하지만 좌표 선택 때문에 생긴 것이 아닌, 본질적으로 특이한 특이점을 지닌 곡면들도 존재한다. 다음의 예: 원뿔형 특이점.
1917년 슈바르츠실트가 좌표 t, r, q, j(시간, 반경 방향 거리, 그리고 방위각과 고도에 해당하는 두 각도, 즉 "구면" 좌표)로 공식화한 그대로의, 가공되지 않은 원형(그대로의 형태)에서 슈바르츠실트 구는 특이하다. "기하학적 중심"으로부터 측정된다고 여겨지는 "반경 좌표" r의 특정 값 Rs에서 이 계량은 최악의 문제를 일으킨다. 이 구에서 한 항의 분모가 0이 된다. 요컨대, 이 구에서 특이하다. 이것이 본질적 특이점인가, 아니면 잘못된 좌표 선택으로 초래된 인공물인가? 이것이 우리가 제기한 질문이다.
참고로, "슈바르츠실트 기하학"은 4차원 초곡면이며, 이는 문제를 더욱 다루기 어렵게 만든다.
크루스칼은 이 점에 집중했다. 그는 무엇보다도 반경 방향 궤적을 따라 광속을 일정한 값으로 제공하는 좌표 변환을 구성했다. 그렇게 함으로써 그는 특이한 측면을 "물체의 중심"에, 즉 "중심 특이점"에 집중시켰다. 심리적으로는 이득을 본 듯한 느낌이 든다. 해는 "거의 모든 곳에서 정칙"이 되는데, 이는 수학자들이 해가 정칙이고 병리가 없으며 단 한 점만 예외라고 말할 때 쓰는 표현이다.
- 단순한 점 하나 때문에 트집 잡고 시비를 걸지는 않겠지요.....
아쉽게도 크루스칼의 이 공식화에는 심각한 결함이 있다. 그것은 무한대에서 특수 상대성 이론의 공간을 되돌려주지 않는다. 기술적으로 말하면, 무한대에서 로렌츠적이지 않고, "점근적으로 로렌츠적"이지도 않다.
이것은 물리학에서 본질적인 질문이다. 특이점은 존재하는가? 자연은 특이점을 용인하는가? 답은 (덧붙여 말하자면 무한대의 존재 또는 부존재에 대해서도 마찬가지로) 믿음의 용어로 공식화된다.
우리는 모든 특이점을 제거하려고 시도하면서 이 동일한 슈바르츠실트 기하학에 대한 새로운 해석을 찾았고, 성공했다. 따라서 우리의 답은 다음과 같다:
- 슈바르츠실트 해의 특이한 성격은 단순히 잘못된 좌표 선택에 의해 유도된 것이다.
기술적으로 모든 것은 다음 변수 변환에 달려 있다:
r = Rs + Log ch r
이는 "r은 Rs 더하기 변수 r의 쌍곡선 코사인의 로그"로 읽는다. 과학자, 전문가 또는 단순한 수험생을 위한 간단한 부연이다. 이 공식을 다룰 줄 아는 사람에게는, r이 마이너스 무한대와 플러스 무한대에서 가능한 모든 값을 취하더라도 크기 r은 더 이상 Rs보다 작아질 수 없다.
다음과 같이 직선 주위로 포물선을 회전시켜 얻은 곡면을 생각해 보라:
이 그림은 논문에서 발췌한 것이다. 이 곡면은 사실 무한하며, z축 주위를 돌며 그것을 생성하는 자오선 포물선처럼 말이다. 굳이 (r,z,j) 좌표로 그것을 표상하려 한다면, "r < Rs일 때 이 곡면은 어떻게 되는가?"라고 물을 때 문제가 생길 것을 예상할 수 있다.
답은 .. 허수로, 음수량의 근과 함께 나올 것이다. 단순히 그때는 "곡면 밖"이기 때문이다.
이 곡면은 수학에서 "단순 연결이 아님"이라고 하는데, 이는 곡면 안에서 곡선을 미끄러뜨려 둘레가 0이 될 때까지 줄일 수 없는 곡면을 가리키는 야만적인 용어다.
