여기서는 가독성을 높이기 위해 도형을 약간 '지방 제거'했습니다. 표면은 2차원 객체이며, 여기서는 유클리드 공간인 3차원 공간 R³에 '침입'되어 있습니다. 위쪽에서는 이를 '보는' 것이 가능합니다. 이 표면은 R³ 공간에 '등거리적으로' 잠길 수 있음이 밝혀졌습니다. 즉, 표면 위에 테이프를 붙이면, 그 테이프는 표면 상의 두 점 A와 B를 연결하는 곡선(지오데식)에 정확히 맞물립니다. 또한, 이 지오데식 곡선을 따라 측정한 길이도 정확합니다. '등거리'라는 말은 어원적으로 '같은 길이'를 의미합니다. 아래쪽에는 등거리적이지 않은 2차원 표현 공간이 있으며, 이 경우 A'B'의 곡선 길이는 AB의 길이와 일치하지 않습니다. 다음 물체를 종이, 연필, 가위를 이용해 만들어 보세요:
이 그림은 등거리적이지 않다. 첫째, 표시된 곡선은 명백히 평면의 지오데식이 아님. 둘째, AB의 곡선 길이는 '진짜 길이'가 아니며, '진짜 표면'에서 측정한 길이와 다릅니다. '구멍이 난' 이 종이는 단지 편리한 표현일 뿐입니다. 마찬가지로, 한 면에 그린 후 다른 면에 그려서 전체 곡선이 투명하게 나타나게 하는 기법도 마찬가지입니다.
다음 그림에서는 컴퓨터로 계산한 이 표면의 지오데식을 나타냈습니다.
곡선의 점선 부분은 표면의 '반대쪽'에 해당하는 부분(표면을 '위에서 본 것처럼')을 의미합니다.
이제 질문 하나: 이 지오데식에 대해 평면에서 등거리적인 표현을 만들 수 있을까? 답은 '예'입니다. 우리가 r 변수를 r 변수로 바꿀 수 있음을 이미 보았습니다. 따라서 지오데식은 '극좌표 (r, j)' 평면에서 완전히 표현될 수 있습니다. (여기서는 반경 방향이 아닌 지오데식을 예로 들었습니다.) 그 모양은 아래와 같습니다:
이 표현은 등거리적입니다. 표면 상에 있는 세 점 A, B, C가 같은 지오데식 위에 있다고 하면, 이들에 대응하는 점 A', B', C'는 이 표현 [r, j]에서의 동치점입니다. A와 B는 같은 반구 위에 있으며, 이들을 연결하는 지오데식 곡선은 목부의 원을 넘지 않습니다. 이 지오데식의 이미지(명백히 이 평면의 지오데식은 아님)를 따라 이 평면에서 측정한 A'B'의 길이는 표면에서 측정한 AB의 길이와 정확히 일치합니다.
BC의 곡선은 목부의 원을 넘습니다. 마찬가지로.
그러나 이 등거리성은 표면의 모든 지오데식에 적용되지 않습니다. 유일하게 존재하는 특별한 지오데식은 목부의 원이며, 여기서는 한 점으로 축소되었습니다. 이 표면에서 유일하게 스스로를 닫는 지오데식입니다.
지오데식은 평면적이지 않고 유클리드적이지 않은 표면이나 일반적인 공간을 이해하는 유일한 방법입니다. 이들은 신뢰할 수 있는 기준점(비록 2차원 또는 3차원 표현 체계를 통해 왜곡된 시각을 갖는다는 점은 있지만)입니다. 지오데식은 우리가 '존재'한다고 알고 있으며, 내재적 성질을 지닙니다. 예를 들어, 구면의 지오데식은 큰 원들입니다. 시공간의 경우, 무수한 시공간 지오데식이 존재합니다. 이 지오데식들은 내재적으로 존재하며, 이해한다는 것은 (어원적으로는 '감싸다, 품다') 마치 맹인이 되어 이 지오데식을 '만져보려' 하는 것입니다. 그러나 시간과 공간의 좌표선은 내재적 실체가 없으며, 경도와 위도의 두 집합도 구의 본질적인 구성 요소가 아닙니다. 그들은 '제공되지 않음'. 아인슈타인 장 방정식의 해인 슈바르츠실트의 기하학은 4차원 초표면입니다. 이 위에 이론가들은 '시간이 일정한' 곡선, '반지름이 일정한' 곡선 등 여러 집단의 곡선을 겹쳐 놓았습니다.
