십자 모자(Cross Cap)를 슈타이너의 로마 곡면을 거쳐 보이 곡면(오른쪽 또는 왼쪽, 선택은 자유)으로 변형하는 방법.
2003년 9월 27일 - 10월 25일
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여기 가상 현실 이미지에서 발견하게 될 십자 모자가 있다. 이것은 자기교차선을 경계로 하는 두 개의 첨점을 가지고 있다. 고데기로 풍선을 집어서 만들 수 있다. 하지만 다면체 표현을 구성할 수도 있다. 아래쪽의 것이 특히 흥미로울 것이다.
이 4번 도판에서 가장 이해하기 어려운 순간이 있다. 아무나 그림만 보고 이 도형들을 이해하기란 거의 불가능해 보인다. 이 모형들을 직접 만들어 보라. 분명히 말하면 첨점 C2를 "곡면 내부로" 당기는 것이다(덧붙이자면, 즉시 눈치챘겠지만 십자 모자는 단측면이므로 이것은 아무 의미도 없다). 계속하면 곡면은 자기 자신을 가로지르고, 자기교차 집합은 "둥글둥글한" 8자 모양 곡선으로 완성된다. 그 과정에서 삼중점 T가 생긴다.
곡면은 다면체 형태일 때 더 이해하기 쉽고, 아래에서는 이 물체를 슈타이너의 로마 곡면(가상 현실 참조)으로 변형하도록 이끄는 요소들을 보여주기 위해 일부 요소를 확대했다. 로마 곡면의 가장 단순한 다면체 형태는 네 개의 정육면체를 조립하는 것인데(여기서는 세 개만 보인다).
5번 도판: 왼쪽은 다면체, 오른쪽은 둥글둥글한 형태. 화살표는 "집어" 넣을 통로를 지나간다. 아래는 집어 넣기의 시작.
6번 도판: 집어 넣기는 특이점 B를 만들어 수행된다. 사실 시간을 아끼기 위해 양쪽에서 집어 넣기 때문에 두 개의 특이점 S1과 S1이, 이어서 두 쌍의 첨점이 형성된다. 여기서는 판지, 가위, 테이프 없이는 어렵다.
7번 도판: 여러 첨점들을 단순히 이동시켰다. C2점은 "명백"하겠지만 C3과 C4점을 첨점으로 식별하기는 조금 더 어려울 것이다. 그럼에도 그것들은 자기교차선의 끝에 존재한다. C3점 위에는 단순히 내가 "포지코인"이라 부른 것, 즉 양의 곡률 집중점이 있다(음의 곡률 집중점은 "네가코인"이다). 이 물체를 약간 변형하면 슈타이너의 로마 곡면(로마에서 슈타이너가 발명한 4차 곡면. 가상 현실로 된 소개 참조)의 다면체 형태에 도달한다.
그래서 속임수는 통했다. 스스로 정한 규칙에 따라 여러 유형의 곡면이 존재한다. 스스로 교차하지 않는 곡면은 매장(구, 토러스의 R3 내 매장)이라 한다. 스스로 교차하지만 접평면이 연속적으로 변하는 경우는 몰입이라 한다. 예: 고전적 표현의 클라인 병. R3 내에는 클라인 병의 매장 형태 표현이 존재하지 않는다. 그것은 필연적으로 스스로 교차한다. 몰입은 첨점이 없는 자기교차 집합을 가진다. 이 곡선들은 연속적이지만 이중점이나 삼중점이 있는 곳에서 교차할 수 있다. 참고: 구는 단순히 스스로 교차하게 함으로써 몰입 형태로 나타날 수 있다. 그런 방식으로 구를 뒤집는 데 도달한다( A. 필립스, 1967, 중심 단계는 보이 곡면의 이중 피복; B. 모랭과 J.P. 프티, 1979, 중심 모델은 모랭의 네 귀 모델이며, 다음은 내가 약 10년 전에 발명한 그 다면체 표현이다.
이 물체들이 첨점을 가진다고 가정하여 규칙을 확장하면 전사를 얻는다(십자 모자, 슈타이너의 로마 곡면). 정확한 단어인지는 모르겠지만, 나를 깨우쳐 줄 수학자를 찾지 못했기에, 기하학 전문가가 나타날 때까지 임시로 하나 만들어 보는 것이 재미있었다. 따라서 십자 모자와 슈타이너의 로마 곡면은 "사영 평면"의 전사가 될 것이다.
모두 말하자면, 25년에 걸친 MHD 관련 시행착오 끝에, 이 작업들은 군사적 응용과 최대한 멀어 보였기 때문에 시작했다. 하지만 오랜 친구 민이 지적했듯이, 전사라는 용어는 혼동을 일으켜 해군에게 이 연구를 통해 잠수함 추진 분야의 돌파구를 숨기려 한다는 인상을 줄 수 있었다.
첨점 쌍의 "생성-소멸" 규칙은 한 물체의 전사에서 다른 전사로 넘어가게 하며, 방금 십자 모자와 슈타이너의 로마 곡면이 사영 평면이라는 같은 물체의 두 전사임을 보여줌으로써 그렇게 했다. "사영 평면"이 어떻게 생겼는지 찾지 마라. 이 물체는 여러 표현을 통해서만 파악할 수 있다. 사영 평면이라는 단어는 폐쇄된 집단에 들어가려는 자들을 미혹하기 위해 수학자들이 만든 수천 개 중 하나일 뿐이다. 라루스 사전은 수학에서 아무 소용이 없다.
이제 사영 평면의 몰입인 보이 곡면으로 넘어가면 된다
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