구에서는 가능하며, 구는 "단순 연결"이다. 그러나 그 곡면에서는 "이 일종의 중심 우물 주위를 한 바퀴 도는" 모든 닫힌 곡선의 둘레가 0으로 수렴할 수 없음이 분명히 보이며, 극한은 "목 원"의 둘레이다. 토러스도 마찬가지이며, 토러스 역시 "단순 연결이 아니다".
우리는 그 계량으로부터 그러한 곡면을 정의했고, 이는 논지를 아주 잘 예시한다. r 좌표를 유지하면 이 곡면은 특이한 것처럼 보인다. 위에 주어진 변수 변환을 사용하면 더 이상 그렇지 않다. 이 r 좌표는 무엇에 해당하는가? 그것은 그림에 표시된 것처럼 단순히 자오선 포물선을 따라 "달리며", 목 원에서 값 0을 취한다. 곡면의 절반은 양의 r에, 다른 절반은 음의 r에 해당한다. 점 [r, j]의 기준계에서는 더 이상 특이점이 없다.
우리는 토러스와의 유추로 이러한 유형의 대상을 "토러스 다리"라고 부르기로 결정했다.
그러나 항상 계량으로부터 출발하여, "초토러스 다리"를 지닌 대상, 즉 3차원 초곡면으로 넘어갈 수 있음을 쉽게 보일 수 있다. 그때는 더 이상 목 원이 아니라 목 구가 있다. 위 곡면의 경우와 마찬가지로, 목 원이 두 개의 2차원 층을 연결하는 것처럼 보였듯이, 목 구는 두 개의 "3차원 반공간"을 연결한다. 이 3차원 반공간 중 하나에 있다가 목 구로 뛰어들면 다른 반공간으로 나오게 된다.
위에 보인 2차원 곡면으로 돌아가자. 다음 그림은 "동심원이라고 여겨지는 원들"을 그리면 그 둘레가 줄어들고, 최솟값을 지나, 다시 커지는 것을 보여준다.
3차원에서는 목 구를 완전히 둘러싸는 구를 상상해야 한다. 그런 다음 그 안쪽에(주어진 방향을 따라, 이 목 구를 향해 "너머"라고 말해야 할 것이다) 또 다른 구를 상상해야 한다. 이 구의 표면이 더 작을 수 있다고 상상한다. 그러나 목 구에 도달하면 넓이는 최솟값을 지나 다시 커지기 시작하여, 작업을 연장하면 무한대까지 이른다.
우리는 "토러스 통로"와 "초토러스 통로"를 지닌 이 2차원 및 3차원 곡면들의 "계량"을 구성했고, 두 번째 경우에는 슈바르츠실트 계량과의 유사성에 놀랐으며, 그래서 우리는 이 좌표 변환을 수행하여 그 "단순 연결이 아님" 성격을 드러냈고, 물체의 "내부"는 단순히 "그 목 구 너머"가 되었다.
이렇게 하여 모든 특이점을 제거하는 것이 가능했다.
이 단계에서 우리는 단순히 블랙홀 모델을 "블랙홀-화이트 파운틴"이라는 한 쌍으로 확장했다. 그러나 여전히 이 "외부 관측자"에게는 이 초토러스 다리의 통과 시간이 여전히 무한이었다. 우리는 단지 블랙홀 모델이 무엇으로 이어지는지 설명함으로써 그것을 개선한 것처럼 보였다.
우리는 기하학적 해에서 변수 선택이 전적으로 임의적이라고 말했다. 그러나 공간에 유효한 것은 시간에도 유효하다. 그래서 우리는 1924년 에딩턴이 고안한 시간 변수 변환을 찾아 나섰다:
여기서도 우리는 과학자나 단순한 수험생을 위해 언급한다.
t는 옛 "우주 시간", 1917년 슈바르츠실트의 초기 해에 있던 옛 "연대기 변수"다.
t'는 이 새로운 "에딩턴 시간"이다. Rs는 "슈바르츠실트 반지름(그렇다면 슈바르츠실트 둘레를 2p로 나눈 것이라고 말해야 할 것이다)이다.
c는 광속(여기서는 상수)이다.
