- [r, j] 표현에서의 곡선.
식(6)을 식(14)에 대입하고 dr = thr dr로 하면 다음과 같이 얻는다: (17)
이것은 곡선의 [r, j] 표현을 제공한다. r이 0에 가까워질 때, dj/dr은 유한한 값을 가지므로, 경사각의 탄젠트는 다음과 같다: (18)
원점에서 0으로 수렴한다. 이 표현에서 슈바르츠실트의 목 원형의 이미지는 원뿔 모양의 점이다. ** ** **
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그림 4: 그림 3에 표시된 곡선, (r, j) 좌표계에서.
목 원형의 교차점은 점 O에 해당함
이것은 곡선의 등장하는 표현이다. 주의 깊게 보면, 표면을 [z, r, j] 시스템으로 표현할 수도 있지만, 이는 더 이상 등장하는 표현이 아니다. 우리는 관련된 경도선을 얻는다: (19)
r이 0에 가까워질 때, z(r)는 선형이다. r이 무한대에 가까워질 때, 함수는 포물선에 수렴한다.
그림 5: 표면의 경도선, 표면의 비등장 표현 [r, j]에서. ****
이 표현에서 슈바르츠실트의 목 원형의 이미지는 원뿔 모양의 점이다. ** **
- **구대칭 3차원 초표면으로의 확장. **
이것은 3차원 초표면으로 확장할 수 있으며, 이는 선 요소로 표현된다: (20)
이 메트릭은 3차원 초표면을 나타내며, 여기서는 [r, q, j] 좌표계로 표현된다. 변수 r은 "반경 거리"가 아니며, "구좌표"와 대응한다. 이 새로운 선 요소에서 유사한 병리가 다시 나타나며, 이는 동일한 좌표 변화(6)를 도입함으로써 제거할 수 있다.
[ r, q, j ] ® [ r, q, j ]
이 선 요소는 다음과 같이 변한다: (21)
그의 서명은 ( +, +, + )가 되며, 행렬식은 다음과 같다: (22)
더 이상 0이 되지 않는다.
이 초표면의 곡선은 평면에 위치한다. q = p/2는 그 중 하나이다. 이들의 [r, j] 표현은 그림 2의 것과 일치한다. 등장 대칭군은 O3이며, 대응하는 궤도는 구이다. 이 중 하나는 최소 면적을 가지며, 이는 3차원 토로이드 다리의 목 구이다. 구 궤도의 큰 원은 곡선이 아니며, 목 구에 위치한 특별한 경우를 제외하면, 그 둘레는 2pRs이다. 이 특별한 구의 곡선은 유일하게 닫힌 곡선이다. 우리는 이 특별한 기하를 초토로이드 기하라고 부를 수 있다. 이 3차원 표면은 단순 연결이 아니다. 단일한 3차원 접히는 부분을 가지며, 이는 두 개의 경계가 있는 3차원 반접히는 부분이 구의 경계(목 구)에 접혀 있는 것으로 간주할 수 있다. 이 "초토로이드 다리"로부터 멀리 떨어진 곳에서는 메트릭이 유클리드 메트릭으로 수렴하며, 여기서는 구좌표로 표현된다: (23)
ds² = dr² + r² ( dq² + sin²q dj² )
- **슈바르츠실트 기하. **
전통적으로, 이 기하의 등장 대칭군은 SO3 × R이며, 여기서 R은 1차원 이동을 나타낸다. 따라서 이 메트릭은 시간에 무관하며 구대칭이며, R이 시간 이동을 나타낸다고 간주한다.
[ x°, r, q, j ] 좌표계에서, x°는 시간 표시자이며, 선 요소는 (24)이다
전통적으로, x° = ct로 표현되며, 이는 외부 관측자의 우주 시간 t를 정의한다고 간주된다. r >> Rs일 때, (21)은 민코프스키 메트릭으로 수렴한다. 전통적으로, r은 반경 좌표로 간주된다. (21)은 grr 항의 특이점과 r = Rs일 때 서명의 변화를 보여준다.
다시 한 번, 우리는 좌표 변화(6)를 사용하여 이 메트릭을 정규화할 수 있으며, [t, r, q, j] 시스템으로 전환한다. 그러면 선 요소는 다음과 같이 된다: (25)
등장 대칭군 O3의 궤도는 구이다. 이 중 하나인 목 구(슈바르츠실트 구)는 최소 면적을 가진다. 초표면은 단순 연결이 아니다. 단일한 시공간 접히는 부분을 형성하며, 이는 두 개의 4차원 반시공간 접히는 부분(쌍둥이 접히는 부분)으로 간주할 수 있다. 첫 번째는 r > 0에 해당하며, 두 번째는 r < 0에 해당한다. 따라서 목 구는 r = 0에 해당한다. 우리는 q = p/2 평면에서 위치한 곡선을 계산할 수 있다. "구좌표"에 따라:
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그림 6: 구좌표.
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요소는 dr² = r² ( dq² + sin²q dj² )이다.
j = 상수인 원은 구의 곡선이지만, 분명히 표면의 모든 곡선을 나타내지는 않는다. 오직 두 반대점(극점)을 지나는 곡선만이 그러하다.
q = 상수인 원은 곡선이 아니며, q = p/2(적도)에 해당하는 원만이 그러하다.
