우리는 여기서 그림을 “정리하여” 좀 더 읽기 쉽게 만들었다. 표면은 2차원 대상이며, 여기서는 그 외에는 유클리드적인 R3의 3차원 공간 속으로 “던져 넣어져” 있다. 우리는 그것을 위에서 “볼” 수 있다. 공교롭게도 이 표면은 R3 공간 속에 “등장방식으로” 던져 넣을 수 있다. 즉, 그 위에 테이프를 붙이면, 그것은 실제로 표면의 두 점 A와 B를 잇는 측지선 위에 새겨질 것이다. 측지선 호를 따라 측정한 길이도 또한 정확하다. 그것은 등장방식, 어원적으로 “같은 길이”이다. 아래에는 등장방식이 아닌 2차원 표현이 있다 ... 호 A'B'의 길이는 호 AB의 길이와 같지 않다. 종이 한 장, 연필 한 자루, 가위 한 쌍의 도움으로 다음 물체를 만들어 보라:
이 그림은 등장방식이 아니다. 우선 표시된 곡선은 평면의 측지선이 아니다. 둘째로 호 AB의 폭은 “구멍이 없는” “실제 표면”에서 측정할 수 있는 “실제 길이”가 아니다. 구멍이 뚫린 종이는 그저 유용한 표현일 뿐, 그 이상은 아니다. 종이의 한쪽 면에 그린 다음 다른 쪽 면에 그리는 기법도 마찬가지이며, 전체 곡선은 투명하게 비칠 때에만 나타난다.
다음 그림에서 우리는 컴퓨터로 계산한 표면의 측지선들을 보여 주었다(기사에 실려 있다).
곡선의 점선 부분은 “다른 쪽”의 가지들에 해당한다(마치 우리가 표면을 “위에서” 보고 있는 것처럼).
이제 질문 하나: 이 측지선들의 평평하고 등장방식인 표현을 만들 수 있을까? 답은 그렇다이다. 우리는 변수 r을 변수 r로 바꿀 수 있음을 보았다. 따라서 측지선들은 “극좌표” 평면 ( r , j )에 그려질 수 있다. 측지선들(여기서는 비방사형 측지선)은 다음과 같이 보인다:
이것은 등장방식 표현이다. 즉, 표면에 속하고 같은 측지선 위에 있는 세 점 A, B, C가 있다. A', B', C'는 이 표현 [ r , j ]에서의 상동점들이다. 점 A와 B는 같은 반층 위에 있고, 그들을 잇는 측지선 호는 협곡 원을 가로지르지 않는다. 이 평면에서 측지선의 상(분명히 이 평면의 측지선은 아니다)을 따라 측정한 호 A'B'의 길이는 표면에서 측정한 호 AB의 길이와 같다.
호 BC는 협곡 구를 가로지른다. 마찬가지다.
그러나 이 등장성은 표면의 모든 측지선에 적용되지는 않는다. 오직 하나, 그 나름대로 유일한 것이 존재한다: 여기서는 한 점으로 축소된 협곡 원이다. 그것은 스스로 닫히는 유일한 표면이다.
측지선은 표면, 더 일반적으로는 비평면적이고 비유클리드적인 공간을 이해하기 위해 우리가 가진 유일한 것이다. 그것들은 유용한 표지들이다(비록 우리의 2차원 및 3차원 표현 체계(원근법)에서 왜곡된 시각을 갖더라도). 우리는 이 측지선들이 존재하며 내재적임을 안다. 예를 들어 구의 측지선은 대원들이다. 시공간의 경우, 그것들은 무한한 수의 시공간 측지선으로 채워져 있다. 측지선은 내재적으로 존재하며, 그것들을 이해하기 위해(어원적으로: 붙잡다, 품에 안다) 우리는 장님처럼 그것들을 “느끼려” 한다. 그러나 공간과 시간 좌표선들은 내재적 실재성을 지니지 않으며, 두 경선과 위선의 집합도 구의 본질적 부분이 아니다. 그것들은 “안에 주어져” 있지 않다. 아인슈타인의 장 방정식의 해인 슈바르츠실트 기하는 4차원 초곡면이다. 이론가들은 그 위에 “상수 t”, “상수 r” 등 온갖 곡선족을 붙여 놓았다.
