사원수

S3 구와 사원수

만약 3차원 구 S3가 2차원 구 S2보다 1차원 원 S1과 더 유사하다면, 그 이유는 둘 다 수체의 단위 원소 집합에 해당하기 때문이다. S1은 복소수체의 단위 원소 집합이고, S3는 사원수체의 단위 원소 집합이다. 그러나 S2는 R3가 수체가 아니기 때문에 이와 같은 방법은 적용되지 않는다.

이러한 구조를 이해하기 위해, 실수 2차원 공간 R2를 2×2 실수 행렬 대수 M2(R)에 매장함으로써 수체로 만드는 방법을 먼저 설명하고, 이후 유사한 방법을 통해 R4에 사원수체 구조를 부여할 수 있음을 보이겠다.

1. 복소수 체

M2(R)를 실수 계수 2×2 행렬의 공간이라 하자. 이는 다음 형태의 행렬들로 이루어진 공간이다.

a

b

c

d

d

ö
÷
÷
ø | d |
|---|

d

여기서 a, b, c, d는 실수이다. 우리는 다음 세 가지 연산이 가능함을 알고 있다:

M2(R)의 두 행렬을 더하기,
M2(R)의 행렬을 실수로 곱하기,
M2(R)의 두 행렬을 서로 곱하기.

이 세 가지 성질을 종합적으로 말하면, M2(R)는 대수라는 것이다. 이 대수의 차원은 4이며, 이를 설명하기 위해 4개의 매개변수가 필요하다.

이제 평면 R2의 임의의 벡터 (x, y)에 대해 실수 계수의 2×2 정사각행렬

x

y

-	y

x

x

ö
÷
÷
ø | x |
|---|

x

를 대응시킨다. 이때 다음과 같은 사실을 알 수 있다:

두 개의 이러한 행렬의 합 역시 같은 형태를 가진다.

x	1	+ x	2

y	1	+ y	2

-	(y	1	+ y	2	)

x	1	+ x	2

x	1	+ x	2

ö
÷
÷
ø ,| x | 1 | + x | 2 |
|---|---|---|---|

x	1	+ x	2

실수 λ에 대한 이러한 행렬 z의 곱 역시 같은 형태를 가진다.

λx

λy

-	λy

λx

λx

ö
÷
÷
ø ,| λx |
|---|

λx

두 개의 이러한 행렬의 행렬곱 역시 같은 형태를 가진다.

x	1	x	2	-	y	1	y	2

y	1	x	2	+ x	1	y	2

(y 1 x 2 + x 1 y 2 )

x	1	x	2	-	y	1	y	2

x	1	x	2	-	y	1	y	2

ö
÷
÷
ø .| x | 1 | x | 2 | - | y | 1 | y | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

x	1	x	2	-	y	1	y	2

따라서 M2(R)의 부분공간 C를 다음과 같이 구성할 수 있다. 이 부분공간 C는 덧셈, 스칼라 곱, 행렬 곱에 대해 닫혀 있으며, C는 M2(R)의 부분대수라고 한다. 이 대수의 차원은 2이다. 이 대수의 중요한 성질 중 하나는 교환법칙이 성립한다는 점이다.

z	1	z	2	= z	2	z	1	.

z	1	z	2	= z	2	z	1	.

행렬 z ∈ C의 행렬식은

x

y

-	y

x

x

ê
ê
ê
ê = x² + y² ,| x |
|---|

x

따라서 C에 속한 0이 아닌 모든 행렬은 가역이며, 그 역행렬

--- ****

Det	(z)

æ
ç
ç
è

x

-	y

y

x

x

ö
÷
÷
ø | x |
|---|

x

역시 C에 속한다. 이에 따라 C는 체라고 한다. 우리는 단지 복소수체를 다시 발견한 것이다.

행렬 (1,0)에 대응하는 행렬은 단위행렬이다.

1

0

0

1

1

ö
÷
÷
ø | 1 |
|---|

1

행렬 (0,1)에 대응하는 행렬을 i라 표기한다.

0

1

-	1

0

0

ö
÷
÷
ø | 0 |
|---|

0

이 행렬은 특별한 성질을 가진다.

********| i | 2 | = | - | 1 |
|---|---|---|---|---|

i	2	=	-	1

위 표기법을 사용하면, 모든 복소수는 유일하게

********| z = x | 1 | + y | i |
|---|---|---|---|

z = x	1	+ y	i

의 형태로 표현할 수 있다. 여기서 x와 y는 실수이다.

복소수체 C의 원소 z에 대한 공액은 행렬 z의 전치행렬로 정의된다.

x

-	y

y

x

x

ö
÷
÷
ø | x |
|---|

x

복소수체에는 두 가지 특별한 부분공간이 존재한다. 첫째, 단위행렬 1의 실수배들로 이루어진 집합, 즉 다음 형태의 행렬들로 이루어진 집합

x

0

0

x

x

ö
÷
÷
ø | x |
|---|

x

는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 이는 실수체와 일치하며, C의 부분체로 간주할 수 있다. 이를 실수 공간이라 하며, 다음 조건으로도 정의할 수 있다.

z =	-	z

z =	-	z

둘째, 다음과 같은 성분의 합이 0인 행렬들로 이루어진 부분공간(행렬의 대각합을 의미함)

0

y

-	y

0

0

ö
÷
÷
ø | 0 |
|---|

0

이를 허수 공간이라 한다. 이 공간은 덧셈에 대해 닫혀 있으나, 곱셈에 대해서는 닫혀 있지 않다. 또한 이 공간은 2×2 실수 행렬 중에서 반대칭인 행렬들로 이루어져 있음을 알 수 있다.

