R3에서 표면의 결합 불가능성

적층 및 지오데식에 대한 더 많은 정보.

모든 표면이 R³에 적층될 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어, 다음의 계량(134)을 고려해 보겠습니다.

여기서 Rs > 0 및 r > 0

는 R modulo 2 에서 정의됩니다.

이러한 [ r , ] 특수 좌표계를 사용하여 표현하면, 이 선 요소는 거의 모든 곳에서 정칙적이며(점 r = 0을 제외하고) 다른 곳에서는 문제가 없습니다. 이 표면의 등거리군은 O₂입니다. 군의 궤도는 r = 상수인 원입니다. 이 표면이 R³에 적층될 수 있다고 상상할 수 있으며, 이 경우 z축 주위로 축대칭이 될 것입니다.

( = 상수 ) 지오데식이 존재합니다. 이들은 표면의 "경도선"일 것으로 생각할 수 있으며, 이러한 경도선의 방정식 z ( )는 논문 시작 부분에서 한 것처럼 구성할 수 있습니다. ( = 상수 ) 지오데식을 따라: (135)

이 표면이 R³에 적층될 수 있다면, 이 지오데식을 따라: (136)

이를 통해: (137)

결론: 이 표면은 R³에 적층될 수 없습니다.

이 계량(135)은 반발 작용을 연상시킵니다.

모든 표면이 그 계량에 의해 정의될 수 있는 것은 아닙니다. 어쨌든, 이러한 표면은 우리가 손으로 잡을 수 없지만 "존재"합니다. 다음의 3차원 초표면을 고려해 보겠습니다. (138)

여기서 Rs > 0 및 r > 0

는 R modulo 2 에서 정의됩니다.

이러한 초표면을 적층할 수는 없습니다. 하지만 존재하며, "평면 지오데식" ( = /2)을 가집니다.

이러한 2차원 및 3차원 초표면의 지오데식 시스템을 계산할 수 있습니다. 우리는 (r,) 평면에서 그들을 표현할 수 있습니다. 이들은 실제입니다. (139)

그들의 그림은 그 선 요소(134)에 의해 정의된 이전 두 표면과 동일합니다. 이 두 기하학적 물체는 단순히 연결됩니다.

도 25: 선 요소 (134) 및 (138)에 해당하는 지오데식

(주의: 이는 반발 작용과 유사합니다.)

어떤 것이 이상합니다. 선 요소가 주어지면 지오데식 시스템을 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 슈바르츠실트 기하학의 전통적인 표현에 해당하는 것은: (140)

이 미분 방정식에 해당하는 곡선 r ()을 계산할 수 있습니다. 이들은 실제이며, r < Rs 값에도 해당합니다!

도 26: 슈바르츠실트 선 요소에 해당하는 완전한 지오데식선.
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이 이상한 결과를 관찰한 물리학자들이 당황한 이유를 이해할 수 있습니다. 그러나 수학적 사실은 다음과 같습니다: 선 요소는 실제 지오데식 시스템을 생성할 수 있으며, 일부 부분은 허수 길이 요소 ds에 해당합니다.

물리학에서는 어떻게 될까요? 우리는 ds를 고유 시간 증분으로 식별합니다. 위에서 우리는 허수 ds가 물리적 경로와 일치하지 않는다고 결정했으며, 이는 초표면의 "국소적 위상"을 재검토하도록 강요했습니다. "국소적 구형 위상"을 "국소적 초토이oidal 위상"으로 변경했습니다.

이전 연구에서는 "국소적 구형 위상" 가설을 유지했기 때문에, 슈바르츠실트 구의 "내부"에 대한 물리적 해석이 문제가 되었습니다. 참고문헌 [1]의 6.8절에서 다음과 같이 읽을 수 있습니다:

(슈바르츠실트 구 내부) r을 시간 표지자로, t를 반경 표지자로 재해석하는 것이 자연스러울 것입니다 (...) ... 이로 인해 ds² < 0이 이 세계선을 따라 성립하게 됩니다.