이러한 몸짓들이 전적으로 임의적임을 결코 잊지 말라. 비록 이론 우주론의 전문가들조차 종종 이 점을 놓치고, 때때로 기하학-수학자들에 의해 질서를 바로잡히곤 하지만 말이다. 따라서 시공간 좌표를 바꾸는 것은 완벽하게 정당했다.
이쯤에서 당신은 말할 것이다: 그렇다면 어떤 좌표 선택이 다른 것보다 낫다고 무엇이 말해 주는가? 무엇이 합리적이고 무엇이 불합리한가? 그것은 취향의 문제다. 시공간 좌표를 선택한다는 것은 수학적 대상 위에 물리적 시각을 놓는 것이다. 지구의 경우, 우리는 그것이 자전할 때 극점을 부여했다. 북극은 단순히 “지구” 표면의 법선 중 하늘에서 고정되어 있는 별인 북극성을 향하는 것이다.
등장성과 비등장성의 문제에서, 지도 제작은 구를 평면에 표현하려는 어려움을 예시한다. 메르카토르 도법(지구 구를 적도에 접하는 원기둥에 투영하는 것)은 적도 근처에 사는 사람들에게는 매우 훌륭하다. 그러나 극점 중 한 곳에 사는 사람에게는 불쾌한 surprise가 기다린다: 그의 점 같은 영역이 직선으로 변해 버리는 것이다...
구를 평면에 투영하는 방법은 수백 가지가 있다. 이것을 상상해 보자:
우리가 이 모델로 지도를 만들어 판다고 상상해 보라. 두 극점에 사는 사람들 사이에서 즉각적인 성공이다: 이 지역들에서 투영은 준등장방식이다. 그 지역들의 거리를 가늠하는 데 유용하다. 만약 지구가 극점에서 거주 가능하고 다른 곳에서는 상대적으로 살기 힘들었다면, 지도는 의심할 바 없이 이렇게 만들어졌을 것이다. 그러나 우리는 평면 위 투영의 경계 원이 더 이상 적도에 해당하지 않고 어떤 위선(여기서는 북반구의)에 해당함을 보게 될 것이다. 이 지역 근처에서 지도는 등장성에서 크게 벗어날 것이다. 그뿐만 아니라, 이 이상한 지도에서는 육지의 일부가 정상적인 실선으로, 일부는 파선 점선으로 표시되어야 할 것이다. 왜냐하면 그것이, 이상하게도 물체가 “스스로 접혀 들어가는” 것처럼 보이는 그 위선 너머에 있기 때문이다. 아마도 우리는 종이 원판 위에 지도를 공급하고, 나머지 육지는 종이의 다른 쪽 면에 나타나게 할 수 있을 것이다.
“이 모든 것을 3차원으로 상상해” 보자. 우리는 랑튀르뤼가 왼팔을 협곡 구에 던져 넣는 모습을 두 개의 분리된 그림으로 보여 주었는데, 이는 두 번째 3차원 공간이 “다른 곳에” 있는 것처럼 보이게 할 수 있다. 정확하게 하려면 두 원근법 그림은 겹쳐져야 하고, 나오는 (오른)손은 점선으로 표현되어야 한다.
쉽지는 않았지만 해 보았다. 두 가지 다른 색을 쓸 수도 있었을 것이다. 우리의 비단순 연결 3차원 공간의 첫 번째 3차원 쪽 부분에는 빨강, 다른 쪽에는 초록. 그러면 빨간 랑튀르뤼는 구에 밀어 넣은 빨간 “왼”손이 초록 “오른”손으로 나오는 것을 보게 될 것이다.
분명히 협곡 구 “안”에는 아무것도 없다. 내부, 부피 있는 내용물의 겉모습은 오로지 이 3차원 표현 공간의 선택 때문이다. 마치 종이에 뚫린 구멍 안에 종이가 없는 것과 같다. 그것은 이 평면 표현 공간의 선택과 연결된 우연일 뿐이다. 만약 누군가가 종이에 뚫린 원판을 제거하지 않고 평면 표현을 고집하며 “안에 무엇이 있나”를 거듭 묻는다면, 그는 완전히 “장 밖에”(아니라 ... 장 안에) 있을 것이다. 장은 존재하지 않는다.
