하지만
본질적으로 특이하며 좌표 선택 때문에 생긴 것이 아닌 특이점을 지닌 곡면들이 실제로 존재한다. 다음은 한 예이다: 원뿔 특이점.
주조소에서
나온 그대로, 1917년 슈바르츠실트가 정식화한 대로, 좌표 t
, r , q , j (시간,
방사 거리 및 두 각도, 즉 방위각과 고도에 해당: "구면"
좌표) 슈바르츠실트 구는 특이하다. "방사 좌표" r의 특정 값 Rs에 대해
("기하학적 중심"에서 측정된다고 가정된) 이 계량은 우리에게 온갖 종류의 장난을 친다. 구 위의 항 중 하나는
0이 아닌 분모를 갖는다. 요컨대 이 구 위에서 그것은 특이하다. 이것이 본질적
특이점인가, 아니면 잘못된 좌표 선택이 도입한 인공물인가? 그것이
우리가 스스로에게 던진 질문이다.
덧붙여
말하자면 "슈바르츠실트 기하학"은 4차원 초곡면이며, 이는 일을 더욱 믿기 어렵게 만든다.
크루스칼은
이 점에 집중했다. 그는 무엇보다도 방사 궤적을 따라 광속에 상수 값을 부여하는
좌표 변환을 구성했다. 그렇게 함으로써 그는 특이한 측면을 "물체의 중심에"
집중시켜 "중심 특이점"으로 만들었다. 심리적으로 우리는 무언가를 얻었다고 느낀다.
해는 "거의 모든 곳에서 정칙"이 되는데, 이는 수학자들이 해가 정칙이고 병리가 없으며
단 한 점만 예외라고 말할 때 쓰는 표현이다.
- 설마 작은 점 하나 때문에
까다롭게 굴지는 않겠지....
아아,
크루스칼의 정식화에는 심각한 약점이 있다: 그것은 무한한 특수 상대성 공간을
되돌려주지 않는다. 기술적으로 그것은 무한히 로런츠적이지 않고,
"점근적으로 로런츠적"이다.
이것은
물리학의 본질적 질문이다: 특이점은 존재하는가. 자연은
특이점을 용인하는가? 답은 (사실 무한의 존재 또는 부재에 관한 것과 마찬가지로) 믿음의
용어로 정식화된다.
우리는 모든 특이점을 제거하려 노력하며 이 동일한 슈바르츠실트 기하학에 대한
새로운 해석을 모색했고, 해내는 데 성공했다. 그러므로 우리의 답은 다음과 같다:
- 슈바르츠실트 해의 특이한 성격은 단순히 형편없는
좌표 선택에 의해 유도된 것이다.
기술적으로
모든 것은 다음 변수 변환에 달려 있다:
r = Rs +
Log chr
이는 다음과 같이 읽힌다: r은
Rs 더하기 변수 r의 쌍곡 코사인의 로그와 같다. 과학자, 전문가 또는 고등 수학 학생들을 제외하면
간단하다. 공식을 다룰 수 있는 사람들에게는, r이 음의 무한대에서 양의 무한대까지 가능한
모든 값을 취하더라도 r 값은 더 이상 Rs보다 작아질 수 없다.
다음과 같이, 포물선을 직선 둘레로 회전시켜 얻은
곡면을 고려하자:
이
그림은 논문에서 가져왔다. 이 곡면은 사실 무한하며, 마치 회전축 z 둘레로 회전시켜 그것을 만든
포물선 자오선과 같다. 만약 우리가 반드시 좌표 (r,z,j)로 그것을 표현해야 한다면, "r < Rs일 때 이 곡면은
어떤가?"라고 물을 때 문제가 생길 것을 예상할 수 있다.
답은
... 음수의 근을 동반한 허수로 발견될 것이다. 단순히 우리가 그때 "곡면 밖"에 있기 때문이다.
이
곡면은 수학에서 "단순 연결이 아닌"이라고 하는데, 이는 단순히 닫힌 곡선이 곡면 속으로 미끄러져 들어가
값이 0이 될 때까지 그 둘레가 줄어드는 것을 볼 수 없는 곡면을 가리키는 야만적인 용어이다.