크루스칼의 해석적 확장.

전통적인 [x° , r , , ] 좌표계에서 빛의 반경 속도는: (141)

따라서 r가 Rs에 가까워질수록 이 속도는 0에 수렴합니다. 크루스칼의 논리는 다음과 같습니다(참조 [1], 6.8절).

*슈바르츠실트 좌표의 불필요한 특성은 다음과 같이 제거할 수 있습니다. r과 t에 대한 새로운 변수 u와 v로의 변환을 찾습니다. 이 경우 선 요소는 다음과 같은 형태를 가집니다: (6.187)
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...* 우리는 슈바르츠실트 반경 내부에 적절한 변환에 도달합니다: (6.204) *

그리고, 이 구의 외부에서는: (6.201) *

기본적인 조건은 f가 슈바르츠실트 구 r = Rs에서 정칙적이어야 한다는 것입니다. 여전히 [1]에서:

따라서 u는 글로벌 반경 표지자로, v는 글로벌 시간 표지자로 작용합니다.

또한, (6.187)에서, 광선 지오데식(ds = 0)은 "빛의 속도가 일정"하게 됩니다: (142)

(6.201)에서, r가 무한대에 접근할 때 f가 0으로 수렴한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 아들러, 쉐퍼, 바진은 [1]에서 다음과 같이 말합니다:

그러나 이는 슈바르츠실트 좌표가 무한대에서 평평한 공간의 구형 좌표와 동일하지 않습니다.
크루스칼 계량은 이 영역에서 에인슈타인 방정식의 비특이해이며, 슈바르츠실트 해와 동등하지만 경계(슈바르츠실트 구)에서 특이점이 없습니다. 이는 다양체의 해석적 확장입니다.

크루스칼은 이 경계에서의 문제에 집중합니다. 이 경계는 비특이적이며, 특이점은 f가 무한대로 향하는 "기하학적 중심"에 집중됩니다. 여전히 참고문헌 [1]을 사용하여 내부 광자 경로에 대한 문장을 재생합니다:

u, v로 표현하면 경로는 간단합니다. r과 t로 표현하면, 이 경로는 r > Rs 및 유한한 *x°*에서 시작하여 *x°*가 무한대로 향하면서 r = Rs로 내려가고, x° = 무한대를 통과하여 슈바르츠실트 구 내부로 이동합니다. 이후 r은 경로를 따라 계속 감소하지만, *x°*는 감소합니다. ... *현재의 처리는 슈바르츠실트 구 내부에서 *x°가 시간 표지자로 적절하지 않다는 것을 명확히 합니다.

"모든 것이 완벽하지 않다"는 것을 알 수 있습니다. 크루스칼은 특별한 좌표 선택을 통해 슈바르츠실트 구를 통과할 수 있으며, 기하학적 해의 특이 특성을 "중심 특이점"으로 제한합니다. 그러나 무한대에서 계량은 더 이상 로렌츠가 되지 않습니다.

이것은 좌표 선택이 해석을 어떻게 바꾸는지를 보여줍니다. 우리의 경우 "국소적 위상"(초토이oidal 다리)에 변화를 주지만, 모든 특이점을 제거합니다.

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위너-그라우스틴 정리에 따르면, n > 2인 n차원 표면은 최소 차원이 (143)

인 공간에 적층될 수 있습니다. 4차원 초표면의 경우, 이는 10차원 공간에 해당합니다. 우리는 슈바르츠실트 기하학의 지오데식이 평면에 존재함을 알고 있습니다. = p/2는 그 중 하나입니다. 따라서 ( = p/2) 지오데식의 일부집합에 집중할 수 있습니다. 이 지오데식은 두 매개변수 l과 h에 의존합니다. 우리는 (l = 1) 지오데식이 무한대에서 속도가 0인 입자에 해당함을 알고 있습니다. 또한 ( = 상수) 지오데식의 부분집합을 선택합니다. 그러면: (144)