- 시간 마커의 선택.
[ t, r, q, j ] 좌표계에서, 선 요소 (25)에 해당하는 경우, 메트릭 텐서의 행렬식은 다음과 같습니다. (34)
r가 0이 되면 이 값이 0이 됩니다. 그러나 1924년에 Eddington [10]은 메트릭 텐서의 0이 되는 것이 좌표에 따라 달라진다는 것을 보여주었습니다. 먼저 초기 형태 (35)로 돌아가겠습니다.
좌표계의 선택은 순전히 임의적임을 강조해야 합니다. 메트릭 텐서는 텐서 방정식 (36)
S = 0
의 해이며, 좌표 변화에 대해 본질적으로 불변입니다. 우리는 입자가 지오데식을 따르도록 결정합니다. 임의로 선택된 좌표는 이 기하학적 해에 물리적 의미를 부여합니다. 우리는 x° = ct로 선택할 수 있으며, c는 상수입니다. 그러나 다른 참조계를 선택할 수도 있습니다. 선택은 우리에게 달려 있습니다. 선택된 시간 마커 x° 또는 t, x에 대한 유일한 조건은 메트릭이 점근적으로 유클리드적이어야 한다는 것입니다. (37)
또는: (38)
로 표현됩니다. 이는 직각 좌표계에서 표현됩니다. 리만 메트릭이 유클리드적이라는 것은, 선 요소의 이차형식의 계수가 상수인 좌표계를 찾을 수 있다는 것을 의미합니다. 부호의 집합은 서명을 구성합니다. 이 서명이 ( + - - - )인 경우, 이는 미클로우스 메트릭입니다. (39)
가 기본 거리로 식별되므로, 어떤 거리의 정의를 선택하든 "원거리"에서 메트릭이 점근적으로 유클리드적이어야 한다는 것은 합리적인 요구사항입니다 (예: 위에서 언급한 r 또는 r).
"우주 시간" 또는 "공간 마커"의 정의는 완전히 자유로운 선택입니다. 반대로, 우리는 고유 시간 s를, 또는 더 정확히 말해, 다양체의 두 주어진 점 사이의 시간 간격 Ds를 변경할 수 없습니다. 왜냐하면 이는 좌표와 무관하게 본질적으로 독립적이기 때문입니다. 또한, 입자가 주어진 지오데식을 따라 두 방향으로 이동할 수 있다고 가정합니다.
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그림 12: 주어진 지오데식을 따라 입자의 이동.
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테스트 입자가 지오데식을 따라 이동하는 것은 현상입니다. 다양체의 다른 지오데식은 "정지한 외부 관측자"에 해당한다고 가정됩니다. 그러나 정지 상태는 좌표 선택 (x°, x1, x2, x3)에 따라 달라지며, 이는 완전히 임의적입니다.
이 "외부 관측자"는 메트릭이 유클리드적이거나 거의 유클리드적인 영역에 위치한다고 가정됩니다. 즉, (37)의 형태를 가집니다. 그러면 정지 조건은 다음과 같습니다. (40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
이러한 정지 상태의 관측자에게, 모든 고유 시간 간격은 임의로 선택된 "우주 시간 간격"과 동일합니다. (41)
Ds = Dx°
...우주 시간의 선택이 순전히 임의적이기 때문에, 테스트 입자의 시간에 따른 진화는 이 선택에 따라 달라집니다. 주어진 지오데식 상의 두 점 A와 B를 고려해 보겠습니다. 이 지오데식은 외부 관측자에 해당한다고 가정합니다. 이 점들은 시공간 이벤트입니다. 그림 13에서 점선은 일정한 우주 시간 x°에 해당한다고 가정됩니다.
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그림 13: 정지한 외부 관측자, "테스트 입자의 지오데식을 따라 이동하는 것"을 고려합니다. 우주 시간 x°
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이제 우주 시간의 다른 선택 x를 고려해 보겠습니다. 그림 14를 참조하십시오.
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그림 14: 정지한 외부 관측자, "테스트 입자의 지오데식을 따라 이동하는 것"을 고려합니다. 우주 시간 x
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점선이 광자의 경로를 나타내지 않는다는 점을 명확히 해야 합니다. 광자는 특별한, 영 지오데식을 따라 이동하며, 이는 좌표 변화에 불변입니다.
우리가 여전히 Ds(O) = Dx° = Dx이지만, Ds'(TP)와 Ds"(TP)는 매우 다를 수 있습니다. 이는 동일한 지오데식을 기준으로 하되, (A',B')와 (A",B") 쌍이 다를 수 있기 때문입니다. 본질적으로, 이는 선택된 시간 좌표 또는 "시간 마커"에 따라 달라집니다.
- Eddington의 시간 좌표 변화와 그 확장 형태.