이상하게 보일 수 있는 점: 시간과 공간을 섞지만, 이 문제에서는 모든 권리가 있다. 시간 좌표, 연대기 기준 좌표(time-marker)의 선택은 전적으로 임의적이다. 단지 다음을 요구할 뿐이다:
-
계량이 점근적으로 로렌츠적일 것, 즉 무한대에서 시공간이 민코프스키의 시공간, 특수 상대성 이론의 시공간이 될 것. 우리의 경우에는 (크루스칼에서는 아니다) 된다.
-
이 새로운 시간 t'가 항상 무한대에서 "정지해 있다고 가정된 관측자의 고유 시간"과 동일시될 것. 이것도 (크루스칼에서는 아니다) 그렇다.
그렇게 함으로써 무한대에서 정지해 있다가 슈바르츠실트 구를 향해 떨어지는 시험 입자의 자유 낙하 시간은, 멀리 있고 정지해 있는 "외부 관측자"가 겪는 시간에 비해 무한이 된다.
반면 입자는 이 "아벤"에서 무한한 시간에 나오게 될 것이다. 블랙홀에서처럼 따라서 이 일종의 3차원 아벤으로 들어갈 수는 있지만, 무한한 시간이 아니면 나올 수는 없다.
다른 쪽은 "되살아남"이다. 그러나 (t')의 그러한 시간 선택으로 입자는 이 되살아남에서 무한한 시간에 나오는 반면, 유한한 시간에는 들어갈 수 있다. 어딘가에서 막혔다. 해결책은 (완전히 해도 되는 일인) 일종의 이중 변수 변환을 수행하는 것이었다. 우리의 것이라고 가정되는 시공간 부분에 대해서는:
"쌍둥이 우주"에서는:
그러면 우주론적 메커니즘이 완벽하게 작동한다.
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특이점 없음.
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"아벤"으로 들어갈 수는 있지만 나올 수는 없다(블랙홀).
-
되살아남에서 나올 수는 있지만 들어갈 수는 없다(화이트 파운틴).
좋아요, 진전이 있다고 말하시겠지요....
그렇기도 하고 아니기도 하다. 이 초토러스 통로에서 물질의 통과 시간은 수십 밀리초 정도이며, 이 몰록은 무엇이든, 예를 들어 태양 질량 10개를, 총알이 카드 한 장을 통과하는 데 걸리는 시간보다 짧은 시간에 삼킬 수 있다.
결론은, 이 더 합리적인 기하학적 해의 재해석을 통해 블랙홀은 존재할 수 없을 것이라는 것이다. 그것들은 ... 수학적 허구다. 그것들은 이 "시간의 동결" 덕분에만 존재할 수 있었다. 그러나 물리학의 모든 요구를 충족하는 이 "에딩턴 시간"으로는 통과 시간이 유한해진다.
결론: 이 슈바르츠실트 기하학은 우리에 따르면 초공간 전이의 비정상 과정의 한 순간적 이미지에 불과할 것이다. 마치 누군가가 공중에 던진 모루의 사진을 보여주고 당신이 모루가 공중에 떠 있을 수 있다고 결론 내리는 것과 비슷하다. 슈바르츠실트 해는 또한 우주가 완전히 비어 있고, 물질 에너지 밀도가 모든 점에서 0이라는 것을 함축하는 방정식의 해이기도 하다. 그렇다면 마치 하프타임 휴식 동안 선수들이 쉬러 간 사이에 찍은 축구장 사진을 보여주고 당신이 축구는 .. 빈 경기장에서 하는 것이라고 결론 내리는 것과 비슷하다.
그러면 무슨 일이 일어날까?
우리는 목 구를 통과할 때 시간 좌표가 뒤집힌다는 것을 보였다. 우리의 "시공간 사면"에 해당하는 시간(에딩턴)을 t'라고 하고 쌍둥이 우주의 "시간 표지"를 t'*라고 하면, 다음과 같다:
t'* = - t'
안드레이 사하로프가 1967년 "빅뱅" 순간에 반대 시간을 가진 두 쌍둥이 우주가 생성되었다고 처음 제안했다는 점을 주목하자.