3차원으로 돌아가자. 랑튀르뤼가 팔을 협곡 구에 던져 넣을 때, 여기에도 내부는 없다. 내부의 겉모습은 단순히 우리의 표현 공간 선택 때문이다. 우리는 랑튀르뤼와 나오는 손이 3차원을 가진 종이 위에 그려졌고, 그 종이에서 ... 구(종이 원판의 3차원 등가물)를 제거했다고 생각할 수 있다. 수학적으로 원판은 “b2 공”이고 “구 부피”는 “b3 공”이다. “공”이란 수축 가능한 세포(«CD-Lanturlu»의 위상론을 보라)를 뜻하며, 즉 한 점을 기준으로 자기 자신 위로 지나가며 수축할 수 있는 대상이다. 2차원과 3차원 예시는 기사의 전투 계획을 예시하기 위해 있다: 슈바르츠실트 구에는 “내부”도 “중심”도 없다. 우리가 그것을 가로지를 때(초토러스 통과) 우리는 “시공간의 다른 쪽”에 있게 된다.
“슈바르츠실트 기하”에 대한 이 새로운 해석의 정당성은 무엇인가?
답: 특이점의 제거다. 크루스칼은 그의 “해석적 연장”으로 이 “빌어먹을 구”를 뚫고 들어가기 위해 가능한 모든 것을 했다. 그는 (처음에 슈바르츠실트 구가 하던 역할인) 특이점을 “이 대상의 중심에” 있는 한 점에 몰아넣는 데에만 성공했다. 사람들은 이 요술에 만족했다. 그러나 우리는 특이점이 없는 편이 더 낫다고 생각한다.
자연은 우리가 그것을 잘못된 쪽에서 볼 때 특이점을 분비하며 항의한다. 그것이 우리가 사물을 보는 방식이다. 그것은 “실재”에 대한 선입견이다. 우리는 이 특이점들이 자연에 존재하지 않는다고 믿는다. 우리는 무한도 존재하지 않는다고 생각한다. 그러나 키플링이 말했듯이, 그것은 또 다른 이야기다. 나는 1년 전 이 문제로 수리오와 격렬한 논쟁을 했다.
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무한이 존재함을 무엇이 증명하는가? ....
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하지만 무한 없이는 수학이 없다! ....
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무한을 만난 적이 있는가? 보았는가, 손에 쥐어 보았는가?
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그것은 .... 편의다.
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우리는 어떤 수에 1을 무한히 더할 수 있다고 가정함으로써 무한히 큰 수를 생성한다. 우리는 수적 무한을 생성하기 위해 순차적 무한을 사용하고 있다. 그것은 제 꼬리를 먹는다, 당신네 것은.
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좋다, 그것이 편의라고 하자. 인간은 역사 동안 두 가지 중요한 것을 발명했다: 무한과 변소 ...
나는 무한히 작은 것도 물리적으로나 수학적으로 존재한다고 믿지 않는다. 그러나 그것은 다른 논문들의 주제가 될 것이다. 당분간 이 질문들은 옆으로 치워 두자. 단순한 여담.
덧붙여, P. 미디와 J.P. 프티의 «스케일 불변 우주론», International Journal of Modern Physics D, 1999년 6월, 271-280쪽을 보라. 거기서 우리는 “우주의 초기 특이점”을 사라지게 했다. 그것은 내가 88-89년 Modern Physics Letters A에 발표한 아이디어(사이트의 논문들)를 수학적으로 더 구성한 재정식화다.
내가 기억하기로 아르키메데스가 과학의 성소 입구에서 말했다, “기하학자가 아니면 여기 들어오지 말라”. 이 텐서니 뭐니 하는 것들, 미디가 좋아하는 분야는 영국 푸딩만큼이나 소화하기 힘들다.
따라서 이 논의를 통해 우리는 이 현상들에 대한 우리의 물리적 시각이 그것들을 표현하기로 결정한 방식에서 비롯됨을 알 수 있다. 공간 좌표를 수정함으로써 우리는 “국소 위상”을 바꾸었다. 수리오에 따르면 이 용어는 수학적 명확화가 필요하다. 사실 그 표현은 완곡한 완곡어법이다: 내가 그렇게 말하자 그는 그냥 헛소리를 시작했고, 그의 고양이 피움과 나는 그를 진정시키는 데 큰 어려움을 겪었다. 수리오는 수학의 투르네솔 교수다. 그는 고도의 수학적 분노를 즐겨 행사한다. 그러나 이 분노를 그 단어의 평범한 의미의 화냄과 혼동해서는 안 된다. 오히려 이 영역에서 몰리에르의 “주르댕 씨” 역을 하는 것은 나다. 물리학자들은 종종 그것을 모른 채 수학을 사용한다(그리고 사실 그 반대도 마찬가지다).
