여기서 우리는 그림을 "정리"하여 조금 더 읽기 쉽게 만들었습니다. 표면은 2차원 객체이며, 여기서는 유클리드 3차원 공간 R³에 "몰려 있습니다". 우리는 위에서 "그것을 볼 수 있습니다". 이 표면은 R³에서 "등거리적으로" 빠질 수 있습니다. 즉, 만약 우리가 그 위에 테이프를 붙이면, 그 테이프는 표면의 두 점 A와 B를 연결하는 지오데식 위에 실제로 그려질 것입니다. 지오데식 호를 따라 측정된 길이도 정확합니다. 등거리라는 말은 어원적으로 "같은 길이"를 의미합니다. 아래에는 등거리가 아닌 2차원 표현이 있습니다... 호 A'B'의 길이는 호 AB의 길이와 같지 않습니다. 종이, 연필, 가위를 사용하여 다음 물체를 만들어 보세요:
이 그림은 등거리가 아닙니다. 먼저, 표시된 곡선은 평면의 지오데식이 아닙니다. 둘째, 호 AB의 너비는 "실제로 측정할 수 있는" 표면의 "실제 길이"가 아닙니다. "구멍이 없는" 실제 표면에서 말입니다. 구멍이 뚫린 종이는 단지 유용한 표현일 뿐입니다. 종이의 한쪽면과 다른쪽면에 그려지는 기법도 마찬가지입니다. 전체 곡선은 투명하게만 나타납니다.
다음 그림에서는 컴퓨터로 계산된 표면의 지오데식을 보여줍니다(이 내용은 논문에 포함되어 있습니다).
곡선의 점선은 "다른 측면"에 있는 가지를 나타냅니다(표면을 "위에서 바라보는 것처럼" 말입니다).
이제 질문을 하나 드립니다. 이 지오데식들을 등거리하고 평평하게 표현할 수 있을까요? 대답은 예입니다. 우리는 r을 r로 바꿀 수 있음을 보았습니다. 따라서 지오데식은 "극좌표" (r, j) 평면에서 표현할 수 있습니다. 지오데식(여기서는 비반지방향 지오데식)은 다음과 같이 보입니다:
이것은 등거리 표현입니다. 표면에 속한 세 점 A, B, C가 같은 지오데식 위에 있습니다. A', B', C'는 이 표현 [r, j]에서 대응하는 점들입니다. A와 B는 같은 반구에 있으며, 이들을 연결하는 지오데식 호는 목가지 원을 지나지 않습니다. 이 평면에서 지오데식의 이미지를 따라 측정하면(이 평면의 지오데식은 아닙니다), 호 A'B'의 길이는 표면에서 측정된 호 AB의 길이와 같습니다.
BC 호는 목가지 구를 지나갑니다. 동일한 상황입니다.
하지만 이 등거리성은 표면의 모든 지오데식에 적용되지 않습니다. 유일하게 존재하는 것은 목가지 원으로, 여기서는 한 점으로 축소되었습니다. 이 표면만이 스스로를 닫습니다.
지오데식은 표면, 또는 더 일반적으로 비평면, 비유클리드 공간을 이해하는 유일한 방법입니다. 이들은 유용한 지표입니다(우리가 2차원과 3차원 표현 시스템에서 왜곡된 시각을 가지고 있더라도 말입니다). 우리는 이 지오데식들이 존재하며, 그들이 본질적임을 알고 있습니다. 예를 들어, 구의 지오데식은 대원입니다. 시공간의 경우, 이는 무한한 시공간 지오데식으로 가득 차 있습니다. 지오데식은 본질적으로 존재하며, 이를 이해하려면(어원적으로는 "가져오다, 안아들다") 우리는 맹인처럼 "그것들을 느끼려고" 합니다. 그러나 시공간 좌표선은 본질적인 현실이 아니며, 경도와 위도의 두 집합도 구의 구성 요소가 아닙니다. 그들은 "내부에 제공되지" 않습니다. 슈바르츠실트의 기하학은 아인슈타인 장 방정식의 해로, 4차원 초표면입니다. 이론가들은 이 위에 전체적인 곡선 가족을 "상수 t", "상수 r" 등으로 붙였습니다.
