크로스캡을 보이어 표면(좌측 또는 우측, 선택 가능)으로 변환하는 방법: 슈타이너의 로마 표면을 경유하여.
2003년 9월 27일
4페이지
이제 모델을 다른 관점에서 제시한다:
판 14: 자기 교차 곡선의 세 번째 '귀'를 생성하며 동일한 작업을 반복한다. 다면체 형태에서 이는 하나의 꼭짓점, 즉 삼중점 T를 공유하는 세 개의 정사각형으로 구성된다.
판 15: 물체를 회전시키면 내가 고안하여 『토폴로지콘(Topologicon)』에서 소개한 보이어 표면의 다면체 버전을 다시 발견할 수 있다. (해당 책에는 이 표면을 제작할 수 있는 전개도가 수록되어 있다.)
마지막 판: 나는 슈타이너 표면(4차 곡면인 반면, 보이어 표면은 6차)이 비틀리며 보이어 표면으로 변형되는 모습을 묘사하려 시도했다.
'둥글게' 처리된 형태에서는 이 대상을 이해하기 위해 상당한 습관이 필요함을 알 수 있다. 하나의 시선 위에 두 개 이상의 층이 겹쳐 있는 대상을 파악할 때 우리 눈은 매우 불편함을 느낀다. 따라서 다면체 표현의 장점이 부각되는데, 이는 기하학에서 정교하다고 여겨지는 변환들을 일반인도 쉽게 이해할 수 있게 해주기 때문이다. 단, 사람들이 직접 모델을 제작하는 노력을 기울인다면 말이다. 또한 선택하는 첨점(cusp) 쌍에 따라 '오른쪽' 또는 '왼쪽' 보이어 표면(완전히 임의적인 명칭)이 얻어짐을 주목할 수 있다. 사영 평면은 거울상 관계인 두 가지 '거울상(enantiomorphic)' 표현으로 침입(immersion)된다. 중앙 '중간' 모델인 슈타이너의 로마 표면을 경유하면 오른쪽 보이어 표면에서 왼쪽 보이어 표면으로 전환할 수 있음을 볼 수 있다.
이러한 그림들이 『Pour la Science』나 『La Recherche』에 게재된다면 좋을 것이다. 그러나 지난 20년간 나는 'UFO적 일탈주의'를 이유로 이 잡지들에 '출판 금지' 처분을 받았다. 에르베 티스(Hervé This)와 필리프 불랑제(Philippe Boulanger) 씨, 감사합니다. 이 잡지들에 보낸 유사한 성격의 논문들이 정중하게 반환된 횟수를 더 이상 세지 않았다. 결국 파문당한 자신의 지위에 익숙해진다.
일화적으로, 프랑스에는 수학 대중화 도서를 집필한 저자에게 수여하는 '달랑베르 상(Prix d'Alembert)'이 있다. 이 이야기는 상의 수상자를 결정하는 위원회 위원으로부터 들은 것이다(상금이 꽤 된다). 대화 내용은 다음과 같다:
- 하지만 결국, 프티(Petit)에게 상을 줄 수 없을까요? 그는 『기하학콘(Géométricon)』, 『블랙홀(Le Trou Noir)』, 『토폴로지콘(Topologicon)』과 같은 탁월한 저작들을 냈습니다.
- 네, 하지만 그는 이러한 앨범들만 낸 것이 아닙니다.
- 무엇을 말씀하시는 건가요?
- 그는 『침묵의 벽(Le Mur du Silence)』도 썼습니다.
- 아, 그렇다면....
네, 1983년에 출간된 『침묵의 벽』은 자기유체역학(MHD)을 다룬 앨범입니다. 그리고 누구나 알다시피, 이 음침한 학문은 비행접시가 초음속으로 비행하면서도 소닉붐을 내지 않도록 해주는 미덕(혹은 악의)을 지니고 있습니다.
이 학문을 숨기라, 나는 볼 수 없으니
내 서랍에는 '큐브 뒤집기'의 멋진 버전이 있는데, 모랭(Morin) 변형의 다면체 버전이 아닌, 매우 아름다운 중앙 모델이 포함된 것이다. 모두 내 창작이다. 언젠가는....