머릿속에 각인해 두세요. 이러한 선택은 완전히 임의적입니다. 그러나 이론 천문학 전문가들조차도 종종 이 점을 잊어버리며, 수학자-기하학자들이 자주 그들을 상기시켜야 합니다. 따라서 공간과 시간의 좌표를 바꾸는 것은 완전히 정당화된 행동입니다.
이 시점에서 여러분이 묻겠죠: 그렇다면 어떤 좌표 선택이 다른 것보다 더 나은가요? 어디서 합리적이고 비합리적인 기준이 생기는 것일까요? 이것은 취향의 문제입니다. 공간과 시간의 좌표를 선택하는 것은 수학적 객체에 물리적 시각을 덧씌우는 것입니다. 지구의 경우, 지구가 회전하므로 북극과 남극을 정했습니다. 북극은 지표면에서 법선이 북두칠성(하늘에서 고정된 별)을 향하는 점입니다.
등거리성과 비등거리성에 관해 지도 제작은 구를 평면에 표현하려는 시도에서 생기는 문제를 잘 보여줍니다. 메르카토르 투영(지구의 구를 적도에 접하는 원기둥에 투영)은 적도 근처에 사는 사람들에게 매우 편리합니다. 그러나 극지방에 사는 사람에게는 놀라움이 따릅니다: 그들의 영토는 점에서 선으로 변합니다...
구를 평면에 투영하는 방법은 36,000가지가 넘습니다. 다음을 상상해 보세요:
이 모델에 따라 지도를 제작하고 판매한다고 상상해 봅시다. 극지방 주민들에게는 즉각적인 성공을 거둘 것입니다. 이 지역에서는 투영이 거의 등거리적입니다. 이 지역의 거리에 대한 감각을 갖기에 매우 편리합니다. 만약 지구의 극지방이 주거 가능하고, 그 외 지역은 상대적으로 불가사의했다면, 지도는 아마도 이 방식으로 만들어졌을 것입니다. 이 경우, 평면 투영의 경계 원은 더 이상 적도가 아니라, 특정 위도선(여기서는 북반구에 해당)과 일치하게 됩니다. 이 지역 근처에서는 지도가 등거리성과 멀리 떨어져 있습니다. 게다가, 이 이상한 지도에서는 투영선을 넘은 지역은 실선으로, 나머지 부분은 점선으로 표현해야 하며, 그 이유는 그 지역이 이상하게 '접히는 것처럼' 보이기 때문입니다. 종이의 한쪽 면에 그려진 토지의 나머지 부분을 다른 면에 그려야 하므로, 디스크 형태의 지도를 제공해야 합니다.
이제 3차원적으로 '이 모든 것을 생각해보는' 시도를 해봅시다. 우리는 란투르루가 왼팔을 목부의 구에 넣는 모습을 표현했고, 두 그림을 분리해 놓아, 이 두 번째 3차원 공간이 '다른 곳'에 있을 수 있음을 암시했습니다. 더 정확히 말하자면, 왼팔이 들어가는 모습을 투영하여 오른손이 '점선'으로 나타나도록 겹쳐 표현해야 했습니다.
저는 시도해 보았지만, 그리 쉬운 일이 아니었습니다. 다른 색을 사용하는 것도 가능했습니다. 예를 들어, 비단순 연결된 3차원 공간의 한쪽 면에는 빨간색, 다른 쪽 면에는 초록색을 사용하는 것입니다. 빨간색 란투르루는 왼손을 목부의 구에 넣었을 때, 오른손이 초록색으로 나타나는 모습을 볼 수 있을 것입니다.
레이몽 데보가 수학에 관심이 없다는 점이 아쉬운데, 어쩌면...
물론 목부의 구 안에는 아무것도 없습니다. 내부나 부피를 갖는 것처럼 보이는 것은 단지 이 3차원 표현 공간을 선택했기 때문입니다. 마찬가지로, 종이에 구멍을 뚫은 부분 안에도 종이가 없었듯이, 이는 단지 평면 표현 공간을 선택한 결과로 생긴 사고의 오류입니다. 이 평면 표현을 사용하면서 종이에서 잘라낸 원판을 제거하지 않고, "안에 뭐가 있냐?"고 계속 묻는 사람은 '정신이 나간' 상태(또는 좀 더 정확히 말하면, '안에 있는')입니다. 그 '판'은 존재하지 않습니다.