이러한 행동이 완전히 임의적임을 잊지 마세요. 이는 이론 천문학 전문가조차 종종 잊어버리는 점이지만, 기하학자 수학자들이 종종 이들을 다시 일깨워줍니다. 따라서 시공간 좌표를 바꾸는 것은 완전히 정당화되었습니다.
이 시점에서 당신은 아마 다음과 같이 말할 것입니다: "그러면 어떤 좌표 선택이 다른 것보다 나을까요? 무엇이 합리적이고 비합리적인가요?" 이는 취향의 문제입니다. 시공간 좌표를 선택하는 것은 수학적 객체에 물리적 시각을 강요하는 것입니다. 지구의 경우, 회전할 때 우리는 그에 극을 부여했습니다. 북극은 단지 지구 표면의 법선이 북극성(하늘에 고정된 별)을 향하는 것입니다.
등거리성과 비등거리성에 관한 문제에서 지도는 구를 평면에 표현하는 어려움을 보여줍니다. 메르카토르 투영(지구의 구를 적도에 접하는 실린더에 투영하는 것)은 적도 근처에 사는 사람들에게 매우 편리합니다. 그러나 극에 사는 사람은 놀라움을 받을 것입니다. 그의 점 영역은 직선이 되어 버립니다...
구를 평면에 투영하는 방법은 수백 가지가 있습니다. 다음과 같이 상상해 보세요:
이 모델로 지도를 만들고 판매한다고 생각해보세요. 극에 사는 사람들에게는 즉각적인 성공을 거두게 될 것입니다. 이 지역에서는 투영이 거의 등거리입니다. 이러한 지역에서 거리의 개념을 이해하는 데 유용합니다. 만약 지구가 극에서 거주 가능하고, 그 외 지역은 상대적으로 불편했다면, 지도는 아마도 이렇게 만들어졌을 것입니다. 그러나 우리는 투영된 원의 경계가 더 이상 적도가 아니라, 북반구의 한 평행선과 일치함을 알게 될 것입니다. 이 지역 근처에서는 등거리성에서 멀어질 것입니다. 또한, 이 이상한 지도에서는 지구의 일부 질량은 정상적인 실선으로, 다른 일부는 점선으로 표현되어야 할 것입니다. 왜냐하면 그 일부는 평행선을 넘어서서, 이상하게도 "자신을 접는" 것처럼 보이기 때문입니다. 아마도 종이 원판 위에 지도를 제공하고, 나머지 지구 질량은 종이의 반대편에 나타나도록 할 수 있을 것입니다.
이제 3차원으로 "이 모든 것을 상상해 보겠습니다". 우리는 랑투르루가 두 개의 별도 그림을 통해 목가지 구에 왼팔을 넣는 것을 보여주었는데, 이는 두 번째 3차원 공간이 "다른 곳"에 있다는 것을 암시할 수 있습니다. 정확하게 하려면, 두 개의 원근 그림은 겹쳐져야 하며, 나온(오른쪽) 손은 점선으로 표현되어야 합니다.
저는 시도했지만, 쉽지 않았습니다. 저는 두 가지 다른 색을 사용할 수 있었을 것입니다. 첫 번째 3차원 공간의 일부는 빨강, 다른 부분은 초록색으로 표현했을 것입니다. 빨간 랑투르루는 자신이 구에 넣은 왼손이 초록색 오른손으로 나와 있는 것을 볼 수 있을 것입니다.
분명히, 목가지 구 안에는 아무것도 없습니다. 내부나 부피 내용물의 모습은 단지 우리가 선택한 3차원 표현 공간 때문입니다. 종이에 뚫린 구멍과 마찬가지로, 그곳에도 종이가 없습니다. 단지 이 평면 표현 공간 선택과 관련된 사고의 오류일 뿐입니다. 누군가가 종이에서 잘린 원판을 제거하지 않고 평면 표현을 사용하려고 하며, 계속해서 "안에 무엇이 있는가?"라고 묻는다면, 그는 완전히 "필드 밖"에 있게 될 것입니다(혹은 오히려... 안에 있겠죠). 필드는 존재하지 않습니다.