2003년 10월 22일: 방문자 수 카운터를 보니 이 페이지에 사람들이 많이 몰리지는 않는 것 같다. 나는 2003년 10월 13일 월요일, 트로트만(Trotman)의 초청으로 CMI(샤토-공베르-마르세유 수학 및 정보 센터)에서 세미나를 진행했다. 이 기회에 나는 종이로 만든 약 30개의 모델 컬렉션을 전시할 수 있었는데, 크리스토프 타르디(Christophe Tardy)가 촬영한 이 모델들의 사진을 조만간 공개할 예정이다.
세미나를 진행하면 특유의 분위기가 형성된다. 다음 사진에는 당혹감을 표현하는 한 기하학자가 보인다.
배경에는 전시된 모델들의 일부가 보인다. 어느 시점에 나는 질문을 던졌다:
- 슈타이너의 로마 표면을 본 적이 있는 분은 손을 드세요.
한 번도 본 적이 없는 사람들이었다. 따라서 나는 실제로 가져온 노트북을 통해 가상 현실로 이 대상을 소개하는 것이 유용하다고 판단했다. 이 대상은 엔지니어 크리스토프 타르디와 그르노블 소재 라우에 연구소(ILL)의 프레데릭 데스캉(Frédéric Descamp)의 협조를 받아 제작된 것이다. 이 시연은 수학적 표면이 마음대로 회전하는 모습을 보지 못한 청중을 분명히 당황하게 했다.
전경에 보이는 두 개의 종이 패널은 모델들을 논리적 순서대로 제시하는 데 사용되었다. '초록색과 노란색' 모델은 첨점 쌍을 생성-소멸시키는 핵심 도구를 다면체로 보여준다. 가장 멀리 있는 흰색 물체는 크로스캡의 다면체 버전으로, 먼저 한 미터 떨어진 곳에서 슈타이너의 로마 표면의 다면체 버전으로 변형된 후, 마음대로 '오른쪽' 또는 '왼쪽' 보이어 표면으로 변형된다.
모형 분석을 통해 청중 사이에서 여러 가지 관찰이 제기되었다. 한 기하학자가 질문했다:
- 모형을 이 방향으로 따라가면 크로스캡에서 보이어 표면으로 전환할 수 있는데, 반대로 하면 보이어 표면을 크로스캡으로 변환할 수 있을 것 같습니다.
나는 긍정적으로 대답했다. 용기를 얻은 내 대화 상대가 덧붙였다:
- 슈타이너의 로마 표면 단계에서 멈추면, 거울상인 보이어 표면으로 다시 진행하는 것이 가능해집니다.
나는 두 번째로 동의했다. 그러나 안타깝게도, 닫힌 곡면의 침입에 쌍으로 생성되거나 소멸되는 첨점을 부여하는 이 이상한 세계에 대해 설명을 제시하려는 사람은 아무도 없었다. 이는 침입 세계의 일종의 확장으로 볼 수 있다. '잠입(submersion)'이라는 단어가 적절해 보인다. 독자가 이에 대한 명확한 설명을 찾게 되면 환영할 것이다.
첨점에 집중된 곡률
이는 꼭짓점 각도들의 합을 계산하고, 이 합을 유클리드 합인 2π와 비교하여 구한다.
왼쪽 위에는 첨점의 다면체 표현 중 하나가 그려져 있다. 물체를 '분해'하면(오른쪽), 유클리드 합 2π보다 2α만큼 초과하는 합이 나온다. 따라서 이 점 C 근처에 집중된 각도 곡률은 -2α임을 알 수 있다. 각도 α가 π/2이면 음의 곡률은 c가 된다(왼쪽 아래 그림). 실제로 첨점에 집중된 곡률은 무한한 값을 가질 수 있다. 오른쪽 아래에서는 각도 합을 더 크게 하면 곡률은 2α보다 작아져야 하며, 음의 곡률이 강화된다.
반대로 조작하면 꽤 놀라운 상황에 도달할 수 있다. 즉, C에 집중된 (각도) 곡률이 ... 0이 되도록 만드는 것이다:
이제 각 첨점이 -π와 동일한 음의 곡률을 나타내는 두 개의 첨점이 포함된 크로스캡의 다면체 표현에서 시작할 수 있다:
+π/2 값을 갖는 '양코인(posicoins)'이 8개 있다. 여기에 +π/4의 곡률을 가진 '양코인' 4개와 -π/4의 곡률을 가진 '음코인(négacoins)' 4개를 추가한다.
