PQ4

...자, 이제 (수치는 기사에서 인용한 것임) 3차원 표현 공간에 남아 있는 네 개의 구슬로 이루어진 그룹을 상상해 보자. 이 구슬들은 정사면체를 이루고 있으며(매우 방향성을 가진 대상), '측지선 반경'을 따라 구형 협곡 구(sphere-shaped gorge sphere) 안으로 떨어진다.

이 구슬들은 협곡 구에서 '반발'할 것이다(우리가 선택한 표현 공간의 이미지 관점에서 보면 그렇다. 실제로 측지선은 3차원 초곡면 내에서 연속적이다).

내가 어렸을 때, 계단 난간 끝에는 흔히 크롬 구슬들이 달려 있었다. 만약 이런 구조물이 있는 곳에 산다면, 작은 강철 구슬을 던져 직접 경험을 해볼 수 있다.

반발 후 네 개의 구슬은 뒤집힌 정사면체를 형성한다:

정사면체의 크기를 키워 뒤집힘 현상을 더 명확하게 관찰해 보자. 초기 구성에서는 다음과 같이 나타난다:

우리는 면들의 '방향'을 설정한다. 예를 들어 경로 ADB에 방향을 부여하는 식으로, 나사 모양의 움직임(끝이 바깥쪽을 향함, 화살표 참조)과 비교할 수 있도록 한다. 따라서 네 개의 면은 방향이 지정된다. 이제 이 정사면체를 협곡 구에서 '반발'한 구슬들이 형성한 정사면체와 비교해 보자:

면들의 방향이 뒤집혔다. 내 그림이 더 정밀했다면, 두 대상은 거울을 사이에 두고 배치되어 하나는 다른 하나의 거울상(거울상 이성질체, enantiomorphic)이 되었을 것이다.

슈바르츠실트(Schwarzschild) 경우에도 마찬가지다. 대상들은 '다른 쪽'에서 다시 나타나며, 만약 우리가 그들을 '투명하게 볼 수 있다면' 거울상 이성질체로 보일 것이다. 하지만 우리는 그들을 '투명하게 볼 수 없다'. 우리가 '볼' 수 있으려면 광자가 시공간의 두 '쪽'에 있는 두 '인접한' 영역 간에 통신을 설정할 수 있어야 하며, 따라서 이 영역들은 P-대칭(공간 반전 대칭)이어야 한다.

참고로, '비반경(non-radial)' 궤적은 어떻게 되는가? 측지선 계산은 슈바르츠실트 구에서 '반발'하는 평면 궤적을 제공한다. 아래 그림을 참조하라.

위에서 간략히 언급한 가변 시간(variable time)의 문제는 여전히 남아 있다. 내가 말했듯이, 우리는 원하는 변수를 자유롭게 선택할 권리가 있다. 대상, 즉 시공간 초곡면은 '불변 좌표'이므로 좌표 선택은 완전히 임의적이다. 이 초곡면은 위에 표시된 점들, 즉 '사건점(event-points)'을 마킹하는 데 사용되는 좌표 선택과 독립적으로 존재하며, 이는 4차원 초곡면인 시공간 대상의 점들이다.

그렇다면 시간이란 무엇이며, 공간이란 무엇인가? 모든 것이 임의적이라면?

우리가 건드릴 수 없는 하나의 시간이 있으며, 이는 초곡면의 유일한 내재적 스칼라이다. 바로 고유 시간(proper time)이다. 고유 시간은 시공간 초공간에서의 '길이'이다. 대상들이 측지선(4차원)을 따라 이동할 수 있다고 가정하자. 측지선 위의 두 점 (A, B)를 잡는다. 두 점을 분리하는 길이 Ds를 상수 c(협곡 구에서 멀리 떨어진 지역의 빛의 속도)로 나누면, 두 '사건'을 분리하는 고유 시간 간격 Dt가 되며, 이는 어떤 시공간 좌표를 선택하든 동일하다.

Ds는 내재적 물리적 의미를 가진 유일한 양이다.

당신이 지구 표면 위를 측지선(대원)을 따라 점 A에서 점 B로 이동한다고 상상해 보라. 만약 당신이 이렇게 말한다면:

- 나는 경도 jA, 위도 qA인 지점에서 경도 jB, 위도 qB인 지점으로 이동했다.