다시 3차원으로 돌아갑시다. 란투르루가 왼팔을 목부의 구에 넣을 때, 그 구 안에도 아무것도 없습니다. 내부처럼 보이는 것은 단지 표현 공간을 선택했기 때문입니다. 란투르루와 그가 빠져나오는 손은, 3차원 종이 위에 그려졌으며, 그 종이에서 구(종이의 원판에 해당하는 3차원 형태)를 제거한 것으로 볼 수 있습니다. 수학적으로, 원판은 'b2 구'이고, '부피를 가진 구'는 'b3 구'입니다. '구'는 수축 가능한 셀(‘CD-Lanturlu’에 있는 ‘Topologicon’ 참조)을 의미합니다. 즉, 스스로를 점으로 수축할 수 있는 객체입니다. 이 2차원과 3차원 예시는 본문에서 취한 접근 방식을 설명하기 위한 것입니다. 슈바르츠실트의 구는 '내부'도, '중심'도 없습니다. 이를 넘어서면(초과 토리의 통과), 우리는 '다른 시공간의 면'에 도달합니다.
이 새로운 슈바르츠실트 기하학 해석의 근거는 무엇일까요?
답: 특이점의 제거입니다. 크루스칼은 그의 '해석적 연장'을 통해 이 불편한 구 안으로 반드시 들어가려 했습니다. 그러나 그는 특이점을 단지 이 구의 중심에 몰아넣는 데 그쳤습니다. 우리는 이 장난을 만족하게 여겼습니다. 그러나 우리는 특이점이 없는 것이 훨씬 낫다고 생각합니다.
자연은 우리가 잘못된 각도로 바라볼 때 특이점을 분비하며 항의합니다. 우리가 보는 방식입니다. 이것은 '현실'에 대한 사전적 입장입니다. 우리는 특이점이 자연에 존재하지 않는다고 믿습니다. 또한 무한이 존재하지 않는다고도 믿습니다. 그러나 키플링이 말했듯이, 이건 또 다른 이야기입니다. 저는 작년에 수라우와 이 문제에 대해 격렬한 논쟁을 벌였습니다.
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무한이 존재한다는 증거는 뭐지?
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무한이 없으면 수학이 없어지잖아!
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무한을 실제로 만난 적 있어? 손에 쥐어본 적 있어?
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그것은... 편리함일 뿐이야.
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우리는 무한히 큰 수를 얻기 위해, 어떤 수에 1을 계속 더할 수 있다고 가정합니다. 따라서 순차적 무한을 이용해 수학적 무한을 만들어냅니다. 당신의 논리는 자기 자신을 물어뜯는 것처럼 보여요.
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좋아, 편리함이라고 하자. 인간이 역사 속에서 두 가지 중요한 것을 발명했지: 무한과 화장실...
저는 무한히 작은 것도 물리적으로나 수학적으로 존재하지 않는다고 믿지 않습니다. 그러나 이 문제는 다른 논문의 주제가 될 것입니다. 지금은 이 문제를 잠시 뒤로 미뤄두기로 합시다. 단지 부가적인 이야기입니다.
참고로, P. Midy와 J.P. Petit의 '스케일 불변 우주론(Scale Invariant Cosmology)'을 보시기 바랍니다. International Journal of Modern Physics D, 1999년 6월, 271-280쪽. 여기서 우리는 '우주의 초기 특이점'을 제거했습니다. 이것은 제가 88-89년에 Modern Physics Letters A에 발표한 아이디어를 더 수학적으로 체계화한 것입니다(사이트에 있는 논문 참조).
제가 이 글을 쓰는 동안, 레코와 보랑의 도움을 받아 이 새로운 논문을 사이트에 포함시킬 수 있기를 바랍니다. 그러나 어쨌든, 논문이 사이트에 게재되어 있다 해도, 그곳에 들어가지 마세요. 아르키메데스가 과학 성전 입구에 새겨 놓았다는 말을 기억하세요: "기하학자가 아니면 들어오지 마라." 이곳은 텐서와 그 동반자들의 영역이며, Midy는 이곳에서 즐거움을 느끼지만, 영국의 파이를 먹는 것만큼이나 소화가 어렵습니다.
따라서 이 논의를 통해, 우리가 현상을 물리적으로 이해하는 방식이 우리가 그들을 어떻게 표현하기로 결정했는지에 따라 달라진다는 점을 알 수 있습니다. 공간 좌표를 바꿈으로써 우리는 '국소 위상학'을 바꾸었습니다. 이 단어는 수학적으로 더 명확히 정의되어야 한다고 소리아가 말했습니다. 사실, 이 문장은 부드러운 회피어입니다. 제가 이 단어를 말하자마자 그는 소리쳐 외쳤습니다. 그의 고양이 피움과 저는 그를 진정시키기 위해 애를 먹었습니다. 소리아는 수학의 투너솔입니다. 그는 수학적 분노를 극한까지 몰아붙이는 것을 즐깁니다. 그러나 이러한 분노는 단순한 화를 의미하는 것이 아닙니다. 저는 이 분야에서 '몬시외 줄레인'에 가까운 존재입니다. 물리학자들은 종종 자신이 수학을 하고 있다는 것을 모릅니다(그리고 반대로도 마찬가지입니다).