1924년에 Eddington이 도입한 이 시간 좌표 변화는 이 점을 보여주며, 다음과 같습니다. (42)
선 요소는 다음과 같이 됩니다. (43)
gxx 항이 r = Rs의 구면에서 0이 되므로, 이 구면은 무한 적색 이동 표면이 됩니다( Schwarzschild의 고전적 선 요소와 유사). 행렬은 다음과 같이 됩니다. (44)
그 행렬식은 다음과 같습니다. (45)
- r 4 sin2 q
이며, r의 값에 관계없이 0이 되지 않습니다. 나중에 설명할 이유로, 이 좌표 변화를 다음과 같이 확장합니다. (46)
(x, r, q, j) 좌표계에서 표현하면, 선 요소는 다음과 같이 됩니다. (47)
그 행렬식은 동일한 형태 (44)를 가집니다. Eddington의 좌표 변화는 d = -1에 해당한다는 점을 주의해야 합니다. 우리는 라그랑주 방정식을 이용하여 지오데식을 연구합니다. 이는 다음 함수에 기반합니다. (48)
여기서:
또한, 선 요소의 표현식을 통해, 물리적 입자(ds ≠ 0)에 대해 일반적으로 다음과 같습니다. (49)
라그랑주 방정식은 다음과 같습니다. (50)
평면 지오데식 q = p/2를 고려하면, 다음과 같습니다. (51)
시간 고유 s에 대해 지오데식의 j의 진화는 단조적입니다. 다른 라그랑주 방정식은 다음과 같습니다. (52)
즉, 다음과 같습니다. (53)
(49)과 결합하면, 놀랍게도 d가 사라집니다. (54)
dr = 0(속도가 0)일 때, r가 무한대로 갈 때, l = 1에 해당합니다. r가 무한대로 갈 때, (53)에 따르면 다음과 같습니다. (55)
l ≥ 1일 때, r가 무한대로 갈 때, 다음과 같습니다. (56)
여기서
를 얻습니다. (57)
[r, j] 기준에서, 비영 지오데식(ds ≠ 0)에 대해 우리는 고전적인 미분 표현식을 얻습니다. (58)
이는 그림 7, 8, 9의 패턴을 제공합니다. 이제 우리는 다음과 같이 새로운 우주 시간을 정의할 수 있습니다. (59)
x = ct
...선 요소 (43)는 여전히 점근적으로 유클리드적입니다. "원거리"에서, 정지한 관측자의 고유 시간 Ds는 간격 Dt와 동일합니다.
- 직선 경로에 대한 시간 간격.
우리는 질량이 있는 입자가 지오데식을 따라 이동하는 시간 간격 Dt = Dx/c를 다음 미분 방정식을 통해 계산할 수 있습니다. (60)
"직선 지오데식"(h = 0)에 대해: (61)
Schwarzschild 구체 근처에서는 다음과 같이 얻습니다. (62)
l = 1은 무한대에서 속도가 0에 수렴하는 테스트 입자를 의미합니다.
이 특별한 경우를 고려해 보겠습니다. (63)
(54)에 따르면:
n = -1은 (dr < 0) 경로에 해당합니다.
n = +1은 (dr > 0) 경로에 해당합니다.
...Eddington의 특별한 좌표 변화는 (r ≥ Rs)에서 d = +1에 해당합니다. 우리는 이 새로운 우주 시간에 대해 테스트 입자의 직선 경로 시간 Dt를 계산할 때, 이 시간이 이동 방향과 d의 부호, 즉 dn의 곱에 따라 달라진다는 것을 발견합니다. 이 값이 양수일 때, 직선 지오데식(r ≥ Rs)을 따라 테스트 입자의 이동 시간은 유한합니다. 이 값이 음수일 때, 이 이동 시간은 무한대가 됩니다.
...첫 번째 결과로, 구대칭 블랙홀 모델에 적용할 경우, Eddington의 좌표 변화는 유한한 자유 낙하 시간 Dt를 제공합니다. r = Rs일 때, 입자의 속도는 다음과 같습니다. (64)
테스트 입자가 Schwarzschild 구체로 떨어질 때, 속도는 c에 도달합니다.
- 광속.
광자는 영 지오데식을 따라 이동하며, 이는 다음과 같습니다. (65)
속도를 고려해 보겠습니다. (66)
(65)에 따르면, 다음과 같습니다. (67)
r가 무한대로 갈 때, vj는 ±c에 수렴합니다.
dr < 0일 때, n < 1입니다. 그러면, r = Rs에서 (dr < 0) 경로에 대해 다음과 같습니다. (68)
테스트 입자가 직선 경로를 따라 Schwarzschild 구체로 떨어질 때, 광속으로 도달합니다. 요약하자면: (69)
(70)
광속은 (dr > 0) 또는 (dr < 0) 경로에 따라 다릅니다.
- 프레임 트레인 효과.
Kerr 메트릭을 고려해 보겠습니다. (71)
여기서 r은 위에서 정의된 공간 좌표와 다른 공간 좌표입니다. 우리는 단지 참고문헌 [1]의 방정식 7.110을 재현할 뿐입니다. 원주운동( q = p/2, r = 상수)에 대한 광자의 속도(ds = 0)를 계산해 보겠습니다. 우리는 다음과 같은 두 가지 다른 값을 얻습니다. (72)
이것은 자전 효과를 나타내며, Kerr 메트릭의 특성입니다. 참고문헌 [1]의 7.7절 "Kerr 해와 회전"에 따르면, 다음과 같이 읽습니다:
Kerr 해의 회전성에서 비롯된 매우 흥미로운 물리적 효과가 있습니다. 지오데식을 따라 움직이는 물체는 매개변수 a에 비례하는 힘을 받으며, 이는 코리올리 힘과 유사합니다. 모호하게 말해, 회전하는 원천은 그 주변의 공간을 "트레인"합니다. 마친히, 원천은 무한대의 로렌츠 경계 조건에서 "대립"하여 지역적 관성 프레임을 설정합니다.
Eddington 좌표로 재표현하면, 블랙홀은 "프레임의 반경적 트레인"을 유도합니다.
- 블랙홀과 화이트홀.
4절에서 우리는 Schwarzschild 기하학의 새로운 해석을 제안했습니다. 그림 9에서 보는 Schwarzschild 구는 두 개의 "반공간-시공간 접점"을 연결하는 "목구멍"처럼 작용합니다. 우리는 다음과 같은 두 개의 Schwarzschild 기하학을 결합한 유사한 구조를 상상할 수 있습니다. (73)
(74)
이 두 가지는 (43)에서 유도되며, 첫 번째 식 (73)은 d = -1에 해당하고, 두 번째 식 (74)은 d = +1에 해당합니다. 연결에는 문제가 없으며, 이는 지오데식의 [r, j] 표현 계산에서 d가 나타나지 않기 때문입니다. 방정식 (58)을 참조하십시오. 우리는 중심 특이점이 없는 "블랙홀-화이트홀" 쌍을 얻습니다. 물질은 블랙홀에 들어갈 수 있지만, 나올 수 없습니다. 반대로, 물질은 화이트홀에서 나올 수 있지만, 들어갈 수 없습니다. 이동 시간은 한 방향에서는 유한하고, 다른 방향에서는 무한합니다. 새로운 우주 시간 x로 계산된 유한한 이동 시간은 고유 시간 s로 계산된 것과 유사합니다. 직선 경로에 대해: (75)
이 시간은 매우 짧습니다. 이 논문에서 보여주었듯이, 블랙홀 모델은 특히 우주 시간의 특별한 선택에 의존합니다. 6절에서 언급했듯이, 시간 마커의 선택은 순전히 임의적입니다. 전통적인 선택은 "준정상" 시스템을 제공하며, 블랙홀에 주입된 물질의 낙하가 외부 관측자에게 "시간에 고정"되어 보입니다. 그러나 이 논문은 Eddington의 아이디어에서 유도된 다른 시간 마커 선택이 "해동" 과정을 가능하게 한다는 것을 보여줍니다. 따라서, 고려하는 관점에서 블랙홀이나 블랙홀-화이트홀 쌍은 영구적인 물체로 존재할 수 없습니다. 왜냐하면 이들은 밀리초당 수십 개의 태양 질량을 삼킬 수 있기 때문입니다. 따라서 여전히 열린 질문이 있습니다:
- 중성자성별이 안정성 한계를 초과할 때는 무엇이 발생합니까?
- 표현 공간.
대안적인 모델 프로젝트를 제시하기 전에, 우리가 "표현 공간"이라고 부를 수 있는 것들에 대해 조금 말해보겠습니다. 논문 시작 부분에서, 우리는 선 요소로 정의된 2차원 표면을 연구했습니다. 이 표면을 R3에 매립할 수 있었으며, 이는 이 기하학적 물체의 등장적 표현을 제공했습니다. 또한, [r, j] 표현을 언급했습니다.
4차원 초표면의 명백한 표현은 불가능합니다. 왜냐하면 우리는 이를 그릴 수 없으며, 관련된 그림도 제공할 수 없기 때문입니다. 그러나 초표면은 다양한 좌표 선택에 해당하는 다양한 표현 공간에서 표현될 수 있습니다. 왜냐하면 이 물체는 기본적으로 좌표 선택에 무관하기 때문입니다. 예를 들어, (6)의 변화를 도입할 수 있습니다. 그러면 선 요소는 다음과 같이 됩니다. (76)
r > 0일 때
그리고: (77)
r < 0일 때.
"직선" 지오데식(예: q = p/2, dj = 0)은 이 표현 특별한 경우에서 시스템의 기하학적 중심 O로 수렴합니다. 이 점은 "초원뿔점"과 유사합니다. 3차원 공간에서 점에 대한 대칭은 P대칭입니다.
[t, r, q, j] 표현에서 Schwarzschild의 선 요소는 P대칭입니다. 또한, 시간에 무관(시간 이동 불변, 즉 정상 상태에 해당)하고, T대칭(시간 대칭)이며, 다음 변환에 불변입니다:
t → -t
에드딩턴 좌표계로 다시 표현하면, 블랙홀은 장의 원천으로 간주되어 반경 방향의 프레임 드래깅을 유도한다.
- 블랙홀과 화이트 파우더
4절에서 우리는 슈바르츠실트 기하학에 대한 새로운 해석을 제안했는데, 이는 그림 9에 보인 슈바르츠실트 구가 두 개의 "반-시공간 접힘"을 연결하는 구멍과 같은 역할을 한다는 것이다. 우리는 다음과 같은 두 가지 슈바르츠실트 기하학을 결합한 유사한 구조를 상상할 수 있다. (73)
(74)
이 두 가지는 (43)에서 유도된 것이며, 첫 번째 식 (73)은 d = -1에 해당하고, 두 번째 식 (74)은 d = +1에 해당한다. [r, j] 지오데식의 표현 계산에서 d가 나타나지 않기 때문에 연결에 문제가 없다. 식 (58)을 참조하라. 우리는 "블랙홀-화이트 파우더" 쌍을 얻는데, 이는 "중심 특이점"이 없다. 물질은 블랙홀에 들어갈 수 있지만, 나올 수는 없다. 반면, 물질은 화이트 파우더에서 나올 수 있지만, 들어갈 수는 없다. 이동 시간은 한 방향에서는 유한하고, 다른 방향에서는 무한하다. 새로운 우주 시간 x로 계산된 유한한 이동 시간은 고유 시간 s로 계산된 시간과 유사하다. 반경 방향 경로에 대해: (75)
이 시간은 매우 짧다. 이 논문에서 보여주었듯이, 블랙홀 모델은 특히 우주 시간의 특별한 선택에 기반하고 있다. 6절에서 지적했듯이, 시간 표지자 선택은 순전히 임의적이다. 고전적인 선택은 물질이 블랙홀에 흘러들어가는 과정이 외부 관측자에게 비해 "시간에 고정"되어 있는 준정상 상태 시스템을 제공한다. 그러나 본 논문은 에드딩턴의 아이디어에서 유도된 다른 시간 표지자 선택이 이 과정을 "해동"시킨다는 것을 보여준다. 이 관점에서 블랙홀이나 블랙홀-화이트 파우더 쌍은 영구적인 물체로 존재할 수 없으며, 이들은 밀리초당 수십 개의 태양 질량을 삼킬 수 있기 때문이다. 따라서 여전히 열린 질문이 남아 있다:
- 중성자성의 안정성 한계를 넘는 경우는 어떻게 될까?
- 표현 공간
모델의 대안적 프로젝트를 제시하기 전에, 우리가 "표현 공간"이라고 부를 수 있는 것에 대해 조금 설명하겠다. 논문 시작 부분에서 우리는 선 요소로 정의된 2차원 표면을 연구했다. 이 표면을 R3에 매립할 수 있었고, 이는 이 기하학적 물체의 등거리 표현을 제공했다. 동시에 우리는 [r, j] 표현에 대해 언급했다.
4차원 초표면의 명백한 표현은 불가능하다. 왜냐하면 우리는 그것을 그릴 수 없고, 그림을 보여줄 수 없기 때문이다. 하지만 초표면은 다양한 좌표 선택에 해당하는 많은 표현 공간에서 표현될 수 있다. 왜냐하면 이 물체는 기본적으로 좌표 변환에 불변적이기 때문이다. 예를 들어, (6)의 변화를 도입할 수 있다. 그러면 선 요소는 다음과 같이 된다: (76)
r > 0일 때
그리고: (77)
r < 0일 때.
"반경 방향" 지오데식(예: q = p/2, dj = 0)은 이 특별한 표현에서 시스템의 기하학적 중심 O로 수렴한다. 이 점은 "초구형 포인트"와 유사하다. 3차원 공간에서 점에 대한 대칭은 P대칭이다.
이 [t, r, q, j] 좌표계에서 슈바르츠실트의 선 요소는 P대칭이다. 또한 시간에 무관하다(시간 이동에 불변, 즉 정상 상태에 해당) 및 T대칭, 즉:
t → -t