의심스러운 블랙홀과 쌍둥이 우주

우주론 의심스러운 블랙홀

Jean-Pierre Petit 마르세이유 천문대, 프랑스
Pierre Midy CRI 오르세이, 프랑스
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요약

Schwarzschild 기하학을 물리적 해석으로 간주하는 '블랙홀 모델'에서 출발하여, 중성자별이 안정성 한계를 초과했을 때의 운명 문제를 다시 검토한다. 먼저 2차원 및 3차원 예시(2절)를 통해 새로운 기하학적 도구인 '초타원 기하학(hypertoric geometry)'을 제시한다. 우리가 보여주는 바에 따르면, 특정 좌표계에서 표현된 선형 요소로부터 생기는 메트릭의 병리적 특성은 '국소 위상'이라는 개념을 통해 더 적절한 좌표 선택으로 보완할 수 있다. 예를 들어, 주어진 두 예시인 2차원 평면과 3차원 초표면(등급군이 각각 O2와 O3)은 단순 연결되지 않음을 보여준다.

이 방법을 Schwarzschild 기하학에 확장한다. 비단 단순 연결되지 않은 시공간 초표면을 고려함으로써 특이점들을 완전히 제거할 수 있음을 보인다. Schwarzschild 기하학에 새로운 물리적 의미를 부여한다: 우리 우주와 동일한 우주를 연결하는 다리.

"시간 정지"가 블랙홀 모델의 핵심이지만, 이는 특정 시간 표식의 임의적 선택에서 비롯된 단순한 결과임을 보인다. Eddington(1924)의 연구에 영감을 얻어 다른 시간 표식을 사용하면, 방사형 프레임 드래깅(Keer 메트릭의 자장형 프레임 드래깅과 유사)을 포함하는 완전히 다른 시나리오를 도출할 수 있다. Schwarzschild 해가 '공간 다리'로 해석될 수 있음을 보여주며, 이는 두 우주, 두 시공간을 연결하는 일방 통행 다리 역할을 한다. 또한 시험 입자의 통과 시간이 유한하고 짧음을 보여주어, 고전적 블랙홀 모델의 문제점을 즉각적으로 드러낸다.

Schwarzschild 메트릭의 등급군을 확장함으로써 두 우주가 반대칭(반사 대칭 P)이며 시간 표식이 반대(t* = -t)임을 보인다. 군 이론 도구인 '군의 코어조인트 작용(coadjoint action)'을 이용해, 이 '시간 역전' 현상에 물리적 의미를 부여한다. 구체적으로, 구형 목표면(Schwarzschild 구면)을 통해, 양의 질량 입자가 공간 다리를 통과할 때 그 중력장에 대한 기여가 반대된다(m* = -m). J.M. Souriau(1974)가 지적했듯이, 시간 표식의 역전은 질량과 에너지의 역전과 동등하다.

불안정한 중성자별의 운명 문제는 여전히 미해결 과제이므로, 대안 모델을 제안한다: 공간 다리를 통해 일부 물질이 초공간적으로 이동하며, 이 물질은 상대론적 속도로 동일 우주로 흐른다.

한편, Kruskal 모델의 잘 알려진 결함들—특히 무한대에서 점근적으로 로렌츠 불변이 아니라는 점—을 다시 언급한다.

우리는 Schwarzschild 기하학을 10차원 공간에 매장된 초표면으로 간주할 것을 제안한다. 이전의 군 이론 기반 연구들과 연결하여 CPT 대칭 모델을 구축한다. 물질-반물질 이중성은 두 접합부 모두에서 보존된다. 물질이 동일 우주로 이동할 때 CPT 대칭을 겪으며 질량(중력장에 대한 기여)이 반대가 된다. 하지만 여전히 물질이다. 마찬가지로, 공간 다리로 흐르는 반물질은 여전히 반물질이며, 질량은 반대된다. Souriau의 연구에 따르면, 시간 표식의 역전은 질량의 역전을 의미한다.

1. 블랙홀 모델

중성자별은 2.5 태양질량 정도의 임계 질량을 초과할 수 없다. 더 큰 질량일 경우, 중력으로 인한 엄청난 내부 압력을 더 이상 견딜 수 없게 된다. 이에 따라 중력 붕괴가 발생한다. 오랫동안 이와 같은 물체의 운명을 설명하려는 시도가 있었다. Schwarzschild 메트릭을 아래와 같이 좌표로 표현하면서:

좌표계에서 Rs는 'Schwarzschild 반경'으로 알려진 값(1)이다.

