초청으로 마르세이유의 CMI(마르세이유-꽁베르-샹트-가몽의 수학 및 정보학 센터)에서 세미나를 진행했다. 그 기회에 크리스토프 타르디가 사진을 찍은, 종이로 만든 약 30개의 모델을 전시할 수 있었다.
세미나를 할 때는 특유의 분위기가 형성된다. 아래 사진은 그림을 보며 의문을 품은 기하학자다.
뒷배경에는 전시된 모델의 일부가 보인다. 어느 순간 나는 질문했다.
- 이 로마 표면 스테이너를 본 적 있는 분들, 손 들어보세요.
누구도 본 적이 없었다. 그래서 나는 실제 가상의 모델을 내가 가져온 노트북으로 소개하기로 결정했다. 이 모델은 엔지니어 크리스토프 타르디와 그레노블의 라우에랑반 연구소(ILL)의 프레데릭 데스캄의 협력으로 제작되었다. 명백히 이 발표는 청중을 당황하게 했는데, 수학적 표면이 자유자재로 움직이는 모습은 그들에게 매우 낯설었기 때문이다.
전경에 보이는 두 장의 종이 패널은 모델의 논리적 순서를 설명하는 데 사용되었다. 녹색과 노란색 모델은 다면체 형태로 코너 점 쌍을 생성하거나 소멸하는 데 핵심적인 도구를 보여준다. 가장 멀리 있는 흰색 물체는 크로스캡의 다면체 형태로, 먼저 스테이너의 로마 표면의 다면체 형태로 변환되고, 한 미터 떨어진 곳에서 보이 표면의 오른쪽 또는 왼쪽 형태로 자유롭게 변환된다.
모형 분석을 통해 청중들 사이에서 여러 가지 의견이 제기되었다. 한 기하학자는 다음과 같이 질문했다.
- 이 모형의 순서를 따라가면 크로스캡에서 보이 표면으로 갈 수 있다면, 역순으로 하면 보이 표면을 크로스캡으로 바꿀 수 있을 것 같은데요.
나는 긍정적으로 답했다. 더 용기를 내어 그는 말을 이어갔다.
- 만약 스테이너의 로마 표면 단계에서 멈추면, 거기서 다시 거울 보이 표면으로 돌아갈 수 있지 않을까요?
나는 두 번째로 동의했다. 그러나 안타깝게도, 이 이상한 세계에서 폐쇄된 표면의 임베딩에 코너 점 쌍을 부여하거나 제거하는 과정을 설명할 사람도 없었다. 이는 일종의 임베딩 세계의 확장이라 할 수 있다. '서머션(submersions)'이라는 용어가 가장 적절하다고 생각된다. 만약 누군가 이에 대한 설명을 찾는다면, 매우 환영할 것이다.
코너 점에서 집중된 곡률
꼭짓점에서 각도를 합산하고, 유클리드 각도 합 2π와 비교하여 계산한다.
왼쪽 상단에는 코너 점의 다면체 표현 중 하나를 보여주었다. 오른쪽의 분해 과정을 통해 얻어진 각도 합은 유클리드 각도 합 2π보다 2α만큼 초과된다. 따라서 이 점 C 주변에 집중된 각도 곡률은 -2α이다. 만약 각도 α가 π/2라면, 음의 곡률은 c가 된다(아래 왼쪽 그림). 실제로 코너 점에 집중된 곡률은 무한한 값들을 가질 수 있다. 아래 오른쪽에서는 각도 합을 더 크게 하고, 곡률이 2α보다 작아지도록 한다. 이로써 음의 곡률을 더욱 강조할 수 있다.
역으로 작업하면 매우 놀라운 상황에 도달할 수 있다: 점 C에 집중된 각도 곡률이 ... 0이 되도록 하는 것이다.
이제 크로스캡의 다면체 표현에서 각각 -π의 음의 곡률을 가진 두 개의 코너 점을 가진 모델에서 시작해 보자.