3차원으로 돌아가겠습니다. 랑투르루가 목가지 구에 팔을 넣을 때, 그 구에도 내부가 없습니다. 내부의 모습은 단지 우리의 표현 공간 선택 때문입니다. 우리는 랑투르루와 그가 나온 손이 3차원 종이에 그려져 있고, 그 종이에서... 구(종이의 원판과 3차원 equivalent)를 제거했다고 생각할 수 있습니다. 수학적으로, 원판은 "b² 공"이며, "구체적 부피"는 "b³ 공"입니다. "공"이라는 말은 수축 가능한 셀을 의미합니다(see Topologicon on the "CD-Lanturlu"), 즉, 자신을 통해 점에 대해 수축할 수 있는 물체입니다. 2차원과 3차원 예시는 논문의 전략을 보여주기 위해 존재합니다: 슈바르츠실트 구는 "내부"도, "중심"도 없습니다. 그것을 통과할 때(초토릭 통과), 우리는 "시공간의 다른 측면"에 있게 됩니다.
이 새로운 "슈바르츠실트 기하학" 해석의 근거는 무엇일까요?
답변: 특이점의 제거입니다. 크스쿨은 "해석적 연장"을 통해 이 "저주받은 구"를 들어가려고 최선을 다했습니다. 그는 단지 특이점을(처음에는 슈바르츠실트 구가 담당했던 역할) "이 물체의 중심"에 갇히게 했을 뿐입니다. 사람들이 이 마술을 만족스럽게 받아들였습니다. 그러나 우리는 특이점이 없는 것이 더 낫다고 생각합니다.
자연은 우리가 잘못된 방향에서 바라볼 때, 특이점을 생성하여 반항합니다. 이것이 우리가 보는 방식입니다. 이는 "실제"에 대한 사전 판단입니다. 우리는 이러한 특이점들이 자연에 존재하지 않는다고 믿습니다. 또한 무한대도 존재하지 않는다고 생각합니다. 하지만 키플링이 말했듯이, 이건 다른 이야기입니다. 저는 지난해 소우리우와 이 문제에 대해 열정적인 논의를 했습니다.
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무한대가 존재한다는 증거는 무엇입니까?
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하지만 무한대가 없으면 수학도 존재하지 않습니다!
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당신은 무한대를 본 적이 있습니까? 손에 들고 있었습니다?
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그것은... 편리함입니다.
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우리는 무한히 큰 수를 생성하기 위해, 숫자에 1을 무한히 더할 수 있다고 가정합니다. 우리는 순차적 무한대를 사용하여 수학적 무한대를 생성합니다. 당신의 방법은 스스로를 물어뜯습니다.
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알겠습니다, 편리함이라고 합시다. 인간은 역사에서 두 가지 중요한 것을 발명했습니다: 무한대와 화장실...
저는 무한히 작음이 물리적으로나 수학적으로 존재한다고도 믿지 않습니다. 하지만 이는 다른 논문의 주제가 될 것입니다. 지금은 이 질문들을 잠시 둔 채 두고 가겠습니다. 단지 간단한 산만한 이야기입니다.
사이트](/fr/article/f300-f301html)).
아르키메데스가 말했듯이, 과학의 성전 입구에 "기하학자가 아닌 자는 들어올 수 없다"고 적혀 있습니다. 이 텐서와 기타 것들, 미디가 좋아하는 분야는 영국의 디저트만큼 소화가 어렵습니다.
이러한 논의를 통해 우리는 이 현상들에 대한 물리적인 시각이 우리가 어떻게 표현하려는지에 따라 달라진다는 것을 알 수 있습니다. 공간 좌표를 바꾸면서 우리는 "지역적 위상"을 바꾸었습니다. 이 용어는 수학적으로 명확화되어야 한다고 소우리우는 말했습니다. 사실 이 표현은 부드러운 은어일 뿐입니다. 저는 이 말을 했을 때 그가 화를 내기 시작했고, 제 고양이 피우ム과 저는 그를 진정시키는 데 큰 어려움을 겪었습니다. 소우리우는 수학의 투르네소르 교수입니다. 그는 고차 수학적 분노의 적극적인 실천자입니다. 그러나 이 분노는 단순한 분노와 혼동되어서는 안 됩니다. 오히려 저는 모리에르의 "장르당 씨" 역할을 하고 있습니다. 물리학자들은 종종 자신들이 수학을 사용하고 있음을 모르고 사용합니다(사실은 반대로도 마찬가지입니다).
