수학적 물리학과 기하학

물리학과 기하학

2004년 11월 2일

수학적 물리학의 선구자 중 한 명인 수학자 장-마리 수리오가 제시한 이 분야는 기하학을 통과한다. 이러한 접근 과정에서 에너지, 질량, 운동량, 스핀, 전하와 같은 물리학적 양들은 군 이론이라는 도구를 통해 순수하게 기하학적인 성질을 갖는 양으로 변환된다. 이 세계, 또는 세계를 인식하는 방식에 도전하려면 어떤 것이 필요할까? 별로 없이, 행렬을 다룰 줄 알면 된다. 행렬이 낯선 대상이라면, 그에 익숙해지려는 노력을 기울이길 바란다. 그 노력은 충분히 가치 있다. 만약 과거에 이 내용을 접해본 적이 있다면, 오래된 지식을 다시 되살려보라. 그 지식은 당신을 매우 멀리까지 데려가며 다음과 같은 질문에 답할 수 있을 것이다:

• 입자의 스핀은 진정으로 어떤 본질을 갖는가?

• 반물질이란 무엇인가?

[PDF 파일 "물리학과 기하학" 다운로드하기] (/legacy/METAPHYSIQUE/physique_et_geometrie.pdf)

포인카레 군이 그의 운동량 공간 위에서 작용하는 코어드조인트 작용

주의: 매우 과학 중심적인 독자만을 위한 내용입니다. 이것은 과학 대중화가 아닙니다.

2004년 10월 24일

물리학은 항상 기하학과 깊은 관련을 맺어왔다. 수학자 장-마리 수리오는 수학적 물리학의 창시자 중 한 명이다. 이 분야는 매우 우아한 물리학의 기하화를 통해 이루어진다. 모든 것은 실수 계수를 갖는 군, 예를 들어 로렌츠 군과 포인카레 군과 같은 군들에 기반한다. 이들 군은 실수 계수를 갖는 행렬로 표현된다. 아래에서 설명할 내용은 유일한 행렬 G에서 출발한다. 이 행렬은 특수 상대성 이론이 적용되는 미링크스키 공간의 계량에 관련되어 있다. 이 행렬을 이용해 4×4 행렬로 표현되는 첫 번째 군 L을 정의한다. 이 군은 사건들의 점들로 구성된 시공간 위에서 작용한다. 이러한 행렬과 "시공간 이동 벡터" C를 이용해, 5×5 행렬로 표현되는 두 번째 군을 구성하며, 이 군 역시 시공간 위에서 작용한다. 이 시공간에서 우리는 "운동"을 고려한다. 궤적이라는 개념은 너무 단순하다. 입자의 운동은 에너지 E, 운동량 p와 같은 양들과 연결되어야 한다. 이론 물리학자에게 있어, "질량 점"으로 간주되는 입자는 스핀도 가져야 한다. 그러나 이런 대상은 과연 무엇인가? 질량 점은 스스로를 회전시킬 수 있는가?

수리오는 군만을 기반으로 이러한 양들을 기하학적으로 도입하였다. 이 모든 것은, 인정하건대, 매우 어려운 일이다. 군은 "작용한다". 따라서 모든 것은 작용이라는 개념에서 시작된다. 포인카레 군의 원소는 한 운동을 다른 운동으로 변환하며, 이는 운동의 공간, 즉 시공간 안에 포함된다. 군은 "이동시킨다". 유클리드 군은 3차원 공간에서의 평행이동과 회전을 포함한다. 이는 점이나 점들의 집합을 이동시키는 데 도움이 된다. 이 아이디어는 매우 직관적이다. 시공간의 경우, 우리는 "운동"을 이동시킨다. 3차원 공간 내에서 서로 다른 두 위치에 있는 동일한 담배재질을 생각해 보자. 유클리드 군의 어떤 원소는 평행이동과 회전을 통해 첫 번째 담배재질을 두 번째 담배재질의 위치로 옮길 수 있다. 군을 통해, 공간 내 어떤 위치에 있는 담배재질의 기술을 알고 있다면, 공간 내 모든 위치와 가능한 모든 방향에 대해 "모든 가능한 담배재질"을 구성할 수 있다.