여기서 양 (jB - jA)와 (qB - qA)는 무엇을 의미하는가? 이들은 당신이 극(pole)으로 선택한 점들, 즉 기준점 선택에 의존할 것이다. 그러나 만약 당신이 이렇게 말했다면:

- 나는 2,347킬로미터를 여행했다.

이 측정은 당신이 어떤 기준 좌표계를 선택했든 의미를 가진다.

구(sphere)의 경우에서 우리는 하나 이상의 특이점을 드러내는 좌표를 사용할 수 있음을 보았다. 극은 경도가 더 이상 정의되지 않는 지점이다. 또한 단순한 좌표 변환을 통해 '원하지 않는 영역(또는 r<Rs)'을 사라지게 하고, 순수한 허수 길이 요소 Ds가 나타나는 지점을 만들 수 있음을 보았다. 실제로 슈바르츠실트 계량의 초기 공식화에서는 순수한 허수 길이 요소(고유 시간)가 나타나기 때문에 우리가 '초곡면 밖'에 있다고 가정했던 것이다. 절대 좌표계는 존재하지 않는다. 하지만 우리는 적어도 특이점을 사라지게 하는 공간 좌표를 선택하기로 결정할 수 있으며, 우리가 그렇게 해왔다. '절대 우주 시간'도 존재하지 않는다. 미디(Midy)와 나는 최근 논문에서 '초기 특이점', 즉 '우리 우주의 창조 순간'으로 간주되는 것이 시간 마커 변수의 특정 선택의 결과임을 보였으며, 다른 선택을 하면 적색편이(redshift)를 포함한 모든 관측량은 유지되지만, 이름이 같은 사인(sin)처럼 원래의 특이점은 사라진다. '빅뱅 이전에는 무엇이 있었는가?'라는 질문은 더 이상 의미가 없다. 당혹스럽다는 점은 인정하지만, 이 질문은 시공간 패러다임에서 비롯된 것이다. 이는 '블랙홀 중심에는 무엇이 있는가?'라는 질문과 동등하다. 따라서 '에딩턴 시간(Eddington time)'을 사용하여 시간 좌표를 변경하는 것은 완전히 정당하다(위에서 변수 변환을 제시했다). 이는 이 국소 기하학적 구조를 민코프스키 시공간, 즉 상대론적 공간(특수 상대성 이론의 의미에서)이자 곡률이 없는 평탄한 공간과 연결할 수 있게 해주기 때문이다. 하지만 핵심 아이디어는 하나의 계량으로 전체 시공간을 기술할 수 있어야 한다는 것이다. 다시 말하지만, 가이드는 군론(group theory)과 슈바르츠실트 계량의 '등거리 변환 군(isometry group)' 검토에서 찾을 수 있다.

등거리 변환 군은 계량을 불변으로 유지하는(따라서 초곡면을 불변으로 유지하는) 모든 기하학적 변환을 포함한다. 대상 구의 등거리 변환 군은 공간 회전 군과 대칭성(중심을 지나는 평면 또는 축에 대한 대칭, 중심인 점에 대한 대칭)으로 구성된다. 우리는 이 군을 O3이라 부른다('크기 3인 직교 군'의 약어). (기하학적 물리학 B의 [서론](/legacy/science/f400/f4100/a4101.htm) 참조. 모든 내용은 여기에 있다.) 그러나 축, 평면 또는 점에 대한 대칭성을 제거하면 SO3('크기 3인 특수 직교 군')이 된다.

슈바르츠실트 기하학은 대칭성을 가진다. 지금까지 우리는 이 기하학에 S03 대칭(공간 회전)을 부여하는 데 익숙했다. 하지만 실제로는 등거리 변환 군 O3를 가지며, 따라서 P-대칭(점에 대한 대칭)을 포함한다. 앞서 사용한 정사면체로 돌아가 보자. 점에 대한 이 정사면체의 대칭은 거울상 이성질체이며, 1종 P-대칭이다.