[r ≥ Rs, j] 좌표계에서 이러한 (길이가 0이 아닌) 곡선은 다음과 같다: (26)
상수 [l, h]의 선택은 곡선을 결정한다. 이 중에는 목 구 r = Rs와 교차하지 않는 하이퍼볼라형 곡선이 있다. 그림 7을 참조하라.
그림 7: 슈바르츠실트 기하.
목 구 r = Rs와 교차하지 않는 평면 하이퍼볼라형 곡선의 [r, j] 표현
우리는 또한 준타원형 곡선도 찾을 수 있다. 그림 8을 참조하라.
**그림 8: 슈바르츠실트 기하.
준타원형 곡선의 [r, j] 표현. **
이제 목 구 r = Rs와 교차하는 곡선을 살펴보자. [r, j] 표현에서, 곡선의 접선과 반경 벡터 사이의 각도를 a라고 하자. (27)
첫 번째 라그랑주 방정식은 다음과 같다: (28)
r ≥ Rs의 값에서는 매개변수 l이 엄격하게 양수이다. 다른 라그랑주 방정식은 다음과 같다: (29)
이것은 시간 자체에 대한 각도 j의 단조적인 변화를 제공한다. 이 (q = p/2) 평면에서, 회전은 h의 부호에 따라 달라진다.
이 새로운 슈바르츠실트 기하의 해석(비단순 연결 초표면으로 간주)에 따라, 우리는 그림 9에 표시된 대로 [r, j] 표현에서 곡선을 표현할 수 있다.
그림 9a: 목 구 **** (슈바르츠실트 구)와 교차하는 곡선의 [r, j] 표현, h ≥ Rs에 해당함
곡선의 일부는 점선으로 표시되었으며, 이는 두 번째 3차원 반접히는 부분에 속한다고 가정된다. 이는 첫 번째 반접히는 부분과 목 구(슈바르츠실트 구)를 따라 연결되어 있다. 이는 단절을 암시한다. 그러나 이 단절은 이 특별한 [r, j] 표현 시스템 때문이며, 이는 인간의 기하적 직관(제한된)에 더 익숙하다. 3차원 표현 공간에서는 그림 9b를 얻는다. 입자는 슈바르츠실트 구에 "반사"되는 것처럼 보인다.
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그림 9b: 3차원 유클리드 표현 공간에서 입자는 슈바르츠실트 구에 반사되는 것처럼 보인다.
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이 해석에 따르면, "슈바르츠실트 구 안에는 아무것도 없다", 왜냐하면 이 "안"에서는 단지 "초표면 밖에" 있을 뿐이다. 목 구, 슈바르츠실트 구는 r = 0 값에 해당한다. 첫 번째 반접히는 부분은 (r > 0)이고, 두 번째는 (r < 0)이다.
[r, j] 표현에서 곡선의 모습은 상당히 다르다. 곡선과 반경 벡터 사이의 각도 b의 탄젠트를 계산해보자(그림 6 참조). (30)
r이 ±0에 가까워질 때, thr ≈ r이므로, 다음과 같다: (31)
[r, j] 표현에서 한 반접히는 부분에서 다른 반접히는 부분으로 이동하는 곡선은 반경 벡터에 접한다. 원점에서 더 이상 각도의 불연속이 없으며, 이는 목 원형(r = 0)의 이미지이다. 이러한 곡선에 대한 완전한 설명을 얻기 위해서는 [t = x°/c, r, q, j] 좌표계에서 표현된 선 요소(24)로 돌아가야 하며, 라그랑주 방정식 시스템을 사용해야 한다. (32)
이 방정식 중 하나는 다음과 같다: (33)
h의 주어진 값에 대해 j의 변화는 시간 자체에 대해 단조적이다.
그림 10: 한 반접히는 부분(r > 0)에서 다른 반접히는 부분(r < 0)으로 이동하는 곡선의 [r, j] 표현. **
이전과 마찬가지로, 두 번째 3차원 반접히는 부분에 속하는 곡선의 일부는 점선으로 표시되었다.
우리는 4차원 초표면의 매립을 제공할 수 없으며, 이는 논문 초반에 2차원 표면을 위해 수행한 것과 같다. 또한, 우리는 4차원 곡선을 다루고 있으며, 3차원은 아니다. [r, q, j] 및 [r, q, j] 공간은 단지 표현 공간일 뿐이며, 이는 사물을 조금 더 명확하게 만들기 위해 가정된다. 실제 곡선은 4차원 공간에 포함되어 있다. 어쨌든, [r, q, j] 표현은 3차원 "초토로이드 다리"를 암시하며, [r, q, j] 표현은 3차원 "초원뿔"을 암시한다. 이 두 번째(3차원) 표현에서, 이 2차원 표면의 곡선은 (r = 0) 점을 지나며 한 반접히는 부분에서 다른 반접히는 부분으로 이동한다. 이는 2차원 원뿔과 유사하다. 그림 11을 참조하라.
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그림 11: 원뿔의 곡선. 오른쪽: 원뿔 모양의 점을 가지는 표면.
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