시공간에서의 대상은 "운동"이다. 포인카레 군이 다루는 운동은 "상대론적 질량 점"의 운동과 대응한다. 마찬가지로, 군을 통해 한 운동을 알면 모든 운동을 알 수 있다. 입자는 질량 점의 특별한 운동이다. 이 관점은 다음과 같이 요약할 수 있다:

너의 움직임 방식을 알려주면, 너가 무엇인지 알려줄 수 있다.

수리오는 운동의 공간이 반드시 두 번째 공간, 즉 자신이 "운동량 공간"이라 명명한 공간과 연결되어야 한다고 보였다. 여기서 "운동량"이라는 말은 특정 입자와 관련된 매개변수를 의미한다. 이러한 입자가 특정한 방식으로 "관측"될 때, 즉 적절한 좌표계에서 기술될 때, 세 가지 양이 부각된다:

E, p, s

에너지 E, 운동량 p, 그리고 이 mysterious한 스핀 s이다. 이러한 양들은 포인카레 군이 그 운동량 공간 위에서 작용하는 코어드조인트 작용을 통해 순수한 기하학적 양으로 나타난다.

현재 천체물리학자들은 "어두운 에너지"라 불리는 대상을 다루고 있다. 이는 우주 팽창의 재가속 현상을 설명할 수 있는 유일한 새로운 우주적 성분으로 여겨지며, 반발력과 관련된 현상과 연결된다. 이 "어두운 에너지"는 ... 음수이다. 여기서 제시된 접근법이 포인카레 군의 성질을 통해 음수 에너지를 갖는 질량 점의 존재를 자연스럽게 도출함을 알 수 있다. 이를 다루기 전에, 과학적 독자들이 이 문서를 읽고 익숙해져야 한다. 계산 기술 측면에서 이 문서를 읽는 데는 행렬을 다룰 줄 아는 것만 필요하다. 15년 전엔 고3 수준이었지만, 요즘은 행렬이 더 이상 그 수준에서 가르치지 않는다고 한다. 안타깝지만, 행렬은 필수적인 도구이며, 이 제도는 아마도 교육 과정의 "현대화"와 관련된 것이다.

[PDF 형식 문서 다운로드하기] (/legacy/METAPHYSIQUE/action_coadjointe_Poincare.pdf)

음수 에너지를 가진 입자

2004년 10월 25일

현재 천체물리학에서 이론가들은 관측된 먼 초신성에서 나타나는 우주 팽창의 재가속 현상을 설명하기 위해, 음수인 "어두운 에너지"라는 개념에 관심을 기울이고 있다.

물리학의 동역학 군 이론(포인카레 군)은 이 복잡한 주제에 대한 통찰을 제공할 수 있다. 다시 한 번 말하지만, 여기서 다루는 내용은 과학자나 매우 과학 중심적인 독자들에게만 접근 가능한 것이다.

[PDF 형식 문서 다운로드하기] (/legacy/METAPHYSIQUE/Energies_negatives.pdf)

전하: 기하학적 대상

2004년 11월 9일

수학자 장-마리 수리오가 고안한 개념인 군의 운동량 공간 위에서의 코어드조인트 작용을 이용해, 에너지, 운동량, 스핀이 순수한 기하학적 대상으로 어떻게 등장하는지를 다시 상기하였다. 아래에서는 그가 전하를 어떻게 순수한 기하학적 대상으로 도출했는지를 설명한다. 그는 4차원 시공간에 다섯 번째 차원을 추가한다. 이 5차원 구조는 11차원의 새로운 동역학 군에 의해 다루어지며, 이는 포인카레 군의 비자명한 확장이다. 군의 차원 수 증가와 함께 운동량의 성분 수가 증가하며, 이 11번째 차원은 전하 전하량 q로 해석된다.

[PDF 형식 문서 다운로드하기] (/legacy/METAPHYSIQUE/charge_electrique_objet_geometrique.pdf)

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