사이트의 '군(groups)' 섹션에서 우리는 군이 어떻게 '공간을 분비(secreted)'하거나, 더 정확하게는 기하학적 대상들을 분비하는지 보여주었다. 수리우(Souriau)는 이것들을 군의 '종(species)'이라 부른다. 따라서 구가 SO3 군을 생성하는 것이 아니라 그 반대이다. 구들은 이 군의 종이다. 분류학적 의미에서의 종(분류학: 종의 분류에 관한 과학)이다. 우리는 앞서 때때로 물리학자들이 인지하지 못한 채 수학을 하고, 그 반대도 마찬가지라고 말했다. 상대론적 물리학과 군론의 발전은 세기 초에 시작되었다: 클라인(Klein), 푸앵카레(Poincaré), 로렌츠(Lorentz), 카르탕(Cartan) 등은 뛰어난 노르웨이 수학자 소푸스 리(Sophus Lie)의 작업을 계승했다. 모든 것이 서로 연결되기 시작했다. 물리학자들의 작업이 수학자들의 작업을 자극한 것인가, 아니면 그 반대인가? 아마도 서로를 자극했을 것이다. 특수 상대성 이론은 민코프스키 시공간(그 '계량'으로 정의됨)을 가진다. 그 '등거리 변환 군'은 푸앵카레 군이며, 이는 로렌츠 군을 중심으로 구축된다(기하학적 물리학 B의 서론 참조). 수리우는 그의 저서 《시스템 동역학의 구조(Structure of System Dynamics)》(Dunod, 1974, 197-200쪽)에서 푸앵카레 군이 '역시간적(retrochronal) 대상들을 분비'하며, 이는 질량의 반전과 함께 간다는 것을 최초로 보여주었다. 따라서 메커니즘을 볼 수 있다: 물리학자들은 빛의 속도 불변성과 같은 물리적 현상을 발견한다: 마이켈슨-몰리 실험. 수학자들은 이를 군의 관점에서 재해석한다. 그러나 군들 중에는 새로운 대상들을 참조하는 것처럼 보이는 요소들이 있다: 음의 질량.

이로 인해 물리학자들은 미간을 찌푸린다. 음의 질량이 양의 질량을 만나면 결과는 ... 영(0), 아무것도 아니다. 이는 물질-반물질 소멸(사실 양의 질량을 가짐)과 혼동해서는 안 되며, 소멸은 광자 형태로 에너지-물질의 등가물을 생성한다. 음의 질량 m* = -m은 음의 에너지 E* = m*c2 = -mc2를 가지므로, 평가 결과는 ... 영(0)이다. 사분위세기 동안 수리우가 발견한 이러한 음의 질량들은 '순수한 수학적 호기심'(사실 수리우 본인도 그렇게 믿었다)으로 남아 있었다.

1998년 나는 이러한 음의 질량들이 완전한 자유로이, 즉 좌표 시간이 반전된 세계에서 그들의 자연 서식지에서 뛰어놀 수 있는 기하학적, 쌍생(gemellary) 맥락을 구축했다(기하학적 물리학 B의 논문 참조).

이 텍스트는 (기사 '의심스러운 블랙홀'에서) 군론에 기반한 작업의 대중화이며, 먼저 슈바르츠실트 계량이 SO3XR(3차원 회전 + 시간 병진, 대상이 시간에 대해 불변, 즉 정상 상태임을 표현)이 아님을 주목했다. 대신 03XE1(기타 다른 것들 중 P-대칭과 T-대칭 포함)이다. 이것이 기하학적 맥락 확장의 가이드이며, 이는 1924년 에딩턴의 비전과 함께한다. 대칭성은 이후 'PT-대칭' 모델에서 활용된다: 쌍생 우주에서 공간 및 시간 좌표가 반전되는 모델로, 이 아이디어는 원래 1967년 안드레이 사하로프(Andrei Sakharov)가 제안했다.

이 모든 것이 복잡하게 느껴지는가? 고등 수학 학생은 특수 상대성 이론의 민코프스키 계량을 살펴보자:

ds2 = c2 dt2 - dx2 -dy2 -dz2

t ...를 -t로
x ...를 -x로
y ...를 -z로
z ...를 -z로

변환하라. 불변이다. 등거리 변환 군(이 계량을 불변으로 유지하는 군)은 더 크다(이는 '네 가지 성분을 가진' 푸앵카레 군이다). 이 변환은 전체의 일부에 불과하지만, 민코프스키 계량이 PT 대칭에 의해 불변임을 알 수 있다.

특수 상대성 이론의 계량은 상대론적 공간 (t , x , y , z )과 함께 간다.

그러나 그것은 또한 공간 및 시간 좌표가 반전된 우주(우리의 우주에 대해 PT-대칭)를 기술할 수도 있다. 그것들은 타키온이 아니다. 그것들과 비슷한 것은 없다. 두 번째 우주에서는 속도가 여전히 광속보다 느리다(아광속).