일시적으로 "명시되지 않은" 단어의 사용을 받아들일 경우, 마치 슈바르츠실트 기하학의 "지역적 위상"이 "초구형"이었다고(슈바르츠실트 구가 "b³ 공"을 포함하고 있다고) 생각한 것처럼 보입니다. 우리는 그것을 "초토릭"으로 만들었습니다. 그래서 저는 "초토릭 기하학"이라는 용어를 제안했습니다.
우리는 앞서 공간의 역전에 대해 언급했습니다. 이는 그룹을 통해 협상됩니다. 이걸 다른 방식으로 이해할 수 있을까요? 우리는 랑투르루가 왼팔을 목가지 구에 넣고 오른팔이 나와 있는 것을 보았습니다. 실제로, 그의 손의 각 원자는 표면에 수직인 "반지방향" 지오데식을 따라 움직였습니다.
지금까지, 이 표현 시스템이 등거리가 아니라는 점을 잊지 마세요. 종이에 구멍이 있는 것과 마찬가지입니다. 만약 랑투르루의 손에 속한 테스트 원자가 두 반공간에서 이동한 거리를 측정한다면, 이는 실제로 줄로 측정한 실제 거리와 일치하지 않을 것입니다.
이전에 보여준 그림으로 돌아가겠습니다.
여기서 우리는 목가지 원을 지나가는 지오데식 호 AB와 아래에 있는 평면 표현 공간에서의 이미지를 보여주었습니다. 표현의 비등거리성은 더욱 명백해집니다. 호 AB와 A'B'의 길이는 매우 다릅니다.
분명히, 초토릭 통과의 목가지 구를 통해 줄을 끼우는 것은 꽤 어렵습니다. 줄을 조이면 지오데식(가장 짧은 경로)이 됩니다. 결국, 만약 우리가 3차원 표현 공간에서 줄의 길이를 측정하고(랑투르루가 팔을 밀어 넣는 것), 이 공간에서 줄의 길이를 측정한다면, 더 짧은 A'B'의 길이를 얻을 것입니다. 실제 길이는 3차원 초표면에서 측정된 것이 더 길며, 이는 2차원 그림에서 보여줍니다. 따라서 랑투르루가 있는 3차원 표현은 등거리가 아니며, 위의 평면 표현도 마찬가지입니다.
일부 그림을 통해 이론의 그룹에서 나온 이러한 미묘한 개념들은 "공간을 바라보는 것"을 통해 덜 어려워집니다. 저는 당신이 3차원 곡면에서 바라보는 방법을 배우도록 노력하고 있습니다.
목가지 구조(2차원 또는 3차원)를 통과할 때 물체의 역전인 반대칭성에 대한 질문으로 돌아가겠습니다. 2차원에서 반지방향 지오데식을 상상해보세요. 이 단어는 이제 잘못된 것으로 보입니다. 원칙적으로 반지름은 한 점에서 시작하는 직선입니다. 사실, 이는 j가 일정한 지오데식입니다. 이전 그림에서 보여준 이 애지추 좌표를 보세요. 그러나 더 간결하게 하기 위해, 우리는 여전히 인용부호를 사용하는 "반지름"이라는 단어를 계속 사용할 것입니다. 주의하시기 바랍니다. "반지름"이라는 단어는 이미 표현 공간 선택의 결과입니다. R이라는 글자(그녀의 거울 이미지와는 다르며, 반대칭 이미지)가 토릭 통과를 통해 잘못 고정된 전달처럼 이동한다고 상상해보세요. 각 점은 지오데식을 따라 움직입니다. 이 글자는 "다른 측면"에 있게 될 것입니다. 표현 공간에서의 평면 투영에서 이 연산의 결과를 관찰하는 것은 흥미로운 일입니다.
우리는 두 개의 지오데식으로 구성된 띠의 형태를 보여주었습니다. 무엇을 주목할 수 있습니까? 표현 공간에서 R은 러시아어 "ia"로, 뒤집힌 R, 반대칭이 됩니다. 우리는 왜 랑투르루의 손이 3차원 표현 공간에서 나올 때 반대칭으로 보이는지 이해하기 시작합니다.