이것은
"단순 연결"인 구 위에서는 가능하다. 그러나 문제의 곡면에서는 "일종의 중심 우물 둘레를 도는" 닫힌 곡선이
그 둘레가 0을 향하는 것을 볼 수 없음이 아주 분명하며, 그 극한은 "협곡 원"의 둘레이다. 마찬가지로
"단순 연결이 아닌" 원환체도 그렇다.
우리는
그 계량으로부터 그러한 곡면을 정의했는데, 이는 우리 주제의 좋은 예시이다.
좌표 r을 유지하면 곡면은 특이한 것처럼 보인다. 위에 주어진 변수 변환을 사용하면 더 이상 그렇지 않다. 좌표
r은 무엇에 해당하는가? 그것은 단순히 그림에 표시된 대로 포물선의
자오선을 따라 "달리며", 협곡 원에서 값 0을 취한다. 곡면의 절반은 r 양수에,
나머지는 r 음수에 해당한다. 점 [r , j ]의 표기 체계에서는
더 이상 특이점이 없다.
우리는
원환체와의 유추로 이런 유형의 물체를 "원환 다리"라고 부르기로 했다.
그러나
여전히 계량에서 출발하여, 물체에 "초원환 다리"를 지닌 3차원 초곡면을 부여할 수 있음이 쉽게 보여진다. 그러면 더 이상
협곡 원이 아니라 협곡 구가 있다. 위의 곡면도 마찬가지인데, 협곡 원이 두 개의 2차원 층을 연결하는 것처럼
협곡 구는 두 개의 "3차원 반공간"을 연결한다. 만약 우리가 이 3차원 반공간 중 하나에 있고 협곡 구로 뛰어들면,
다른 반공간에서 나온다.
위에
표시된 2차원 곡면으로 돌아가자. 다음 그림은 우리가 "동심원이라고 믿는 원들"을 그릴 때 그 둘레가 줄어들고,
최소에 도달한 다음, 다시 증가하는 것을 보여준다.
3차원에서는
협곡 구를 완전히 둘러싸는 구를 상상해야 한다. 그런 다음 그 안에 또 다른 구를 (주어진 방향을 따라, 협곡 구를 향해 갈 때는
"너머"라고 말해야 할 것이다). 우리는 이 구의 표면이 더 작다고 가정한다.
그러나 협곡 구에 도달하면 표면은 최소를 통과한 다음 증가하기 시작한다 ... 작업을 계속하면 무한대로.
우리는
"원환 통로"와 "초원환 통로"를 포함하는 2차원 및 3차원 곡면의 "계량"을 구성했고, 두 번째 경우에는
슈바르츠실트 계량과의 유사성에 놀랐으며, 여기서 우리는 좌표 변환을 수행하고 그 "단순 연결이 아닌" 성격을 드러냈고,
물체의 "내부"는 단순히 "협곡 구 너머"가 되었다.
그리하여 모든 특이점을 제거하는 것이 가능했다.
그
단계에서 우리는 단순히 블랙홀 모델을 "블랙홀-화이트 분수"의 탠덤으로 확장했을 뿐이다. 그러나 "외부 관찰자"에게는
초원환 다리를 건너는 데 필요한 시간이 여전히 무한하다. 우리는 단순히 블랙홀 모델을 개선하여 그것이 무엇으로
드러나는지 설명한 것처럼 보인다.
우리는
기하학적 해에서 변수의 선택이 전적으로 임의적이라고 앞서 말했다. 공간에 해당하는 것은 시간에도 해당한다. 그러므로 우리는 1924년
에딩턴이 고안한 시간 변수 변환을 모색했다:
다시 한 번, 우리는 단순한 과학자와 고등 수학 학생들을 위해서만
이것을 언급한다.
t는 옛 "우주 시간", 1917년 슈바르츠실트의 초기 해에서 제시된 옛 "연대기적 변수"이다.
t'는 새로운 "에딩턴 시간"이다. Rs는 "슈바르츠실트 반지름 (이 경우 슈바르츠실트 둘레를 2p로 나눈 것이라고
말해야 할 것이다)이다.
c는 광속 (여기서는 상수)이다.