요컨대, 에딩턴의 아이디어로 재검토된 슈바르츠실트 계량은 PT 대칭이 되었다. 따라서 시간 좌표는 협곡 구를 통과할 때 '자연스럽게' 반전되어야 한다. 이것이 쌍생 우주로 들어가는 잠재적 우주선 승객이 경험하는 시간이 반전된다는 의미인가? 그 시간은 단지 좌표일 뿐이다. 지구에서 적도를 건널 때 위도가 음수가 되지만, 당신이 뒤로 걷기 시작하지는 않는다...

우리는 이 기하학을 더 큰 맥락, 즉 10차원으로 포함시켰다. 이 숫자는 비너(Wiener)와 그라우스테인(Graustein)의 정리에 따르면, n이 2보다 큰 n차원 공간을 수용하는 데 필요한 최소 차원 수에 해당한다.

이 추가된 6차원은 기하학적 물리학 B에 제시된 논문들에서 이미 도입되었다. 이들은 양자적 측면을 참조한다. 결론은 다음과 같다:

• 물질-반물질 이중성은 우주의 양쪽에 존재한다.

• 물질 입자가 슈바르츠실트 기하학에 해당하는 초토릭(hypertoric) 다리를 통과할 때, 중력장에 대한 그 기여도는 반전된다. 1994년부터 누오보 친멘토(Nuovo Cimento)에 제안된 장 방정식 체계(기하학적 물리학에 재수록됨)는 따라서 확인되며, 우리가 '우리는 우주의 절반을 잃어버렸다(We have lost half the Universe)'(Albin Michel)에서 대중화된 방식으로 제시한 발전들도 마찬가지다.

• 물질 입자가 이러한 '초구형 터널' 중 하나를 통과할 때, 물질은 남는다(하지만 CPT 대칭). 반물질 입자의 경우도 마찬가지다.

  그러나 그 경우, 통과 시간은 유한하다. 따라서 블랙홀은 존재할 수 없다. 슈바르츠실트 기하학이 잘못된 변수 선택과 잘못된 '기하학적 맥락' 선택으로 조작되었을 때, 이는 '시간 동결'로 이어졌으며, 우리는 이를 수학적 인공물로 간주한다.

  하지만 블랙홀이 존재하지 않는다면, 질명이 운명적인 임계값(태양 질량의 2배: 중심 압력을 무한대로 치솟게 할 값)을 초과하는 중성자별에는 어떤 일이 일어나는가?

  다음 그림은 중성자별 중심으로부터의 거리에 따른 압력 값(로그 좌표)을 보여준다(일정한 밀도를 가정). 이는 외부 반경(따라서 질명)의 다른 값들에 대해 고전적인 톨만-오펜하이머-볼코프(TOV) 모델을 사용하여 얻은 것이다. 임계 곡선은 태양 질량의 2배 값에 해당한다.

별의 질명이 임계값보다 훨씬 낮은 동안 중심 방향으로의 압력 증가는 완만함을 알 수 있다. 그러나 질명이 임계값에 가까워지자마자 압력은 급격히 상승하여 중심에서 무한대가 된다(임계 곡선).

논문의 나머지는 모델이 아니라 모델에 대한 프로젝트이다. 우리의 의견으로는, 압력의 급격한 상승은 '물리 상수', 특히 빛의 속도의 국소 값에도 영향을 미쳐야 하며, 이 값 역시 무한대로 향해야 한다. 우리는 이것이 별 중심에서 초토릭 통로의 개방을 유발할 것이라고 생각한다. 가이드로서, 임계 질명(태양 질량의 2배)을 초과하지만 2.5 태양 질명 미만인 질명에 대해 여전히 TOV 모델로 압력을 계산했다. 이는 압력의 무한대 증가(물리적 성격의 임계성)를 초래하지만, 슈바르츠실트 반경이 별의 외부 반경에 도달하는 고전적인 '기하학적 임계성' 미만이다. TOV 모델은 정상 상태 해에 기반하므로 모델로서의 가치는 명백히 없다. 그러나 별의 중심에서 바깥쪽으로 구(압력 = 무한대)의 극도로 빠른 확장을 주목하라. 이는 온건한 질명의 추가에도 발생한다.

압력 곡선은 마치 '채찍질'처럼 오른쪽으로 향하는 것처럼 보인다.