여기에 -π의 곡률을 가진 두 첨점을 더한다.
합계: 2π
이 전체 곡률을 2π로 나누면 모든 사영 평면 표현(보이어 표면 등)의 오일러-푸앵카레 특성을 얻을 수 있다.
내 강연에서는 구의 뒤집기를 사용하여 크로스캡의 두 첨점을 교환하는 방법과 요령을 언급했다. 이것이 내 웹사이트 어디에 게시되어 있는지 기억나지 않는다. 너무 혼란스럽다. 찾아봐야 할 것이고, 그렇지 않으면 어디엔가 게시할 것이다. 꽤 재미있다. 어쨌든 이 시연은 세미나에 참석한 한 사람에게는 별로 마음에 들지 않았다.
- 프티가 크로스캡의 두 첨점을 잇는 대칭성을 증명하기 위해 그런 복잡한 장치를 사용하는 이유를 모르겠습니다. 훨씬 더 간단한 방법이 있습니다.
그리고 그는 칠판에 두 개의 자(réglette)로 구를 눌러 붙이게 되면 실제로 크로스캡의 경우처럼 두 첨점으로 둘러싸인 선분 형태의 자기 교차 집합이 생성되는 모습을 그렸다. 불행히도, 그리고 그 사람도 알아차렸듯이, 그것은 크로스캡이 아니다.
- 젠장, 그런데 그것은 무엇인가요? 누군가가 물었다.
그것은 단순히 두 개의 첨점을 지닌 구이다. 이들을 합치면 자기 교차 선이 단순한 원이 된다. 그리고 왼쪽 아래(단면도)에는 구의 침입이 나타나며, 이를 임베딩(embedding)으로 변환하기만 하면 된다. 또한 이 곡면의 다면체 표현으로 전환할 수도 있다:
이는 양면성(bilateral)이며 곡률은 2π이다.
따라서 이러한 '잠입(submersions)'으로 꽤 재미있게 놀 수 있다. '무한대' 부호나 '8'자를 축 주위로 회전시키는 토러스의 침입을 예로 들어보자.
첨점 합류 기술은 그림의 연속에서 보듯이 토러스의 표준 임베딩으로 매우 빠르게 도달할 수 있게 해준다.
하지만 때로는 상황이 그렇게 쉽거나 명백하지 않다. 예를 들어, 이번에는 길이가 직경보다 작은 두 선분 사이에 구를 눌러보자. 여전히 두 개의 첨점이 생성된다.
뫼비우스 띠를 그릴 수 있으므로 이 곡면은 단면성(unilateral)이다. 전체 곡률을 계산할 수 있는 다면체 표현을 그려 넣었다. 계산 결과는 0이다. 착각이 아니라면 이는 클라인 병일 것이다. 일반적으로 자기 교차 선이 단순한 원으로 나타나는 가장 고전적인 침입만 알려져 있다. 그러나 이러한 것들도 있다. 나는 위 대상을 클라인 병의 침입으로 변환하는 방법을 아직 찾지 못했음을 인정한다. 또한 서로 다른 침입들이 동일한 호모토피 군에 속하는지조차 알지 못한다(구는 하나만 가진다). 사전적으로는 그렇지 않은 것 같다. 왜냐하면 토러스는 정칙 호모토피로 서로 연결할 수 없는 네 가지 다른 방식으로 침입될 수 있기 때문이다. 그동안 나는 이 곡면에 두 개의 추가 첨점을 생성하여 변환하는 재미를 보았고, 결과적으로 튜브로 연결된 두 개의 크로스캡이 얻어진다. 이를 절단하면 오일러-푸앵카레 특성이 0임을 확인할 수 있다.
이 '이상한 곡면'은 클라인 병의 침입 중 하나로 변환될 수 있어야 한다. 그런데 어느 것일까? 어쨌든 '8'자를 축 주위로 회전시키면서 추가로 반 바퀴 회전시켜 얻은 침입을 하나 소개한다:
'크로스캡을 보이어 표면으로 변환하기' 목차로 돌아가기
신간 정보로 돌아가기 가이드로 돌아가기 홈페이지로 돌아가기
2003년 10월 6일 이후 조회 수: