- 등장군(group of isometries).
3차원 회전 행렬을 a라고 하자. 다음을 쓰자. (78)
SO3 × R의 원소는 다음 행렬로 표현될 수 있다. (79)
이는 두 행렬의 곱이다. 첫 번째 행렬은 (80)
SO3에 속한다.
두 번째 행렬은 (81)
는 시간 이동 그룹 R에 속한다. P와 T 대칭을 도입하자. 우리는 다음과 같은 4개의 구성 요소를 가진 군을 얻는다. (82)
이는 두 행렬의 곱이다. (83)
그리고:
(84)
이 두 번째 부분군을 E1(1차원 유클리드 군)이라고 부르자. [t, r, q, j] 표현에서 등장군은 O3 × E1이다. 이제 [t, r, q, j] 좌표계에서 선 요소의 표현으로 돌아가자. (85)
... 전통적으로, 관련된 등장군은 SO3 × R로 간주되며, 이는 가장 큰 것이 아니다. 사실은 O3 × E1이다. 왜냐하면 선 요소는 공간 및 시간의 역전에 대해 불변이기 때문이다.
이제 "확장된 에딩턴" 형태로 표현된 선 요소를 고려하자 (86)
이를 다음과 같이 쓸 수 있다. (87)
직교 공간 좌표 [x1, x2, x3]를 도입하자. (88)
(89)
(90)
이제 선 요소는 [x, x1, x2, x3] 좌표에 따라 표현될 수 있다. (91)
이제 이 특별한 좌표계에서 표현된 계량의 등장군을 찾자. 먼저 P 대칭이 있다. 선 요소는 다음과 같이 불변이다. (92)
x1 → -x1
x2 → -x2
x3 → -x3
또한 다음과 같은 변화에 대해 불변이다. (93)
x → -x
d → -d
시간 이동에 대해서도 불변이다. x = x + ε. 이는 다음과 같은 4개의 구성 요소 군을 나타낸다.
그 요소는 두 행렬의 곱이다. 첫 번째 요소는 (94)
O3에 해당하고, 두 번째 요소는 다음과 같은 두 번째 부분군을 형성한다. (95)
이 두 번째 부분군을 "TF"라고 부르자.
따라서 (86)의 등장군은:
O3 × TF
이제 [t = x/c, r, q, j] 좌표계에서 표현된 슈바르츠실트 계량을 고려하자. 우리는 식 (76)과 (77)을 다음과 같이 결합할 수 있다. (96)
d = -1이 r > 0의 반공간을 처리하고, d = +1이 r < 0의 반공간을 처리한다고 가정하면, "블랙홀"은 우리의 접속부에 있고, "화이트 파운틴"은 "쌍둥이 접속부"에 있다.
상황이 반대로 되면, 즉 "블랙홀"이 쌍둥이 접속부에 있고, "화이트 파운틴"이 우리의 접속부에 있다면, 우리는 다음과 같이 얻는다.
d = +1이 r > 0의 반공간을 처리하고,
d = -1이 r < 0의 반공간을 처리한다.
첫 번째 경우를 고려하자(즉, "블랙홀"은 우리의 우주에 있고, "화이트 파운틴"은 쌍둥이 접속부에 있다). 이 경우 계량은 다음과 같다. (97)
다음과 같은 변화를 수행하면 두 번째 계량을 얻는다. (98)
r = 0일 때 행렬식이 0이 되는 것은 공간(대칭성)과 시간 좌표의 지역적 역전을 의미한다. 실제로, 가우시안 좌표를 정의하기 위해서는 비영행렬식이 필요하다. 참고문헌 [1] 2.4
행렬식이 0이 아닌 경우, 선택된 시간 표시자에 대한 상수 값을 가진 초표면(x° 또는 x 또는 t = 상수)을 정의할 수 있다. 이는 x° 또는 x 또는 t 좌표선의 지오데식에 수직이다("안정적인 점"에 대한 "세계선").
그림 15: 참고문헌 [1]의 그림 2.1 이후
(97)과 (98)을 이전과 같이 직교 좌표계로 표현할 수 있고, (92)와 (93)을 다시 얻을 수 있다. (96)의 등장군은 다음과 같이 된다. (99)
두 반공간은 PT 대칭이다.
안드레이 사카로프가 1967년(참조 [26]에서 [30])에 제안한 바와 같이, 우주가 우리 우주와 쌍둥이 우주로 구성될 수 있다는 것을 처음으로 제안했다. 이 쌍둥이 우주는 "반대 시간"을 가진다. 이후 그는 쌍둥이 접속부가 대칭성을 가질 수 있다고 제안했다.
- 우주 시간 t의 역전의 물리적 의미.
이 시간 역전은 혼란스럽다. 이는 한 접속부에서 다른 접속부로 지오데식을 따라 시간 표시자 t가 역전된다는 것을 의미한다. 이는 "승객"이 이 하이퍼토릭 브리지를 통과할 때 그의 시계가 역전되는 것을 의미하는가?
이전에 우리는 "블랙홀-화이트 파운틴" 쌍이 존재할 수 있다고 말했다. 여기서 "블랙홀"은 쌍둥이 접속부에 있고, "화이트 파운틴"은 다른 곳에 있다. 이는 이 "시험 승객"이 첫 번째 하이퍼토릭 브리지에 빠져서 두 번째 브리지에서 나올 수 있음을 의미한다. 그는 자신의 출발 지점으로 돌아가서 "아버지를 죽일 수 있는가"?
**
그림 16: (도식적인) 모순된 여행.
**
답은 아니오이다. 그의 고유 시간의 기본 증분 ds의 부호는 그가 따르는 지오데식 동안 바뀌지 않는다. 그렇다면 t의 물리적 의미는 무엇인가? 아무것도 없다. 단지 좌표일 뿐이다. *
고유 시간만이 물리적 의미를 가진다. *
그렇다면 이 시간 좌표의 역전이 어떤 결과를 초래하는가?
우리는 그룹이 그의 운동량 공간에 대해 공액 작용을 연구해야 한다(참조 [11] 및 [12]). 그룹의 요소는 (100)
이것은 4차원의 2성분 그룹(m = ±1)이다.
역행렬은 (101)
리 대수의 요소를 계산하자. 다음과 같이 쓰자. (102)
da = w d e = e
이제 dg' = g⁻¹ × dg × g (103)을 계산하자.
(104)
공액 작용을 계산하기 위해(참조 [11] 참조), 스칼라를 도입하자. (105)
그것의 불변성은 (106)
즉, (107)
의식을 통해 그룹의 4성분 운동량에 대한 공액 작용을 얻는다. (108)
( l, m )
운동량 성분의 수는 그룹의 차원과 같다는 것을 기억하자. (109)
(110)
m' = m m
m을 질량(또는 에너지 E = mc², 구분 없이)로 식별할 수 있다. (110)은 입자가 "목구멍 구면"을 통과할 때 질량이 역전된다는 것을 의미한다(m' = -m). 이는 놀라운 일이 아니며, 이 "시간 좌표의 역전"에 매우 물리적인 의미를 부여한다. ... J.M. Souriau [12]에 따르면, 그룹의 (m = +1) 성분을 "동시성"이라고 부르고, (m = -1) 성분을 "역시성"이라고 부른다. 역시성 성분의 요소는 질량을 역전시킨다. 시간 대칭은 J.M. Souriau가 보여준 바와 같이 질량 대칭과 동일하다( [12] p.197, 시간 및 공간 역전 장).
- 후속 결합된 장 방정식.
우리는 단일 제2성분이 0인 장 방정식에서 시작했다. (111)
S = 0
이것은 완전한 방정식(아인슈타인 방정식)에서 나온 것으로 간주되었으며, (112)
S = c T
진공(T = 0)에 적용되었다. 우리는 전체 기하학이 두 개의 "공액 계량" g와 g로 설명될 수 있다고 가정할 수 있다. 이로부터 두 개의 아인슈타인 기하학적 텐서 S와 S를 만들 수 있다. 참고문헌 [13]에서 [15]까지 참조.
두 반공간이 진공이라면, 쌍( g, g*)은 시스템의 해가 된다. (113)
S = 0
(114)
S* = 0
(시스템 (113) 및 (114)의 정확한 정상 해는 참조문헌 [16]에 제시됨). 이제 우리는 첫 번째 공간-시간 접속부를 양의 질량(양의 에너지 및 압력)으로 채우고, 두 번째 접속부를 음의 질량(음의 에너지)으로 채우며, 장이 두 개의 텐서 장에 따라 작용한다고 가정한다. 다음의 형식을 통해: (115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T* - T )
이는 공액 기하학을 나타낸다. (117)
S* = - S
이것이 g* = - g를 의미하는 것은 결코 아니라는 점에 유의하자!
T와 T* 텐서는 질량 밀도 ρ와 ρ* 및 압력 p와 p*로 표현될 수 있다.
여기서 우리는 "같은 종류의 물질"임을 보여주기 위해 ρ, ρ*, p 및 p*가 모두 양수라고 가정한다. 마이너스 기호는 "쌍둥이 물질"이 음의 질량( 및 음의 에너지 및 압력)으로 작용한다는 것을 나타낸다. 이 장 방정식 시스템은 이전 논문에서 제시되고 연구되었다(참조 [13]에서 [15]까지).
- 프로젝트: 초공간 이전 모델.
참조된 논문에서 정상 상태 결합 해 [16] 및 비정상 상태 균일 해 ([14], [15] 및 [17])가 제시되었다. 우리는 시스템 (115) 및 (116)의 비정상 및 비균일 해를 구축하려 한다. 예를 들어, 물질이 우리의 공간-시간 접속부 F에 존재하고, 두 번째 접속부 F*는 공백인 초기 조건을 고려하자. 이에 해당하는 시스템은 다음과 같다. (118)
S = c T (119)
S* = - c T
...이 시스템의 정상 상태 해는 이전 논문 [16]에서 제시되었다. 이러한 조건에서 물질은 오직 접속부 F에만 존재한다. 이는 우리의 접속부에 중성자성 존재하는 경우에 해당하는 공액 기하학을 설명할 수 있다. 두 번째(쌍둥이) 접속부 F*의 인접 부분은 공백이다. 초기에는 두 접속부가 연결되어 있지 않다. 중성자성 외부에서 해는 다음과 같이 따른다. (120)
S = 0
(121)
S* = 0
...그 후, 중성자성에 물질이 쏟아져가며, 임계점에 도달한다. 전문가들은 중성자성 중심에서 압력이 급격히 증가하여 무한대에 도달하는 것이 임계점의 첫 번째 증상이라고 알고 있다(톨만-오펜하이머-볼코프(TOV) 모델, 참조 [1], 방정식 144.22). 우리는 이 증가가 물리 상수(빛의 속도, 중력 상수, 질량)의 지역적 값을 변화시킬 것이라고 생각한다. "변수 상수" 모델은 저자들에 의해 처음 제시되었다([18], [19], [20], 및 [14]). 이후 다른 저자들이 이 새로운 개념을 다소 다른 방식으로 발전시켰다[17].
...이것은 두 접속부를 연결하는 하이퍼토로이드 브리지의 탄생을 초래할 것이라고 생각한다. 그러면 물질은 이 통로를 통해 접속부 F에서 F*로 빠르게(상대속도로) 흐를 것이다. 위에서 언급했듯이, 이 현상은 질량을 역전시킨다. 14절, 방정식 (110)을 참조하라. 따라서 비정상 해는 시스템에 의존한다. (122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T* - T )
"과정의 중간"에서 T = T*. 그러면 해는 다음과 같이 따른다. (124)
S = 0
(125)
S* = 0
...우리는 이것이 슈바르츠실트 기하학의 진정한 의미라고 생각한다. 이는 비정상 과정에 속하는 프레임을 나타낸다.
...이 비정상 해는 단지 해의 프로젝트일 뿐이다. 아직 구축되지 않았다. 그것이 어떤 결과를 낼지, 전체 과정이 어떻게 보일지 우리는 모른다.