이해하기 쉬운 Einstein 방정식의 해:

(2) S = 0

우측 항이 0이라는 점을 고려하여, 이 문제를 해결할 수 있을 것이라 상상했다. 실제로 t를 '외부 관측자의 우주적 시간'으로 선택하면, Schwarzschild 구면 r = Rs로부터 멀리 떨어진 지점에서 시작하는 시험 입자의 '방사형 기하선'을 따라 떨어지는 자유 낙하 시간은 무한대가 되지만, 고유 시간으로 표현된 이 자유 낙하 시간 Ds는 여전히 유한하다. 따라서 '물리적 설명'은 다음과 같다:

• 물체(안정성 한계를 초과한 중성자별)는 중력 붕괴를 겪는다. 질량은 시스템의 '기하학적 중심'으로 빠르게 떨어지며, 이 중심은 '중앙 특이점'으로 묘사된다. 이 현상은 고유 시간 s 기준으로 유한한 시간 Ds 동안 지속된다.

• 그러나 물체로부터 일정 거리에 있는 '외부 관측자'에게는 이 과정이 '시간이 정지된 것처럼' 보인다. 게다가 Schwarzschild 구면은 무한한 적색편이 표면이다(메트릭의 gtt 항이 r = Rs에서 0이기 때문이다).

이것이 구형 대칭 블랙홀 모델이다.

r은 '방사형 거리'로 해석되며, 이는 Schwarzschild 구면 내부에 무엇이 있는지 생각할 수 있음을 의미한다. 간단히 말해, '국소 위상'이 '구형'이라고 가정한다는 뜻이다: Schwarzschild 구면 내부에는 '작은 구가 존재한다'고 가정하며, 이를 중심까지 반복한다.

나중에 이 모델은 축대칭 기하학(Kerr 메트릭)으로 확장되었다. 그러나 이 확장은 개념적 변화를 가져오지 않는다. 따라서 이후의 논의에서는 구형 대칭 시스템에 집중할 것이다(이 연구는 나중에 Kerr 메트릭으로 확장될 수 있을 것으로 생각한다).

매우 밀도 높은 물체가 방정식(2)의 해로 설명될 수 있다는 점은 다소 이상하다. 이 방정식은 초기에는 물질-에너지가 없는 우주의 일부를 다루는 것으로 간주된다.

특정 좌표 선택을 유지하면 많은 어려움이 발생한다. 예를 들어, r이 Rs에 접근할수록 grr 항이 무한대에 접근한다.

이 특정 좌표계에서 메트릭의 서명은: r > Rs일 때 (+ - - -), r < Rs일 때 (- + - -)

시험 입자가 Schwarzschild 구면 내부로 진입하면 질량이 허수로 변하고 속도가 빛보다 빨라진다. 즉, 타키온이 된다.

서명의 변화를 고려할 때 일부 사람들은 말했다:

• 문제가 없다: Schwarzschild 구면 내부에서는 r이 단순히 시간이 되고 t는 방사형 거리가 된다.

프랑스의 천체물리학자 Jean Heidmann은 흔히 이렇게 말한다: "블랙홀을 생각할 때는 모든 건전한 사고를 버려야 한다."

한편, 블랙홀 후보는 매우 적다. 이 점이 가장 혼란스럽다. 실제로 초신성, 백색왜성, 중성자별은 관측되기 전에 예측되었다. 예를 들어, Fritz Zwicky는 1931년 Caltech에서 열린 유명한 강연에서 초신성 모델을 제시했지만, 누구도 이를 관측하지 못했다. 그러나 수년이 지나서 이 모델은 확인되었고, 지금은 수백 개의 이러한 물체를 알고 있다. 회전 중성자별(펄서로 알려짐)도 마찬가지다. 왜 블랙홀은 이렇게 적게 관측되는가?

어쨌든 천체물리학자들은 블랙홀이 존재한다고 믿는다. 관측 데이터가 매우 적기 때문이다. 그들은 은하 또는 은하단 중심에 위치한 '거대 블랙홀' 모델을 사용하여, 일부 미스터리한 동역학적 특성을 '설명'한다.