남은 것은 이 "시간 역전"의 의미가 무엇을 뜻하는지 아는 것이었다. 쌍둥이 우주로 뛰어들면 젊어지는 것인가? 우리는 그렇지 않다고 보였다. 사람은 "자신의 고유 시간을 가져가며", 대칭적 구조를 통해 조금 더 멀리 나온다 해도 이 쌍둥이 우주에 들어왔을 때보다 더 젊게 나오지는 않을 것이다. 바르자벨의 "부주의한 여행자" 주제처럼 "자신의 아버지를 죽이는" 것은 불가능하다.
군론은 또한 이 시간 좌표 역전의 "존재론적" 의미를 밝혀 주었다. 입자가 쌍둥이 우주로 뛰어들면 그 중력 작용은 항상 느껴지지만, 중력장에 대한 기여는 음수가 된다. 그 "중력 질량"이 뒤집힌다.
덧붙여, 이는 사이트와 저서 "우리는 우주의 절반을 잃었다"(Albin Michel)에서 전개된 모델을 완전히 정당화한다. 쌍둥이 우주를 돌아다니는 질량들은 우리 우주에 있는 질량들에 대해 반발하는 질량처럼 행동한다. 전체 역학은 다음과 같다:
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우리 우주에서 질량들은 뉴턴에 따라 서로 끌어당긴다.
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쌍둥이 우주에서 질량들은 뉴턴에 따라 서로 끌어당긴다.
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시공간의 두 "인접한" 부분에 위치한 질량들이 상호작용할 때, 그것들은 서로 밀어낸다.
이것은 이 시간 변수(고유 시간은 아님) 역전의 단순한 결과다.
군론은 또한 안드레이 사하로프가 추측했듯이 물질-반물질 이중성이 두 우주에 존재한다는 것을 보여준다.
물질 입자가 쌍둥이 우주로 넘어가는 데 성공하면(어떻게인지는 뒤에서 보게 될 것이다) 그것은 물질로 남지만 "CPT 대칭적"이다. 이것이 물리학의 유명한 "CPT 정리"(증명된 적은 없다. 수리오가 "물리학자의 정리"라고 부르는 것)의 의미다. 고전적으로 물리학자들은 "물질의 CPT 대칭체는 물질과 동일하다"고 말한다. CPT 대칭이란 다음을 뜻한다:
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입자는 이 새로운 기준계에서 "시간을 거슬러" 나아간다: T-대칭.
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그것은 반입자형이고, 좌우가 뒤집혀 "거울상"이다: P-대칭.
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그것의 모든 "전하"가 뒤집히며, 전하가 있다면 전하도 포함된다. 이것이 C-대칭이다.
우리에게 입자의 CPT 대칭체는 쌍둥이 우주의 입자(또는 쌍둥이 우주로 넘어간 입자)다. 그것은 쌍둥이 입자다. T-대칭이 있으므로 그 질량은 자동으로 뒤집힌다(1974년 J.M. 수리오가 처음 얻은 결과).
입자의 C-대칭체는 그 반입자다.
파인만은 입자의 PT-대칭체가 반입자처럼 행동한다는 것을 발견했다. 맞지만, 그것은 .. 음의 질량을 가진(T-대칭도 있으므로) 쌍둥이 우주의 반물질이다. 이 모든 것은 군론 이야기에서 나온다. 이 작업은 지금까지 (사이트의 Geometrical Physics B, "반물질의 기하화" 항목 참조) 출판된 모든 것과 연결된다. 이 공간 역전 문제를 말로 설명할 수 있다. 논문에서는 표상 공간 개념을 상당히 강조한다. 그것은 우리가 기하학적 대상을 정신적으로 표상하는 공간이다. 우리는 위에서 란튈뤼가 이 목 구에 손을 넣고, 그것이 다른 3차원 우주로 나오는 것처럼 보이는 그림을 사용했다. 그림의 편의를 위해 두 그림을 분리했다. 그러나 아마 처음에는 눈치채지 못했을 한 가지가 있다: 란튈뤼는 이 구에 왼손을 넣고, 나오는 것은 오른손이다. 이것은 우연이 아니었다.
이 두 번째 우주는 어디에 있는가?
그것은 우리 우주에 중첩되어 있으며, 이는 이해하기 어렵다. 그러나 2차원 곡면, "플랫랜드"로 돌아가면 더 간단해질 것이다.