원본(영어)
- **Isometry groups. **
Call **a **a 3d rotation matrix. Write : (78)
The SO3 x R group's element can be figured by the matrix : (79)
which is the product of two matrixes. The first : (80)
belongs to SO3.
and the second : (81)
belongs to the R time-translation group. Introduce P and T symetries. We get a four components group, whose element is : (82)
It is the product of two matrixes : (83)
and :
(84)
Let us call this second sub group E1 (one-dimenional Euclid's group). In the [ t , r , q , j ] representation the isometry group is O3 x E1 Let us return to the expression of line-element in the [t , r ,q, j] coordinate system : (85)
...Classically, one considers that the associated isometry group is SO3 x R , which is not the largest one. It is O3 x E1, for the line-element is also invariant under space and time inversions.
Now, consider the line element expresed into the "extended Eddington" form (86)
that we write : (87)
Introducing cartesian space-coordinates [ x1, x2, x3] : (88)
(89)
(90)
Then the line element can be expressed in terms of [x ,x1,x2,x3] coordinates. (91)
Now we search the isometric group of the metric, as expressed is this peculiar coordinate system. We first have P-symmetry. The line element is invariant under : (92)
x1 ® - x1
x2 ® - x2
x3 ® - x3
It is also invariant through the change : (93)
x ® - x
d ® - d
And through time-translations : x = x + e. It corresponds to the following four components group :
Its element is the product of two matrixes. The first set (94)
corresponds to O3 and the second forms a second sub group whose element is : (95)
Call this second sub-group " TF ".
Then the isometry group of (86) is :
O3 x TF
Consider now the Schwarzschild's metric expressed in [t = x/c , r , q , j ] coordinate system. We can group the two expressions (76) and (77) into : (96)
Remember that d = -1 takes in charge the half space-time r > 0 while d = +1 takes in charge the second half space-time r < 0 , if we consider that the "black hole" is located in our fold, and the "white foutain" in the "twin fold".
If the situation is reversed, i.e. if the "black hole" is located in the twin fold, and the "white foutain" in ours, we get :
d = +1 takes in charge the half space-time r > 0
d = -1 takes in charge the half space-time r < 0
Consider the first case (the "black hole" is in ours universe and the "white foutain" is in the twin fold). There, the metric is : (97)
Changing :
r ® -r
t ® -t
d ® -d
we get the second metric : (98)
Notice that the nullity of the determinant when r = 0 would corresponds to the local inversion of space (enantiomorphy) and time-coordinate at the point ( r = 0 ). In effect we need a non-zero determinant to define gaussian coordinates. See reference [1] 2.4
If the determinant is non zero, it makes possible to define a series of hypersurfaces( x° or x, or t = constant) (corresponding to a constant value of the chosen chronological marker), orthogonal to the geodesic x° or x or t coordinate lines ("world-lines" for "steady points").
Fig.15 : After fig. 2.1 of reference [1]
We could express (97) and (98) in cartesian coordinates, as before, and refind (92) and (93). The isometry group of (96) becomes : (99)
The two half space-time folds are PT-symmetric.
Remeber Andrei Sakharov was the first, in 1967 (references [26] to [30]) to suggest that une Universe could be composed by two twin Universes, ours and a twin one, with "opposite times". Later he suggested that the twin fold could be enantiomorphic.
- **The phyical meaning of the inversion of cosmic time t. **
This time-inversion is puzzling. It means that the time marker t is inversed when one follows a geodesic, from or fold to the twin one. Does it means that the clock of a "passenger", passing through this hypertoric bridge would be reversed ?
Above, we said that a couple "black hole - white foutain" could exist, where the "black hole" would be located in the twin fold and the "white foutain" in the other. It would mean that this "test passenger" could dive into the first hypertoric bridge and rise out from the second one. Could he come back at his space starting point and "kill his father" ?
**
Fig.16 : A (schematic) paradoxical journey.
**
The answer is no, for the sign of the elementary increment ds of his proper time does not change, along the geodesic he follows. So, what is the physical meaning of t ? None. It is just a coordinate. *
Only proper time has a physical meaning. *
So, what is the consequence of the inversion of this time-coordinate ?
We must study the coadjoint action of the group on its space momentum (references [11] and [12]). The element of the group is (100)
This is a two components group ( m = ± 1 ), whose dimension is 4.
