큐브 뒤집기의 중심 모델
2001년 12월 31일
여러분은 모두 홈페이지 왼쪽 부분에서 이상한 물체가 쉬지 않고 회전하는 것을 보셨을 것입니다. 이것은 무엇일까요?
언젠가 시간이 나면, 제가 1979년 1월호 『푸르 라 시앙스(Pour la Science)』에 삽화로 실었던 구의 뒤집기(description of the turning of the sphere)에 대한 설명을 홈페이지에 올릴 것입니다. 즉, 22년 전의 일입니다. 물론 이 모든 것을 설명하려면 많은 세부 사항과 서론이 필요할 것입니다. 구를 뒤집는다는 것은 무엇을 의미할까요? 구는 일반인과 수학자-기하학자에게 같은 의미를 지니지 않습니다. 일반인에게 구는 3차원 공간에서 고정된 한 점 O로부터 거리 R에 있는 점들의 집합으로 정의됩니다. 기하학자는 '변형된 구', 즉 일종의 '감자'에 해당하는 대상도 계속 '구'라고 부릅니다. 이러한 개념들을 더 정확하게 이해하려면 만화 『위상수학 사전(Le Topologicon)』이 담긴 CD '란튀를루(Lanturlu)'를 구하십시오. 그러나 수학자는 한 걸음 더 나아갑니다. 어떤 곡면이 '정규적(regular)'이라고 불릴 때, 그 곡면의 모든 점에서 접평면을 정의할 수 있습니다. 이는 이미 '원래의 구'를 무한히 많은 감자 모양으로 변형하는 것을 고려할 수 있게 하며, 게다가 해당 곡면의 면적은 임의적일 수 있습니다. 하지만 '물리적 우주'에서는 이 구를 변형시키는 사람은 구가 스스로를 관통하는 것이 불가능하다는 사실에 부딪힐 것입니다. 만약 이러한 관통이나 심지어 접촉까지 금지된다면, 우리는 구 S2의 '매입(embedding)'이라고 부르게 됩니다. 그러나 수학자는 모든 권리를 행사합니다. 수학자에게 구는 막(sheets)의 관통이 가능한 '가상적'인 대상입니다. 아래 그림의 연속은 스스로를 '관통한' 구를 보여줍니다. 이때 구의 이러한 표현을 '침입(immersion)'이라고 부릅니다.
침입은 자기 교차 집합 또는 자기 침입 집합(여기서는 단순한 원형 곡선)을 가집니다. 접평면은 연속적으로 변해야 합니다. 그러나 위의 그림들을 보면, 이 연산이 구의 내부 일부(초록색으로 표시됨)를 바깥쪽으로 확실히 회전시키고 있음을 알 수 있습니다. 이러한 뒤집기를 완성하려면 이 일종의 적도 부풀어 오른 부분을 납작하게 눌러야 합니다. 이 일은 사전적으로 문제가 있어 보입니다. 이러한 납작하게 누르는 작업은 접평면의 연속성을 깨뜨릴 것입니다. 따라서 이 연산에는 침입이 아닌 단계가 포함될 것입니다.
언젠가 미국의 수학자 스티븐 스메일(Stephen Smale)은 "구 S2는 오직 하나의 침입 등급만 가진다"는 것을 증명했습니다. 이 난해한 문장의 귀결은, '표준 구'에서 모든 점이 그 반점(antipode)으로 대체된 '반점 표현'으로 전환할 수 있는 구의 침입 연쇄를 구성할 수 있어야 한다는 것이었습니다. 즉, 앞뒤가 완전히 뒤집힌 구입니다. 라울 보트(Raoul Bott)는 스메일의 스승이었습니다. 스메일의 순수하게 형식적인 증명은 결함이 없어 보였지만, 아무도 이 연산을 어떻게 수행할지 알지 못했습니다. 보트는 스메일에게 끊임없이 "당신이 어떻게 진행할 것인지 보여주세요"라고 말했고, 스메일은 그의 유명한 말더듬기로 "전혀 모르겠습니다"라고 대답했습니다. 스메일은 이후 수학 분야의 노벨상에 해당하는 필즈 메달을 수상했습니다. 참고로, 노벨이 왜 수학 노벨상을 만들지 않았는지 궁금해하실 수도 있습니다. 답은 간단합니다. 그의 아내가 수학자와 도망쳤기 때문입니다.