잠정적으로 “명시되지 않은” 단어들의 사용을 인정하면, 모든 것은 마치 우리가 슈바르츠실트 기하의 “국소 위상”이 “초구면적”이라고(슈바르츠실트 구가 “B3 공”을 “포함한다”고)만 고려한 것처럼 일어난다. 우리는 그것을 “초토러스적”으로 만들었다. 그래서 내가 “초토러스 기하”라는 용어를 제안한 것이다.
우리는 앞서 공간의 반전을 언급했다. 그것은 군들과 협상된다. 우리는 그것을 다르게 이해할 수 있을까? 우리는 랑튀르뤼가 왼손을 협곡 구에 던져 넣고 오른손이 나오는 것을 보았다. 사실 그의 손의 각 원자는 표면에 수직인 “방사형” 측지선을 따라갔다.
이 표현 체계가 등장방식이 아님을 덧붙여 언급하는 것을 잊지 말자. 구멍 뚫린 종이와 마찬가지다. 만약 랑튀르뤼의 손(영어판에서는 아치볼드 히긴스의 손)에 속한 시험 원자가 두 반공간에서 이동한 거리를 측정한다면, 그것은 끈으로 측정한 실제 거리와 일치하지 않을 것이다.
앞서 보여 준 그림으로 돌아가자.
여기서 우리는 협곡 원을 가로지르는 측지선 호 AB와 그 아래 평면 표현 공간에서의 상을 보여 주었다. 표현의 비등장방식적 성격이 더욱 분명해진다. 호 AB와 A'B'의 길이는 매우 다르다.
분명히 초토러스 통과의 협곡 구에 끈을 꿰어 넣을 수 있다고 상상하기는 꽤 어렵다. 끈을 조이면 우리는 측지선(최단 경로의 선)을 얻을 것이다. 결국, 만약 우리가 3차원 표현 공간에서(랑튀르뤼가 팔을 밀어 넣으며) 끈의 길이를 측정하고 이 공간에서 끈의 길이를 측정하기로 한다면, 우리는 더 짧은 길이 A'B'를 발견할 것이다. 3차원 초곡면에서 측정한 실제 길이는 2차원 그림에서 보듯 더 길 것이다. 따라서 랑튀르뤼가 있는 3차원 표현은 위의 평면 표현과 마찬가지로 비등장방식이다.
몇 개의 그림의 도움으로, 군론에서 발전된 이 미묘한 개념들은 “공간 속을 보는” 것만으로 덜 난해해진다. 그것이 내가 여러분에게 가르치려는 것이다, 3차원 굽은 공간 속을 보는 법을.
거울상 이성질, 즉 물체가 2차원 또는 3차원 협곡 구조를 가로지를 때의 반전 문제로 돌아가자. 2차원에서 방사형 측지선을 상상해 보자. 원칙적으로 반지름은 한 점에서 뻗어 나가는 직선이므로 그 단어는 부정확해졌다. 사실 그것은 상수 j 측지선의 문제다. 이 방위각 좌표를 보여 준 앞의 그림을 보라. 그러나 더 간결하게 하기 위해 우리는 따옴표를 붙여 “방사형”이라는 단어를 계속 사용할 것이다. 참고로, “방사형”이라는 단어는 이미 표현 공간 선택의 결과다. 문자 R(거울상, 즉 거울상 이성질 상과 동일하지 않다)이 우리의 토러스 통과를 따라 잘 고정되지 않은 전사처럼 미끄러져 내려가고, 그 각 점이 측지선을 따라 움직인다고 상상해 보라. 그 문자는 “다른 쪽”에 있게 될 것이다. 표현 공간의 평면 투영에서 그 연산의 결과를 보는 것은 흥미롭다.
우리는 가장자리가 두 측지선으로 이루어진 일종의 리본을 보여 주었다. 무엇을 알아차리는가? 표현 공간에서 문자 R은 반전되어 러시아어 “Я”, 즉 뒤집힌 R, 거울상 이성질 상이 된다. 우리는 랑튀르뤼의 손이 “3차원 표현 공간”에서 나올 때 반전된 것처럼 보이는 이유, 즉 거울상 이성질 상이 되는 이유를 이해하기 시작한다.