The inverse matrix is : (101)
Compute the Lie algebra element. Write : (102)
d** a **= **w ** d e = e
Let us compute : dg' = g-1 x dg x g (103)
(104)
In order to compute the coadjoint action (see ref. [11] ), introduce the scalar : (105)
whose invariance is ensured if : (106)
i.e. : (107)
The identification provides the coadjoint action of the group ont its four components momentum : (108)
( l , m )
Remember the number of momentum's components is equal to the group's dimension. (109)
(110)
m' = m m
We can identify m to the mass (or to the energy E = mc2, indifferently).(110) means that when a particle passes through the "throat sphere" its mass is inversed (m' = -m). This is not surprinzing and gives the very physical meaning of this "inversion of the time-coordinate". ... Following J.M.Souriau [12] we may call the (m = +1) component of the group the "orthochron ones", and (m = -1) the "antichron component". The elements of the antichron component reverse the mass. Time-symmetry is equivalent to m-symmetry, as shown by J.M.Souriau ( [12] p.197, chapter time and space inversions).
- **Subsequent coupled field equations. **
We started from a single zero second member field equation : (111)
S = 0
which was supposed to come from a complete (Einstein's) equation : (112)
S = c **T **
applying to vacuum (T=0). We may assume that the complete geometry may be described by two "conjugated metrics" g and g*, from which we can build two Einstein's geometric tensors S and S*. See references [13] to [15].
If the two half space-times are empty, the set ( **g *, g) is solution of the system : (113)
S = 0
(114)
S* = 0
(A steady exact solution of the system (113) and (114) is given in reference [16]). Now we can fill the first space time fold by positive mass (positive energy and pressure) corresponding to a tensor field T and the second one by negative mass (negative energy) and we assume that the field depends on boths tensor fields, through the following formalism : (115)
S = c ( **T *- T )
(116)
S* = c ( T*** **- T )
which corresponds to conjugated geometries : (117)
S* = - S
Notice that it definitively does not mean that g* = - g !
Tensors T ans T* can be figured with mass densities r and r* and pressures p and p*.
Here we consider that r, r*, p and p* are all positive, in order to show that "this is the same sort of matter". The minus sign indicates that the "twin matter" behaves like a negative mass (and negative energy and pressure) matter. This system of field equations has been presented and studied in previous papers (references [13] to [15]).
- **A project : the hyperspace transfer model. **
In referenced papers, steady state coupled solutions [16] and non-steady uniform solutions ([14], [15] and [17]) have been presented. We intend to build non-steady and non-uniform solutions of the system (115) plus (116). For example, consider initial conditions where matter is present in our space-time fold F, the second one, F*, being empty. The corresponding system would be : (118)
S = c T (119)
S* = - c T
...A steady state solution of such a system was presented in a previous paper [16]. In such conditions matter is only present in the fold F. It may describe the conjugated geometries corresponding to the presence of a neutron star in this fold, ours, the adjacent portion of the second (twin) one F* being empty. Initially, the two folds are not connected. The solution, outside the neutron star obeys : (120)
S = 0
(121)
S* = 0
...Then matter is poured into the neutron star, up to criticity. Specialists know that the first symptom of criticity if the suddent raise of the pressure up to infinite at the center of the (supposes spherically symmetric) neutron star, according to the Tolmann-Oppenheimer-Volkov (TOV) model (ref.[1], equation 144.22). We think that this rise acts on the local values of the constants of physics (light velocity, gravitational constant, mass). Models with "variable constants" were initially introduced by the authors ([18], [19], [20], and [14]). Later, others authors developped this new concept, in a somewhat different way [17].
...We think that this would cause the birth of an hypertoroidal bridge, linking the two folds. Then matter would (rapidly, at relativistic velocity) flow from fold F to fold F*, through this passage. As shown above, this phenomenon inverses the mass, see section 14, equation (110), so that the non-steady solution depends on the system : (122)
S = c ( **T *- T )
(123)
S* = c ( T*** **- T )
At "the middle of the process" T = T* . Then the solution obeys : (124)
S = 0
(125)
S* = 0
...We think it's the real meaning of the Schwarzschild's geometry. It would correspond to a frame which belongs to a non-steady process.
...This non-steady solution is only a project of solution. It is not built yet. We don't know what would come from, how the complete process would look like.