일시적으로 '명확히 정의되지 않은' 말을 사용한다고 가정해 봅시다. 지금까지 우리가 생각해 온 슈바르츠실트 기하학의 '국소 위상학'은 '초구면적'(즉, 슈바르츠실트의 구가 'b3 구'를 포함한다)이라고 여겨졌습니다. 우리는 이를 '초토리형'으로 바꾸었습니다. 이것이 제가 '초토리형 기하학'이라는 이름을 제안한 이유입니다.
앞서 언급한 공간의 반전은 군을 통해 다뤄집니다. 이걸 다른 방식으로 이해할 수 있을까요? 란투르루가 왼팔을 목부의 구에 넣었을 때, 그는 오른손이 나온 것을 보았습니다. 사실, 그 손의 각 원자는 표면에 수직인 방향으로 '반경 방향' 지오데식을 따라 움직였습니다.
참고로, 이 표현 방식이 등거리적이지 않다는 점을 잊지 마세요. 종이에 구멍을 뚫은 경우와 마찬가지입니다. 란투르루의 손에 속한 원자가 두 반공간을 지나는 길이를 측정하면, 실질적인 길이(실로 측정한 길이)와 일치하지 않습니다.
위에서 이미 제시한 그림을 다시 보겠습니다.
여기서는 목부의 원을 넘는 지오데식 곡선 AB와 그 평면 표현 공간에서의 이미지 A'B'를 나타냈습니다. 이 표현의 비등거리성은 더욱 명확해집니다. AB와 A'B'의 곡선 길이는 매우 다릅니다.
명백히, 초과 토리의 목부 구에 실을 끼우는 것은 매우 어렵습니다. 실을 당기면, 그 실은 가장 짧은 경로인 지오데식이 됩니다. 그러나 이 실을 3차원 표현 공간에서 측정하면(란투르루가 팔을 끼운 상태), A'B'의 길이는 더 짧게 나옵니다. 실제로는 3차원 초표면에서 측정한 길이는 더 길며, 위의 2차원 그림처럼 나타납니다. 따라서 란투르루가 등장하는 3차원 표현도 등거리적이지 않으며, 위의 평면 표현과 마찬가지입니다.
결국, 군 이론에서 비롯된 이 매우 미묘한 개념들은, 몇 가지 그림을 통해 '공간을 보는 능력'을 갖추면 덜 난해해집니다. 제가 여러분에게 가르치려는 것은 3차원 곡면 공간에서 보는 법입니다.
이제 2차원 또는 3차원에서 목부 구를 넘을 때 물체가 반전되는, 즉 반사되는 현상에 대해 다시 생각해 봅시다. 2차원에서 '반경 방향' 지오데식을 생각해 봅시다. 이 단어는 부적절해졌습니다. 반경은 원칙적으로 한 점에서 시작하는 직선이기 때문입니다. 사실은 j가 일정한 지오데식입니다. 위에서 이미 표시된 자세한 그림을 참고하세요. 그러나 간결함을 위해 우리는 여전히 '반경 방향'이라는 말을 따옴표 안에 넣어 사용할 것입니다. 이 단어도 표현 공간 선택의 결과라는 점을 주목하세요. R이라는 글자가(거울에 비친 이미지와 다름) 토리 통로를 따라, 잘못 붙여진 스티커처럼 움직이며, 각 점이 지오데식을 따라 움직인다고 상상해 보세요. 이 글자는 '반대쪽'에 도달합니다. 흥미로운 점은, 이 과정의 결과를 평면 투영, 즉 표현 공간에서 관찰하는 것입니다.
우리는 두 지오데식으로 이루어진 띠 모양을 나타냈습니다. 어떤 점을 관찰할 수 있을까요? 표현 공간에서 글자 R은 반전되어 러시아어의 'ия'처럼 보이며, 거꾸로 된 R, 즉 반사된 형태가 되었습니다. 이제 란투르루의 손이 3차원 표현 공간으로 나올 때 반전되어 보이는 이유를 이해할 수 있게 되었습니다. 그 손은 반사된 형태가 되었습니다.