이상해 보일 수 있는 것: 우리는 시간과 공간을 섞지만, 물질과 함께라면 무엇이든 간다.
시간 표지의 선택은 완전히 임의적이다. 우리는 단지 다음을 요구한다:
-
계량이 점근적으로 로런츠적일 것, 즉 무한대에서 시공간이 특수 상대성의 민코프스키 시공간이 될 것. 우리의 경우에는
통한다 (크루스칼은 아님). -
새로운 시간 t'가 여전히 무한대에서 "가정상 부동 관찰자의 시간"과 동일시될 것.
이 또한 그렇다 (크루스칼은 아님).그렇게 함으로써 무한히 부동하며 슈바르츠실트 구를 향해 낙하하는 시험 입자의 자유 낙하 시간은 "멀리 있고 부동한
"외부 관찰자가 보낸 시간"에 비해 무한이 된다.그러나
입자는 무한한 시간에 삼킴구멍에서 나올 것이다. 블랙홀에서처럼 우리는 이런 종류의 3차원 삼킴구멍에 들어갈 수 있지만
무한한 시간이 아니면 나올 수 없다.다른
쪽은 재기(再起)이다. 그러나 그러한 시간 선택 (t')으로는 입자가 유한한 시간에 들어갈 수 있는 반면
무한한 시간에 재기에서 나온다. 그것이 걸림돌이었다. 해결책은 일종의 이중 변수 변환을 수행하는 것으로, 우리에게는
우리의 것이라고 가정되는 시공간 부분에 대해 그럴 완전한 권리가 있다:
"쌍둥이 우주"에서는:
우주적
메커니즘은 따라서 완벽하게 작동한다.
-
특이점 없음.
-
우리는 "삼킴구멍"에 들어갈 수
있지만 나올 수 없다 (블랙홀). -
우리는 재기에서 나올 수 있지만 들어갈 수 없다 (화이트 분수).
좋아,
당신은 말한다, 우리는 진전하고 있다고...그렇기도
하고 아니기도 하다. 문제는 초원환 통로의 통과 시간이 불과 몇 백분의 1초라는 것이다. 그리고 이 몰록은
예를 들어 태양 질량 10개를, 총알이 카드놀이 패를 통과하는 데 걸리는 시간보다 짧은 시간에 삼킬 수 있다.결론은
기하학적 해의 이 보다 합리적인 표현을 통해서는 블랙홀이 존재할 수 없다는 것이다. 그것들은 ... 수학적 허구이다. 그것들은
오직 이 "시간 동결" 덕분에만 존재할 수 있다. 그러나 물리학의 모든 요구를 충족하는 "에딩턴 시간"을 사용하면 통과 시간은
유한해진다.
결론: 이 슈바르츠실트 기하학은 우리 생각에 초공간 전달의 비정상 과정의 한 스냅샷, 한 순간 이미지일 뿐이다. 마치 누군가가
공중에 던진 모루의 사진을 보여주었을 때 당신이 모든 모루는 공중에 뜬다고 결론 내리는 것과 같다.
슈바르츠실트 해는 또한 우주가 완벽하게 비어 있고, 에너지 물질의 밀도가 모든 점에서 0이라는 것을 함축하는 방정식의 해이기도 하다. 마치 누군가가
선수들이 하프타임을 위해 경기장을 떠난 후 찍은 축구 경기장 사진을 보여주었을 때 당신이 축구는 빈 경기장에서
행해진다고 결론 내리는 것과 다소 같다.
그러면
무슨 일이 일어날까?
우리는
협곡 구를 통과하는 동안 시간 좌표가 반전된다는 것을 보였다. 우리의 "시공간 측"에 해당하는 (에딩턴) 시간을 t'라 하고
쌍둥이 우주의 "시간 표지"를 t'*라 하면 다음과 같다:
t'* = -
t'
1967년 안드레이 사하로프가 반전된 시간을 지닌 두 우주가 "빅뱅" 순간에 창조되었다고 처음 제안했다는 점을
주목하라.