+π/2의 곡률을 가진 여덟 개의 '포지코인'이 있다. 여기에 +π/4의 곡률을 가진 네 개의 '포지코인'과 -π/4의 곡률을 가진 네 개의 '네거코인'을 더한다.
또한 두 개의 코너 점이 각각 -π의 곡률을 가진다.
합계: 2π
이 총 곡률을 2π로 나누면, 평면의 모든 표현(보이 표면을 포함)에 대한 오일러-포앵카레 특성 수를 얻을 수 있다.
내 세미나에서 나는 구의 뒤집기 기법을 사용해 크로스캡의 두 코너 점을 교환하는 방법에 대해 언급했다. 내가 이 내용을 내 웹사이트 어디에 올렸는지는 기억이 나지 않는다. 너무 복잡해서 말이다. 찾아봐야겠다. 아니면 나중에 올릴 것이다. 참 재미있다. 어쨌든 이 발표는 세미나 중 한 참석자에게는 마음에 들지 않았다.
- 페티 씨가 왜 크로스캡의 두 코너 점 사이의 대칭을 증명하기 위해 이렇게 복잡한 장치를 사용하는지 이해할 수 없어요. 훨씬 간단한 방법이 있습니다.
그는 보드에 구를 두 개의 레일로 눌러 압축한 모습을 그렸다. 이는 실제로 크로스캡과 마찬가지로 두 개의 코너 점으로 둘러싸인 선분 형태의 자가 교차 구조를 만들어냈다. 그러나 안타깝게도, 그는 이 사실을 깨달았다. 이는 크로스캡이 아니다.
- 어이쿠, 그렇다면 도대체 무엇일까? 누군가 물었다.
정확히 말해, 이것은 두 개의 코너 점을 가진 구다. 이 두 점을 합치면 자가 교차선이 단순한 원이 된다. 그리고 아래 왼쪽(단면)에서는 구의 임베딩을 얻게 되며, 이를 단순히 그림으로 변환하면 된다. 또한 이 표면을 다면체 형태로 표현할 수도 있다.
이 표면은 양면적이며 곡률은 2π다.
따라서 이러한 '서머션'은 매우 재미있게 다룰 수 있다. 원형의 토러스를 만드는 임베딩을 생각해 보자. 무한 기호 또는 '8' 모양을 축을 중심으로 회전시키는 것이다.
코너 점의 융합 기술을 사용하면, 다음 그림처럼 표준적인 토러스의 임베딩에 매우 빠르게 도달할 수 있다.
하지만 때로는 이 과정이 생각보다 쉽지 않다. 예를 들어, 구를 두 개의 선분 사이에서 압축해 보자. 이번에는 선분의 길이가 지름보다 짧다. 여전히 두 개의 코너 점이 생긴다.
이 표면은 모비우스 띠를 포함할 수 있으므로 단면이다. 다면체 표현을 통해 총 곡률을 계산할 수 있다. 그 결과는 0이다. 내가 틀리지 않는다면, 이것은 클라인 병일 것이다. 일반적으로 알려진 가장 전통적인 임베딩은 자가 교차선이 단순한 원인 경우이다. 그러나 이 외에도 다른 형태가 존재한다. 나는 위의 물체를 클라인 병의 임베딩으로 바꾸는 방법을 아직 찾지 못했다. 또한, 다양한 임베딩이 동일한 호모토피 군에 속하는지 여부도 알 수 없다(구는 하나의 호모토피 군만 가진다). 우선, 토러스는 정규적인 호모토피로 연결할 수 없는 네 가지 다른 임베딩 방식이 있으므로, 이는 아닐 것이다. 그동안 나는 이 표면에 추가로 두 개의 코너 점을 만들었고, 그 결과 두 개의 크로스캡이 튜브로 연결된 구조를 얻었다. 이를 잘라내면 오일러-포앵카레 특성 수가 0이 된다.
이 '이상한 표면'은 클라인 병의 임베딩 중 하나로 변환될 수 있어야 한다. 하지만 어느 것일까? 어쨌든, '8' 모양을 축을 중심으로 회전시키고, 동시에 반 바퀴를 더 돌려서 얻은 하나가 있다.
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