이후 우리는 안정성 한계를 초과한 중성자별에 대해 다른 운명을 제안하고자 한다. 먼저 새로운 기하학적 도구부터 소개하자.

2. 초타원 기하학

두 차원에서 리만 메트릭 g를 고려한다. 두 좌표 [r, θ]로 표현된 선형 요소는 다음과 같다:

(3)

여기서:

θ는 R 위에서 2π로 나눈 모듈러스로 정의된다.

Rs는 상수이다.

이 메트릭은 r이 무한대로 갈수록 점근적으로 유클리드 기하학에 수렴한다:

(4)

특정 좌표계에서는 서명이 다음과 같다: r > Rs일 때 (+, +), r < Rs일 때 (-, +)

행렬식은:

(5)

r = Rs에서 무한대가 된다. 이는 특정 좌표 선택 때문임을 보여주자. 다음 좌표 변환을 도입한다:

(6)

선형 요소는 다음과 같이 변한다:

(7)

관련 행렬식은:

(8)

모든 값에서 0이 되지 않으며, 이는 메트릭에서 선형 요소의 행렬식이 좌표계 선택에 따라 달라질 수 있음을 보여준다(Eddington, 1924, Schwarzschild 메트릭에 대해 참조[10]). θ가 0에 접근할 때(이는 r ≥ Rs에 해당), 이 행렬식은:

-무한대에서 +무한대로 변화하며, 이는 r ≥ Rs와 동일하다.

어떤 좌표계를 선택하든 메트릭 g는 두 차원의 표면을 묘사한다. 이 표면은 고유의 기하선 시스템을 가지며, 좌표에 대해 본질적으로 불변이다. 라그랑주 방정식을 통해 이 시스템을 연구하자. 다음 함수 F를 도입한다:

(9)

해당 라그랑주 방정식은 다음과 같다:

(10)

(11)

방정식 (11)은 다음과 같이 주어진다:

(12)

h는 양수, 음수 또는 0일 수 있다. 또한 식 (3)에서 양변을 ( \sqrt{1 - \frac{R_s}{r}} )로 나누면, 전통적으로 다음과 같은 식을 얻는다:

(13)

이로부터 평면 기하선을 묘사하는 미분 방정식을 도출할 수 있다:

(14)

조건 |h| ≤ r에 따라, 기하선의 접선과 방사형 벡터 사이 각의 코사인 절댓값은 1보다 작거나 같다.

이제 이 표면을 R3에 삽입하기 위해 추가적인 임베딩 좌표 z를 도입한다. 원통좌표계를 선택한다:

표면은 z축에 대해 축대칭이다.

기하선(θ = 상수)은 이 표면의 경선이며, 다음과 같다:

(15)

이로부터 R3에 삽입된 표면의 경선 곡선 방정식을 즉시 얻을 수 있다. 이는 포물선이다:

(16)

그림 1은 R3에 삽입된 이 표면의 3차원 시각화를 보여주며, 기하선과 극좌표계에서의 투영도 함께 나타낸다.

이 표면은 단순 연결되지 않다. 등급군 O2의 궤도 중 가장 작은 둘레를 가진 원이 존재한다: 목(목원) 원(p = 2Rs).

그림 1: R3에 삽입된 표면 및 좌표계 표현

그림 2에서는 이 표현 체계에서 여러 기하선을 보여준다.

그림 2: 일부 기하선의 표현
그림 3: 목원을 통과하는 특별한 기하선

기하선을 평면에 표현할 때, 이 표현은 등거리가 아님에 주목하자. 이 평면에서 길이를 측정하면 표면에서의 길이와 일치하지 않는다.