이러한 정의를 바탕으로, R2의 두 벡터에 대한 일반적인 스칼라 곱은 쉽게 계산할 수 있다. z1이 (x1, y1)에 대응하는 행렬이고, z2가 (x2, y2)에 대응하는 행렬이라면

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

벡터 (x,y)에 대응하는 행렬 z의 노름은 다음과 같이 표현된다.

**** --- ****

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

이를 복소수 z의 모듈러스 또는 노름이라 하며, |z|로 표기한다. 물론 |z1z2| = |z1||z2|가 성립한다.

복소수체 C의 단위 원소 부분군, 즉 U(1)은 다음 조건을 만족하는 C의 원소 z들의 집합이다.

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

이 집합은 곱셈에 대해 닫혀 있으며, 원소 1은 U(1)에 속한다. U(1)의 모든 원소는 가역적이며, 그 역원 역시 U(1)에 속한다. 이에 따라 U(1)은 군이라고 한다. 주의할 점은 일반적으로 U(1)의 두 원소의 합은 U(1)에 속하지 않는다는 점이다. 위의 구성은 복소수체 C의 단위 원소들로 이루어진 원 S1이 군임을 보여주며, 이 군은 U(1)이다. 원 S1의 점 1에서의 접선, 즉 U(1)의 리 대수는 다음 조건으로 정의되는 허수축이다.

****| Tr | (z) = 0 . |
|---|---|

Tr	(z) = 0 .

2. 사원수 체

정의

이전의 구성 과정을 재현하여 R4에 사원수 체 구조를 부여해 보자. M2(C)를 복소수 계수 2×2 행렬의 공간이라 하자. 임의의 복소수 쌍 (a, b)에 대해 복소수 계수 2×2 정사각행렬

a

b

-	-	b

-	a

-	a

ö
÷
÷
÷
ø | - | a |
|---|---|

-	a

을 대응시킨다. 이때 다음과 같은 사실을 알 수 있다:

두 개의 이러한 행렬의 합 역시 같은 형태를 가진다.

a	1	+ a	2

b	1	+ b	2

-	(b	1	+ b	2	)

-	a	1	+	-	a	2

-	a	1	+	-	a	2

ö
÷
÷
÷
ø ,| - | a | 1 | + | - | a | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|

-	a	1	+	-	a	2

실수 λ에 대한 이러한 행렬 q의 곱 역시 같은 형태를 가진다.

λa

λb

-	λ -	b

λ -	a

λ -	a

ö
÷
÷
÷

ø ,	λ -	a

λ -	a

두 개의 이러한 행렬의 행렬곱 역시 같은 형태를 가진다.

a 1 a 2 - b 1 - b 2

a	1	b	2	+ b	1	-	a	2

a 1 - b 2 - - b 2 - a 1

a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

ö
÷
÷
÷
ø .| - | a | 1 | - | a | 2 | - | - | b | 1 | - | b | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

따라서 M2(C)의 부분대수 K를 구성할 수 있다. 그러나 C와 달리, 이 대수 K는 비가환이다. 예를 들어,

i

0

0

-	i

-	i

ö
÷
÷
ø æ
ç
ç
è

0

i

i

0

0

ö
÷
÷
ø = æ
ç
ç
è

0

-	1

1

0

0

ö
÷
÷
ø | 0 |
|---|

0

이지만,

0

i

i

0

0

ö
÷
÷
ø æ
ç
ç
è

i

0

0

-	i

-	i

ö
÷
÷
ø = æ
ç
ç
è

0

1

-	1

0

0

ö
÷
÷
ø | 0 |
|---|

0

행렬 q ∈ K의 행렬식은

a

b

-	-	b

-	a

-	a

ê
ê
ê
ê
ê = |a|² + |b|² ,| - | a |
|---|---|

-	a

따라서 K에 속한 0이 아닌 모든 행렬은 가역적이며, 그 역행렬

--- ****

Det	(q)

æ
ç
ç
ç
è

-	a

-	b

-	b

a

a

ö
÷
÷
÷
ø | a |
|---|

a

역시 K에 속한다. 이 체를 사원수체라 하며, K라 표기한다. 이는 또한 실수 계수 4차원 벡터공간이다. 임의의 사원수 q는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

****************| q = t | 1 | + x | I | + y | J | + z | K |
|---|---|---|---|---|---|---|---|

q = t	1	+ x	I	+ y	J	+ z	K

여기서

1

0

0

1

1

ö
÷
÷
ø I = æ
ç
ç
è

i

0

0

-	i

-	i

ö
÷
÷
ø J = æ
ç
ç
è

0

1

-	1

0

0

ö
÷
÷
ø K = æ
ç
ç
è

0

i

i

0

0

ö
÷
÷
ø | 0 |
|---|

0

다음 관계식이 성립함을 쉽게 확인할 수 있다:

I² = J² = K² = -1,

IJ = -JI = K, JK = -KJ = I, KI = -IK = J.

R4의 두 벡터 (t1, x1, y1, z1)와 (t2, x2, y2, z2)에 대응하는 사원수

****************| q | 1 | = t | 1 | 1 | + x | 1 | I | + y | 1 | J | + z | 1 | K |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

q 1 = t 1 1 + x 1 I + y 1 J + z 1 K

와

****************| q | 2 | = t | 2 | 1 | + x | 2 | I | + y | 2 | J | + z | 2 | K |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

q 2 = t 2 1 + x 2 I + y 2 J + z 2 K

의 일반적인 스칼라 곱은 다음과 같이 표현된다.

--- ****

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

벡터 (t, x

쿼터니언

En résumé (grâce à un LLM libre auto-hébergé)

S3 구와 사원수

1. 복소수 체

2. 사원수 체

정의

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