"시간의 반전"이 무엇을 의미하는지 이해하는 것이 남아 있다. 쌍둥이 우주로 뛰어들면 우리가 젊어진다는 뜻인가? 우리는 그렇지 않다는 것을
보였다. 우리는 "우리 자신의 시간을 갖고" 만약 대칭 구조를 통해 조금 더 나아가 나온다면, 쌍둥이 우주에 들어갔을 때보다
더 젊지 않을 것이다. 그렇다면 바르자벨의 "부주의한 여행자"("Le Voyageur Imprudent")에서처럼 "자기 아버지를 죽이는" 것은 불가능하다.
군(群)은 다시 한 번, 시간 좌표 반전의 "존재론적" 의미를 해명하게 해주었다. 입자가 쌍둥이 우주로 뛰어들면 그 중력 작용이
느껴지지만, 중력장에 대한 그 기여는 그때 음수가 된다. 그 "중력 질량"이 반전된다.
그런데
이것은 사이트와 책 "우리는 우주의 절반을 잃었다"("On a perdu la moitié de l'univers")
(Albin Michel)에서 전개된 모델을 완전히 정당화한다. 쌍둥이 우주를 떠도는 질량들은 우리 우주에 존재하는 질량들에 대해
반발하는 질량으로 행동한다.
-
뉴턴에 따르면,
우리 우주에서 질량들은 서로 끌어당긴다. -
뉴턴에 따르면,
쌍둥이 우주에서 질량들은 서로 끌어당긴다. -
시공간의 두 "인접한" 부분에 위치한 질량들이 상호작용할 때, 그것들은 서로
반발한다.
이것은 시간 변수 (그러나 시간은 아님)의 반전의 단순한 결과이다.
군은 또한 안드레이 사하로프가 상상한 대로 물질-반물질의 이중성이 두 우주 모두에 존재하는 방식을 보여준다.
물질 입자가 쌍둥이 우주로 넘어가는 데 성공하면 (나중에 어떻게인지 보겠다) 그것은 물질로 남지만, "CPT 대칭"이다. 이것이 물리학의
유명한 "CPT 정리" (결코 증명되지 않음. 수리오가 "의사의 정리"라고 부르는 것)의 의미이다.
고전적으로 의사들은 "물질의 CPT 대칭은 물질과 동일하다"고 말한다. CPT 대칭은 다음을 의미한다:
-
입자는 새 소굴에서 "거꾸로 된 시간"으로 움직인다: T-대칭.
-
그것은 거울상이며, 좌우가 반전된, "거울" 속이다: P-대칭.
-
그것의 모든 "전하"가 반전되며, 전하가 있다면 전하도 포함된다. 이것은 C-대칭이다.
우리에게
입자의 CPT 대칭은 쌍둥이 (또는 쌍둥이로 들어간) 입자이다. 그것은 쌍둥이 입자이다. T-대칭을 가지므로 그 질량은 자동으로
반전된다 (J. M. 수리오가 1974년에 처음 얻은 결과).
입자의 C-대칭은 그 반입자이다.
파인만은
입자의 PT-대칭이 반입자처럼 행동한다는 것을 발견했다. 정확하지만, 문제는 ... 음의 질량을 지닌 쌍둥이의 반물질이다 (T-대칭도
가지므로). 모든 것은 군의 역사에서 나온다. 이 작업은 지금까지 출판된 모든 것 사이의 연결을 만든다 (사이트의 '반물질의 기하학화' 섹션의 기하학적 물리학 B 참조). 이 공간 반전 문제의 좋은 예시를
얻을 수 있다. 논문에서 우리는 표현 공간이라는 개념을 자주 강조한다. 그것은 우리가 기하학적 물체를 정신적으로
표현하는 공간이다. 앞서 우리는 랑튀르뤼가 협곡 구에 손을 밀어 넣고 다른 3차원 우주에서 나오는 것처럼 보이는 이미지를 사용했다.
예시의 요구를 위해 그림은 두 그림으로 분리된다. 그러나 당신이 처음에 아마 알아차리지 못했을 것이 있다: 랑튀르뤼는
구에 왼손을 넣지만 나오는 것은 오른손이다. 이것은 우연이 아니다.
두 번째 우주는
어디에 있는가?
그것은
우리 우주에 끼워져 있는데, 이는 이해하기 조금 어렵다. 2차원 곡면, "평지"로 돌아가면 더 간단할 것이다.