dS가 실수임을 요구하면, 우리가 '국소 위상'이라 부를 수 있는 구조를 결정함을 알 수 있다. 이러한 기하학적 구조를 '타원형 다리(toroidal bridge)'라고 부르자. 이 표면은 '국소 타원형 위상'을 가진다고 말할 수도 있다. 이 표면은 단 하나의 접합부를 가지며, 이는 두 개의 유한한 반접합부가 목원(둘레 2Rs)에 따라 둘레가 일치하도록 붙여진 것으로 볼 수 있다. 이 원들은 기하선이 아니다(목원 자체를 제외하고, 목원은 유일한 닫힌 기하선이다). 각 반접합부에서 '타원형 다리'로부터의 거리가 무한대로 갈수록 메트릭은 유클리드 메트릭(2)으로 수렴한다. 그림 2는 [r, θ] 표현에 해당하며, 목원을 통과하는 기하선의 상단 부분은 실선으로, 다른 반접합부에 해당하는 부분은 점선으로 표현되었다. 각 반접합부는 ( \theta \in [0, \pi] )와 ( \theta \in [\pi, 2\pi] )에 해당하며, 목원은 ( \theta = 0 )에 위치한다. 요약 다음 페이지

측정법 g 는 선택한 좌표계에 관계없이 두 차원의 표면, 즉 2차원 물체를 설명한다. 이 표면은 좌표에 대해 본질적으로 불변인 고유의 지오데식 체계를 갖는다. 라그랑주 방정식을 통해 좌표계에서 이 체계를 연구해보자. 다음 함수 F를 도입하자:

(9)

해당 라그랑주 방정식은 다음과 같다:

(10)

(11)

방정식 (11)은 다음을 준다:

(12)

여기서 h는 양수, 음수 또는 0일 수 있다. 또한 식 (3)에서 양변을 나누면, 전통적으로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다:

(13)

이로부터 평면 지오데식을 기술하는 미분 방정식을 도출할 수 있으며, 이는 좌표계 내에서 다음과 같다:

(14)

식 (12)에 따르면 |h| ≤ r 조건은 지오데식의 접선과 반지름 벡터 사이 각도의 코사인 절댓값이 1 이하임을 의미한다.

이제 표면을 R³에 삽입하기 위해 추가적인 임베딩 좌표 z를 도입하자. 원통 좌표계를 선택하자:

표면은 z축에 대해 축대칭이다.

( = 상수)인 지오데식은 이 표면의 자오선이 되며, 다음을 만족한다:

(15)

이는 즉시 R³에 임베딩된 이 표면의 자오선 곡선 방정식을 주며, 이는 포물선이다:

(16)

그림 1은 R³에 임베딩된 이 표면의 3차원 시각화를 보여주며, 지오데식과 극좌표계 평면 위의 그 지오데식의 투영도 함께 포함되어 있다.

이 표면은 단순 연결이 아니다. 등거리군 O₂의 궤도 중에는 최소 둘레를 갖는 원, 즉 목부(= 2 Rs)가 존재한다.

그림 1: R³에 임베딩된 표면 및 그 좌표계 내 표현

그림 2에서는 이 표현 체계에서 여러 지오데식이 보여진다.

그림 2: 일부 지오데식의 표현 그림 3: 목부를 통과하는 특별한 지오데식

지오데식을 평면에 표현하는 방식이 등거리가 아니라는 점에 주목하자. 이 평면에서 길이를 측정하면, 표면 위에서 측정한 길이와 일치하지 않는다.

만약 dS의 길이가 실수임을 요구한다면, 이는 우리가 '국소 위상구조'라 부를 수 있는 것을 결정함을 알 수 있다. 이러한 기하 구조를 '토로이드형 브리지'라고 부르자. 또한 이 표면은 '국소 토로이드 위상구조'를 갖는다고 말할 수도 있다. 이 표면은 단 하나의 접선을 가지며, 이는 두 개의 유한한 반접선으로 구성되며, 양쪽 반접선은 목부 원주(둘레 2 Rs)에 따라 둘레를 따라 붙여진 것으로 볼 수 있다. 이러한 원들은 지오데식 선이 아니다(단지 닫힌 지오데식인 목부 원만 제외). 각각의 반접선에서, '토로이드형 브리지'로부터의 거리가 무한대로 갈수록 측정법은 유클리드 측정법 (2)에 수렴한다. 그림 2는 [r, ] 표현에 해당하며, 목부 원을 통과하는 지오데식의 상단 부분은 실선으로, 다른 반접선에 해당하는 부분은 점선으로 표현되어 있다. 한 반접선은 ( )에 해당하고, 나머지 반접선은 ( )에 해당함을 주목하자. 목부 원은 = 0에 해당한다. 요약 다음 페이지