(우리가 조금 전에는 '무한대'라는 단어의 정당성에 의문을 제기했음에도 불구하고 이 단어를 사용했다는 점에 유의하라. 압력이 한계 값을 초과할 때 현상이 발생할 것이라고 말하자. 하지만 이는 모델에 '양자적 기여도'를 도입해야 할 것이다.) 피에르 미디(Pierre Midy)와 나는 이 문제를 연구하기 시작했다. 우리의 의견으로는 두 가지 가능한 시나리오가 있다.

**연질 버전(Soft version)**: 중성자별이 동반성에서 물질 유입(항성풍)을 받아 태양 질량의 2배에 도달하며, 이 질명은 코어의 압력을 무한대로 보낸다. 그 후 중심에 초공간 다리가 열리고, 과잉 물질이 배출된다. 질명이 반전되어 쌍생 우주에 도착하면 흩어지며, 중성자별에 의해 밀려난다. 중성자별은 전달된 질명에 대해 반발하는 물체처럼 행동한다. 초토릭 통로를 통한 배출은 상대론적 속도로 일어나며, 구조의 크기(협곡 구의 표면적)는 필요한 유량에 따라 결정된다. 유입이 연속적이라면, 초토릭 다리는 지속적으로 작동하며 누출 유량을 보장하는 '오버플로우'처럼 행동할 것이다. 다음 그림들은 임계 미만 상태의 별의 두 영역을 연상시킨다:

그리고 '누출 유량' 상태:

경질 버전(Hard version): 두 중성자별의 융합. 과정은 훨씬 더 격렬할 것이다. 초토릭 다리는 매우 빠르게, 상대론적 속도로 형성 및 성장하며 질명의 상당 부분을 삼킨다. 이 모든 것은 중력파와 '감마선 점프(gamma leap)' 방출과 함께 일어난다. 우리는 질명의 일부만 전달될 것이라고 생각한다. 실제로 물질이 다른 쪽으로 건너가면 질명이 반전되어 중력장에 음의 기여를 한다. 그렇게 함으로써 중성자별에 대한 원래의 중력 압력을 감소시킨다. 그러나 구대칭이 아닌(중성자별에 대해 비현실적인 아이디어) 축대칭인 대상을 참조하는, 제대로 개발된 비정상 상태 해만이 답을 가져오기 시작할 것이다.

우리는 앞서 이 측면에 대해 말했으며, 전문가라면 이렇게 말할 수 있다:

• 중성자별은 구대칭을 가질 수 없다. 블랙홀은 슈바르츠실트 계량이 아니라 케르(Kerr) 계량에서 비롯되며, 이는 다르다(다른 등거리 변환 군을 가짐).

  현재 미디와 나는 케르 계량을 사용하여 이 모든 것을 재작업하고 있으며, 이는 특별한 기술적 어려움을 제시하지 않는 것으로 보인다. 협곡 표면은 구형 대신 단순히 타원형이 된다.

  초공간 전달 모델에 대한 프로젝트로 돌아가자. '경질' 현상은 질명의 대부분을 쌍생 우주로 전달할 수 있다. '중력 장력'이 충분히 감소하면, 초공간 다리는 자동으로 닫힐 것이다. 이 현상은 아마도 극히 짧을 것이며, 몇 백분의 일 초 정도일 것이다. 잔여 질명은 우리 우주, 즉 '근처'에 남을 것이며, 거의 완전히 쌍생 우주로 전달된 물질(중성자별)에 의해 계속 밀려날 것이다. 우리 시공간 쪽에 남아 있는 잔여 물질은 가스 고리를 형성할 것이며, 마치 연기 고리처럼 보일 것이다. 근처에 에너지원(예를 들어 뜨거운 별)이 없다면, 이 고리는 복사를 통해 빠르게 냉각될 것이다. 물체가 도달할 수 있는 최소 온도는 그것이 잠겨 있는 우주 오븐의 온도, 즉 3K보다 낮을 수 없다. 이것이 핵심 관측량이다. 다음 그림은 이 현상의 2차원 표현이다.

이 모델이 타당하다면, 보이지 않는 물체 주위에 조직화된 것처럼 보이는 차갑거나 상대적으로 차가운 가스 고리를 발견해야 한다. 동역학적으로 이러한 물체들은 근본적으로 보이지 않는 반발 물체, 즉 쌍생 우주로 전달된 중성자별 주위를 공전한다. 최근 발견된 '프로플리드(proplyds)' 중 일부가 이러한 유형의 물체인가? 관측이 알려줄 것이다? 어려움은 이러한 물체들이 더 밝은 배경(예를 들어 오리온 성운에 나타나는 프로플리드)에 대비되어 보였기 때문에만 발견되었다는 사실에서 비롯된다. 그들은 상대적으로 가까운 별들의 복사에 의해 가열된다.