상황은 한동안 그대로 유지되다가, 1967년 미국의 수학자 앤서니 필립스(Anthony Phillips)가 『사이언티픽 아메리칸』에 이 뒤집기의 첫 번째 버전을 발표했는데, 이는 끔찍할 정도로 복잡했습니다. 두 번째 버전은 1970년대 초 프랑스 수학자(시각장애인) 베르나르 모랭(Bernard Morin)에 의해 발명되었습니다. 저는 이 변환 연쇄를 처음으로 그림으로 그렸으며, 이는 이미 언급했듯이 앞으로 홈페이지에 게재될 꽤 방대한 논문의 주제가 될 것입니다. 어쨌든 이는 하나의 부수적인 결론으로 우리를 이끕니다. 곡면은 다면체 표현의 대상이 될 수 있습니다. 큐브나 정사면체는 이러한 대상들이 동일한 *위상(topology)*을 가지고 있기 때문에 구의 다면체 표현으로 간주될 수 있습니다. 이 점에 대해서는 제 만화 『위상수학 사전』을 참조하십시오. 또한, 구를 뒤집는 것이 가능하다면 큐브를 뒤집는 것도 가능하다는 것을 이해할 수 있을 것입니다. 베르나르 모랭이 발명한 변환(제가 1979년 1월호 『푸르 라 시앙스』 기사에서 삽화로 설명한)은 중심 모델을 거칩니다. 이 연쇄에는 대칭성이 있습니다. 이를 '네 귀를 가진 중심 모델'이라고 부릅니다. 여기서도 저는 미리 예상하고 있습니다. 그러나 구가 다면체 표현을 허용하는 것처럼, 이러한 변환의 연속적인 단계들도 마찬가지입니다. 여러분이 제 홈페이지에서 회전하는 것을 보는 대상은 제가 약 10년 전에 발명한 구 뒤집기의 중심 모델의 다면체 버전입니다. 이러한 다면체 모델의 장점은 평면 표면으로 만들 수 있다는 것입니다. 심지어 오려내기(cut-out) 패턴에 따라 배열할 수도 있습니다. 아래 그림을 한번 보십시오(정확한 치수를 가진 요소들을 제작해 준 제 친구 크리스토프 타르디(Christophe Tardy)에게 감사드립니다).
이 그림은 프린터로 출력하면 너무 작아서 사용할 수 없습니다.
A4 용지에 이 그림을 인쇄하려면
그런 다음 A4 두꺼운 종이에 네 장의 복사본을 만들어야 합니다. 두 장은 한 가지 색으로, 두 장은 다른 색으로.
이것은 여러분이 여기서 전체적인 모습을 볼 수 있는 오려내기 패턴입니다. 그러나 인쇄하려면 오려내기 페이지로 이동하는 것이 좋습니다. 그 페이지를 인쇄하십시오. 그런 다음 프린터의 일반 용지에 인쇄된 이 사본을 가지고 복사기에 가서 이 그림의 동일한 복사본 네 장을 만드십시오. 두 장은 초록색 카드지에, 두 장은 노란색 카드지에. 그러면 이 오려내기 패턴을 사용하여 큐브 뒤집기의 중심 모델을 만들 수 있게 됩니다.
이 오려낸 요소들에는 a, b, c, d, e, f 등의 문자 쌍이 있습니다. 동일한 문자들이 일치하도록 접은 다음, 투명 테이프로 이 면들을 조립하면 됩니다. 아래 그림들은 네 요소 중 하나를 조립하는 방법을 보여줍니다. 먼저 네 요소 중 하나의 접기를 시작하는 방법은 다음과 같습니다:
여기 네 요소 중 두 개가 서로 다른 각도에서 보입니다.
이 요소들은 나중에 배열되어 4차 대칭성을 가진 대상이 되거나, 초록색 요소와 노란색 요소가 교대로 나타납니다. 이를 3D로 보려면 타르디 씨의 '가상 현실(virtual reality)' 구현물을 확인하십시오. 완전히 조립된 중심 모델은 이 섹션에서 'VRML'로도 제공됩니다. 이 대상을 서로 다른 각도에서 본 모습은 다음과 같습니다:
이러한 명칭은 완전히 임의적이므로, 한쪽视图를 '위'라고 하고 다른 쪽을 '아래'라고 할 수는 없습니다. 왼쪽视图의 '중심' 점은 모랭의 중심 모델의 '이중 점(double point)'(두 막이 교차하는 지점)에 해당하며, 오른쪽의 중심 점은 동일한 모델의 '사중 점(quadruple point)'(네 막이 교차하는 지점)에 해당합니다. 저는 왼쪽 그림이 하켄크로이츠(swastika)를 연상시키지 않도록 대상을 신중하게 배치해야 했습니다. 그렇지 않았다면, 건축적으로 말하자면, 모랭의 중심 모델의 이 다면체 표현은 국가 사회주의 문화 센터의 매우 좋은 프로젝트가 될 수 있었을 것입니다.
마지막视图:
마지막으로 한 가지 언급할 점이 있습니다. 구의 뒤집기(즉, 큐브의 뒤집기)의 좋은 다면체 표현은 존재하지 않습니다. 여기서 '좋은'이란 위의 모델처럼 비교적 쉽게 오려내기로 조립할 수 있는 충분히 명확한 모델의 연쇄를 의미합니다. 이러한 방향으로의 연구가 필요하며, 이는 누구나, 특히 수학자가 아닌 사람, 예를 들어 조형 예술가도 할 수 있는 일입니다. 20년 전, 저는 엑상프로방스(Aix en Provence)의 에콜 데 보자르(Ecole des Beaux-Arts)에서 조각 강사를 했습니다. 그때는 제 훌륭한 친구 자크 불리에(Jacques Boullier)가 아직 그 학교를 이끌던 시기였습니다. 아페리(Apéry)에 의해 최초의 음함수 방정식 구축의 열쇠가 된, 타원들을 이용한 보이의 곡면의 최초의 자오선 표현이 바로 그 건물에서 탄생했습니다. 저는 당시 예술 전공 학생들의 기하학적 상상력이 종종... 기하학자들보다 훨씬 뛰어났던 것에 항상 놀랐다고 고백해야 합니다.
2001년 12월 31일 초기화된 카운터. 접속 수: