여기서 우리는 그림을 조금 "기름을 뺐다". 더 읽기 쉽게 만들기 위해서다. 곡면은 2차원 대상으로, 여기서는 3차원 유클리드 공간, 달리 말해 R3에 "매립"되어 있다. 위에서 우리는 "그것을 볼" 수 있다. 그런데 이 곡면은 이 R3 공간에 "등장방식으로" 매립 가능하다. 즉, 그 위에 스카치 테이프를 붙이면, 그것은 실제로 곡면의 두 점 A와 B를 잇는 측지선 위에 놓인다. 게다가 이 측지선 호를 따라 측정한 길이도 올바르다. 그것은 등장방식이며, 어원적으로 "같은 길이"라는 뜻이다. 아래에는 2차원 표현 공간이 있는데, 이는 등장방식이 아닌 표현을 제공한다. 호 A'B'의 길이는 호 AB의 길이와 같지 않다. 다음 물체를 종이 한 장, 연필, 가위 한 쌍으로 만들어 보라:
이 그림은 등장방식이 아니다. 첫째, 표시된 곡선은 분명히 평면의 측지선이 아니다. 둘째, 호 AB의 길이는 "진짜 길이", 즉 "진짜 곡면"에서 측정했을 길이가 아니다. 그 곡면은 "구멍이 뚫려 있지" 않다. 이 구멍 뚫린 종이는 편의상의 표현일 뿐, 그 이상도 이하도 아니다. 마치 종이의 앞면에 한 번, 뒷면에 또 한 번 그려서 전체 곡선이 투명하게만 나타나게 하는 기법과 같다.
다음 그림에는 컴퓨터로 계산한 이 곡면의 측지선들이 그려져 있다(기사에 실려 있다).
곡선의 점선 부분은 "반대편"에 있는 가지들에 해당한다(마치 곡면을 "위에서" 바라보는 것처럼).
이제 질문 하나: 이 측지선들의 평면적이고 등장방식인 표현을 만들 수 있는가? 답은 그렇다. 우리는 변수 r을 변수 r로 바꿀 수 있음을 보았다. 그러면 측지선들은 "극좌표"(r, j) 평면에 완벽하게 그려질 수 있다. 측지선들(여기서는 비방사형 측지선 하나)은 다음과 같은 모양을 한다:
이 표현은 등장방식이다. 곡면에 속하고 같은 측지선 위에 있는 세 점 A, B, C를 생각하자. A', B', C'는 이 표현 [r, j]에서의 대응점들이다. 점 A와 B는 같은 반쪽 면 위에 있고, 그들을 잇는 측지선 호는 목 원을 넘지 않는다. 이 평면에서, 이 측지선의 상(분명히 이 평면의 측지선은 아니다)을 따라 측정한 호 A'B'의 길이는 곡면에서 측정한 호 AB의 길이와 같다.
호 BC는 목 구를 넘는다. 마찬가지다.
그러나 이 등장방식은 곡면의 모든 측지선에 적용되지는 않는다. 유일무이한 측지선이 하나 있다: 목 원이며, 여기서는 한 점으로 축소된다. 이것은 이 곡면에서 자기 자신으로 닫히는 유일한 측지선이다.
측지선은 곡면, 더 일반적으로는 비평면적이고 비유클리드적인 공간을 이해하는 우리의 유일한 방법이다. 그것들은 신뢰할 수 있는 기준이다(비록 우리가 2차원 또는 3차원(원근법적) 표현 체계를 통해 왜곡된 시각을 갖더라도). 이 측지선들은 "존재한다"는 것, 그것들이 내재적이라는 것을 우리는 안다. 구의 측지선은 예를 들어 대원이다. 시공간의 경우, 그것들은 무한한 시공간 측지선으로 채워져 있다. 이 측지선들은 내재적으로 존재하며, 이해하기(어원적으로: 감싸다, 팔로 붙잡다) 위해 우리는 장님처럼 이 측지선들을 "더듬으려" 한다. 그러나 시간과 공간의 좌표선들은 어떤 내재적 실재성도 없으며, 마찬가지로 자오선과 위선이라는 두 집합도 구의 통합적 부분이 아니다. 그것들은 "함께 딸려 오는" 것이 아니다. 아인슈타인 장방정식의 해인 슈바르츠실트 기하학은 4차원 초곡면이다. 그 위에 이론가들은 "t 일정", "r 일정" 등의 곡선족을 덧씌웠다.
이러한 행위들이 전적으로 자의적임을 명심하라. 그러나 이론 우주론 전문가들조차 종종 이 점을 의식하지 못하며, 수학자-기하학자들이 때때로 그들에게 상기시켜 주어야 한다. 따라서 공간과 시간의 좌표를 바꾸는 것은 전적으로 정당했다.
이쯤에서 당신은 말할 것이다: 그렇다면 어떤 좌표 선택이 다른 것보다 나은지를 무엇이 말해 주는가? 합리적인 것과 불합리한 것은 어디에 있는가? 그것은 취향의 문제다. 공간과 시간의 좌표를 선택한다는 것은 수학적 대상 위에 물리적 시각을 덧씌우는 것이다. 지구의 경우, 우리는 그것이 자전하기 때문에 극을 부여했다. 북극은 단순히 "지구" 곡면에서 법선이 북극성을 향하는 점이며, 북극성은 별의 돔에서 고정된 별이다.
등장방식과 비등장방식에 관해, 지도 제작은 구를 평면에 표현하려는 시도에서 비롯되는 문제들을 보여 준다. 메르카토르 도법(적도를 따라 접하는 원기둥에 지구 구를 투영하는 것)은 적도 근처에 사는 사람들에게 매우 쾌적하다. 반면 극지방 주민은 불쾌한 surprise를 맞는다: 자신의 영역, 점에 불과한 영역이 직선으로 변한다...
구를 평면에 투영하는 방법은 삼만 육천 가지가 있다. 다음을 상상해 보자:
우리가 이 모델로 지도를 만들어 판매한다고 상상해 보자. 두 극지방 주민들 사이에서 즉각적인 성공을 거둘 것이다: 이 투영은 그 지역에서 거의 등장방식이기 때문이다. 그 지역의 거리를 가늠하는 데 매우 편리하다. 만약 지구가 극지방에서 거주 가능하고 다른 곳은 상대적으로 척박했다면, 지도는 아마 이런 식으로 만들어졌을 것이다. 그러면 평면 투영의 경계 원이 더 이상 적도에 해당하지 않고 위선(여기서는 북반구에 속하는)에 해당한다는 점을 주목할 것이다. 그 지역 근처에서 지도는 등장방식과 매우 멀 것이다. 게다가 이 기묘한 지도에서는 영토의 일부가 실선으로, 다른 부분은 점선으로 그려져야 할 것인데, 그것이 그 위선 너머에 위치하여 대상이 이상하게도 "접히는" 것처럼 보이기 때문이다. 원반 모양의 지도를 제공하여 나머지 지형이 다른 면, 종이의 뒷면에 그려지지 않는 한.
"이 모든 것을 3차원으로 생각해" 보자. 우리는 Lanturlu가 왼팔을 목 구에 집어넣는 모습을 그렸고 두 그림을 분리했는데, 이는 이 두 번째 3차원 공간이 "다른 곳"에 있을 수 있다는 사실을 암시하는 듯하다. 더 정확하게 하려면 두 그림을 원근법으로 겹쳐 놓고 "점선으로" 나오는 (오른)손을 그려야 했을 것이다.
아주 쉽지는 않았지만 해 보았다. 서로 다른 두 색을 사용할 수도 있었을 것이다. 예를 들어 단순 연결이 아닌 우리 3차원 공간의 첫 번째 측면에 있는 것은 빨강, 다른 측면에 있는 것은 초록으로. 그러면 빨간 Lanturlu는 예를 들어 목 구에 집어넣은 빨간 왼손이 초록 "오른"손의 형태로 나오는 것을 보게 될 것이다.
Raymond Devos가 수학에 관심이 없어서 아쉽다. 그런데...
분명히 목 구 "안에는" 아무것도 없다. 이 내부, 체적 내용물의 겉모습은 이 3차원 표현 공간의 선택에 기인할 뿐이다. 마찬가지로 종이에 뚫린 구멍 안에도 종이가 없었다. 그것은 이 평면 표현 공간의 선택과 관련된 사고일 뿐이었다. 종이에서 잘라낸 원반을 제거하지 않고 이 평면 표현을 고집하며 "그 안에 무엇이 있나?"라고 계속 묻는 사람은 "헛다리를 짚는"(아니라... 안에 있는) 사람일 것이다. 그 원반은 "존재하지 않는다".
3차원으로 돌아가자. Lanturlu가 팔을 목 구에 집어넣을 때, 그 구 역시 내부가 없다. 이 내부의 겉모습은 이 표현 공간의 선택에 기인할 뿐이다. Lanturlu와 나오는 그의 손이 3차원을 가진 종이에 그려졌다고 생각할 수 있으며, 그 종이에서... 구를 제거했다고(종이 원반의 3차원 등가물) 생각할 수 있다. 수학적으로 원반은 "공 b2"이고 "구 부피"는 "공 b3"이다. "공"은 수축 가능한 세포(«CD-Lanturlu»의 Topologicon 참조)라고 부르는데, 즉 스스로를 따라가며 한 점으로 수축될 수 있는 대상이다. 이 2차원과 3차원 예시는 기사에서 따르는 접근 방식을 설명하기 위한 것이다: 슈바르츠실트 구는 "내부"도 "중심"도 없다. 그것을 통과하면(하이퍼토러스적 통과) "시공간의 다른 측면"에 있게 된다.
"슈바르츠실트 기하학"의 이 새로운 해석의 정당성은 무엇인가?
답: 특이점의 제거. 크루스칼은 "해석적 연장"으로 이 빌어먹을 구 "안으로" 어떤 수를 써서라도 들어가려 했다. 그는 특이점(원래 슈바르츠실트 구가 맡던 역할)을 "이 대상의 중심"에 있는 한 점으로 압축시키는 데 성공했을 뿐이다. 우리는 이 요술에 만족했다. 그러나 특이점이 없다면 그래도 더 낫다고 우리는 생각한다.
자연은 잘못된 각도에서 바라보면 특이점을 분비하며 항의한다. 그것이 우리가 사물을 보는 방식이다. "실재"에 대한 선험적 관점이다. 우리는 특이점이 자연에 존재하지 않는다고 생각한다. 무한도 역시 존재하지 않는다고 생각한다. 그러나 키플링이 말했듯이, 그것은 또 다른 이야기다. 나는 1년 전 이 문제로 수리오와 격렬한 논쟁을 벌였다.
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무한이 존재한다는 것을 무엇이 증명하는가? ....
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하지만 무한이 없으면 수학도 없다! ....
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무한, 너 이미 만난 적 있나? 본 적 있나, 손에 쥔 적 있나?
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그것은.... 편의품이다.
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우리는 수에 1을 무한히 더할 수 있다고 가정하여 무한히 큰 수를 생성한다. 따라서 순차적 무한을 사용하여 수적 무한을 생성한다. 그것은 꼬리를 무는 일이다, 네 방식은.
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좋다, 그것이 편의품이라고 하자. 인간은 역사 속에서 두 가지 중요한 것을 발명했다: 무한과 변소....
나는 극소도 물리적으로도 수학적으로도 존재하지 않는다고 믿는다. 그러나 그것은 다른 논문들의 주제가 될 것이다. 지금은 이 문제들을 옆으로 치워 두자. 단순한 여담이다.
덧붙여, P. Midy와 J.P. Petit의 "Scale Invariant Cosmology", International Journal of Modern Physics D, 1999년 6월, 271-280쪽을 보라. 거기서 우리는 "우주의 초기 특이점"을 사라지게 했다. 그것은 내가 88-89년 Modern Physics Letters A(사이트의 논문들)에 발표한 아이디어를 수학적으로 더 구성한 재진술이다.
당신이 이 글을 읽을 때쯤이면 우리가 Lecot나 Boland 씨의 도움으로 이 새 기사를 사이트에 포함할 시간이 있었기를 바란다. 그러나 어쨌든 이 작업이 거기 실려 있더라도 거기에 뛰어들지 마라. 내가 기억하기로 아르키메데스가 어떤 과학 성소 입구에 써 붙였다고 생각한다: "기하학자가 아닌 자는 여기 들어오지 말라". 텐서와 그 친구들, Midy가 즐기는 분야지만 영국식 푸딩처럼 소화하기 힘들다.
따라서 이 담론을 통해 우리가 현상에 대해 갖는 물리적 시각이 우리가 그것을 표현하기로 결정한 방식에서 비롯된다는 것을 알 수 있다. 우리는 공간 좌표를 변경함으로써 "국소 위상"을 바꾸었다. 수리오에 따르면 이 단어는 수학적으로 정밀화될 필요가 있다. 사실 이 문장은 완곡한 표현이다. 내가 이 단어를 발음했을 때 그는 그저 고함치기 시작했다. 그의 고양이 Pioum과 나는 그를 진정시키는 데 엄청난 어려움을 겪었다. 수리오는 수학계의 투르네솔이다. 그는 수학적 분노를 극한까지 즐겨 행사한다. 그러나 이러한 분노의 발작은 통속적 의미의 분노와 혼동해서는 안 된다. 이 분야에서 나는 오히려 "주르댕 씨"에 가깝다. 물리학자들은 종종 자신도 모르게 수학을 한다(그리고 반대도 마찬가지다).
잠정적으로 "정밀화되지 않은" 단어들의 사용을 인정하면, 모든 것은 지금까지 슈바르츠실트 기하학의 "국소 위상"이 "초구형"(슈바르츠실트 구가 "공 b3"을 "포함"한다)이라고 간주해 온 것처럼 진행된다. 우리는 그것을 "하이퍼토러스형"으로 만들었다. 그것이 내가 (검증되지 않은) "하이퍼토러스 기하학"이라는 명칭을 제안한 이유다.
위에서 공간의 반전을 언급했다. 그것은 군과 협상된다. 다른 방식으로 이해할 수 있는가? Lanturlu가 왼팔을 목 구에 집어넣으면 ... 오른손이 나오는 것을 보았다. 사실 그의 손의 각 원자는 곡면에 수직으로 향한 "방사형" 측지선을 따랐다.
덧붙여, 우리가 말하는 것을 잊었는데, 이 표현 방식은 등장방식이 아니다. 아까 구멍 뚫린 종이의 경우처럼. Lanturlu의 손에 속한 표지 원자가 두 반공간에서 이동한 길이를 측정하면, 끈으로 계산할 수 있는 진짜 길이와 일치하지 않을 것이다.
위에 주어진 그림을 다시 보자.
여기서 우리는 목 원을 넘는 측지선 호 AB와, 아래의 평면 표현 공간에서의 그 상을 그렸다. 비등장방식 표현의 성격이 더욱 분명하게 드러난다. 호 AB와 A'B'의 길이는 매우 다르다.
하이퍼토러스 통과의 목 구에 끈을 꿸 수 있다고 상상하기는 분명히 꽤 어렵다. 끈을 팽팽하게 당기면 측지선(최단 경로 선)이 얻어질 것이다. 게다가 3차원 표현 공간(Lanturlu가 팔을 꿰는)에서 이 끈의 길이를 측정하면, 그 공간에서 그 끈의 길이를 측정하겠다고 나서면 더 짧은 길이 A'B'를 얻게 될 것이다. 3차원 초곡면에서 측정한 진짜 길이는 위의 2차원 그림처럼 더 길 것이다. 따라서 Lanturlu가 있는 3차원 표현은 위 그림의 평면 표현처럼 비등장방식이다.
결국 군론에서 나온 이 미묘한 개념들은, "공간 속에서 보는" 조건 아래 몇몇 그림 덕분에 덜 난해해진다. 내가 당신에게 가르치려는 것은 3차원 굽은 공간 속에서 보는 것이다.
2차원이나 3차원에서 대상이 목 구조를 통과할 때 반전되는, 거울상성 문제로 돌아가자. 2차원에서 "방사형" 측지선들을 생각하자. 이 단어는 부적절해졌는데, 광선은 원칙적으로 한 점에서 출발하는 직선이기 때문이다. 사실 그것은 j가 일정한 측지선들이다. 위의 그림에서 이 방위각 좌표가 표시된 것을 보라. 그러나 간결성을 위해 우리는 따옴표를 사용하며 "방사형"이라는 단어를 계속 쓰겠다. 이 "방사형"이라는 단어 역시 표현 공간 선택의 잔재임을 주목하라. 문자 R(거울상, 즉 반전상과 동일하지 않은)이 잘 붙지 않은 데칼코마니처럼 우리의 토러스 통과를 따라 미끄러지며, 각 점이 측지선을 따라 이동한다고 상상하자. 이 문자는 "반대편"에 있게 될 것이다. 흥미로운 것은 표현 공간인 평면 투영에서 이 작업의 결과를 보는 것이다.
우리는 일종의 리본을 그렸는데, 그 가장자리는 두 측지선으로 이루어져 있다. 무엇을 확인하는가? 표현 공간에서 문자 R은 반전되어 러시아어 "ia", 거꾸로 된 R, 반전상이 되었다. 이제 Lanturlu의 손이 "우리 3차원 표현 공간"으로 나오면서 반전된 것처럼 보이고 반전상이 된 이유를 이해하기 시작한다.