'좋은 토로이드 성운'은 어떤 복사원에서 멀리 떨어져 있을 것이며, 따라서 어두울 것이다. 하지만 배경 빛의 편광 현상이 탐지를 가능하게 할 수도 있다. 편광 지도화는 관측 천문학에서 중요한 분야이다. 그러나 이 현상은 쌍생 우주에서도 일어날 수 있으며, 그 경우 우리 쪽으로 물질을 보내며 마찬가지로 격렬할 것이다.

기하학적 물리학 A 논문들에서 우리는 항성 현상이 우리보다 더 뜨거운 쌍생 우주에서 일어나지 않을 것이라는 논리를 전개했다. 그런 경우, 쌍생 물질은 적외선으로 복사하며 거대한 타원형 원시별처럼 구조화된 큰 덩어리들로 집합할 것이지만, 냉각 시간은 우주의 나이를 초과할 것이다. 이 덩어리들은 결코 점화되지 않은 원시별처럼 기능할 것이다. 우리 물질을 밀어내며, 그들은 VLS, 즉 우리 물질의 매우 큰 구조들에 책임이 있을 것이다. 이 구조들은 불완전하며, 수억 광년 규모의 거대한 빈 거품들 주위에 배열되어 있으며, 쌍생 모델(수치 시뮬레이션)을 제외한 다른 설명으로는 그 존재가 꽤 설명하기 어렵다.

마지막 언급. 우리는 우리 쪽 우주에서 반물질을 발견하지 못한다. 또한 패리티 원리의 위반을 관찰하며, 일부는 두 현상이 연결되어 있다고 믿는다. 1967년 A. 사하로프는 패리티 원리의 위반이 쌍생 우주에서 반전될 수 있다고 제안했다. 만약 두 종 중 하나의 존속과 연결된다면, 거대한 덩어리들은 쌍생 반물질로 구성될 것이며, 이는 우리 쪽에 대해 PT-대칭이다(음의 질명을 가지며, 이는 시간 좌표가 반전된 우주에서 진화하기 때문이다).

마지막으로, 초공간 전달 현상의 2차원 기술(단순한 교육용 모델)을 시도한 일련의 그림들을 제시하며 끝맺는다. 사이트에 재수록된 논문들에서 우리는 (연결된 별 방정식 체계의 구조에서 도출됨) 두 우주의 스칼라 곡선이 두 인접한 영역에서 반전됨을 보여주었다:

R* = - R

우리 우주에 있는 질명의 기하학적 2차원 교육용 모델은 '뭉툭한 포시콘(blunt posicon)'이다. 따라서 쌍생 우주는 '뭉툭한 네가콘(blunt negacon)'의 모습을 가질 것이다('결합된 기하학들'). 빈 공간만 있는 쌍생 우주의 기하학은 따라서 '유도된 기하학(induced geometry)'이다.

두 우주에서 '결합된 기하학들'의 대략적인 교육용 이미지.

물질은 포시콘의 뭉툭한 부분(회색 음영 영역)에 있다. 임계성에 도달하면, 회색 음영 영역에 '원추점(곡률 밀도 무한대)'이 나타난다(압력의 무한대 증가에 해당). 원추점은 '곡률 밀도'가 무한대인 점이다.

그림들은 과정의 지속을 보여준다. 협곡은 다음 그림에서 생성된다.

다음 그림(쌍생 우주로의 물질 완전 전달을 나타낸다고 가정)은 '절반의 시간'을 나타낸다.

우리의 의견으로는 바로 이 순간에 슈바르츠실트 기하학이 참조된다. 협곡 원은 두 표면 모두에서 넘친다. 스칼라 곡선은 모든 곳에서 영(0)이다(이차 영 구성요소를 가진 해들의 이유). 간단한 언급: 측지선은 주름에 쉽게 새겨진다. 점착 테이프 롤로 시도해 보라.

다음 그림은 초토릭 점이 수축하기 직전, 쌍생 잎(gemellary leaf)에서 원추점을 따라 수축하는 순간을 보여준다.

분리 후 질명(회색 음영)은 쌍생 우주로 들어갔으며, 이는 우리 우주에서 '유도된 음의 곡률'을 생성한다.

1999년 9월. 계속 ...