우주론
의문스러운
블랙홀.
장피에르 프티
마르세유 천문대, 프랑스
피에르 미디
CRI 오르세, 프랑스
연락처: 
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초록
슈바르츠실트 기하학에 대한 물리적 해석으로 간주되는 소위 블랙홀 모델로부터 출발하여, 중성자별이 안정성 한계를 넘어설 때 그 운명에 관한 문제를 재고한다. 먼저 2차원 및 3차원 예시(2절)를 통해 새로운 기하학적 도구인 과환상 기하학(hypertoric geometry)을 제시한다. 주어진 좌표계에서 표현된 선소로부터 비롯되는 계량에 연관된 병리적 특성들이 "국소 위상"이라는 용어로 표현되는 보다 적합한 선택을 통해 치유될 수 있음을 보인다. 예를 들어, 주어진 두 예시에서 등장사상군이 O2 및 O3인 2차원 곡면과 3차원 초곡면이 단순 연결이 아님을 보인다.
이 방법을 슈바르츠실트 기하학으로 확장한다. 단순 연결이 아닌 시공간 초곡면을 고려함으로써 특이적 특징들이 완전히 제거될 수 있음을 보인다. 슈바르츠실트 기하학에 다른 물리적 의미를 부여한다: 우리 우주와 쌍둥이 우주를 연결하는 다리.
블랙홀 모델의 초석인 "시간의 동결"이 임의의 특정 시간 표지 선택의 단순한 결과임을 보인다. 에딩턴의 연구(1924)에서 영감을 받은 다른 표지를 사용하여, 방사형 기준틀 끌림(케르 계량의 방위각 기준틀 끌림과 유사한)을 함축하는 완전히 다른 시나리오를 도출한다. 슈바르츠실트 해가 두 우주, 두 시공간을 연결하는 "공간 다리"로 해석될 수 있으며, 일방통행 다리로 작동함을 보인다. 시험 입자의 통과 시간이 유한하고 짧음을 보이며, 이는 고전적 블랙홀 모델을 즉각적으로 의문스럽게 만든다.
슈바르츠실트 계량의 등장사상군을 확장하여 두 우주가 거울상대칭(P-대칭)이며 반대의 시간 표지(t* = - t)를 가짐을 보인다. 군론적 도구, 즉 군의 운동량 공간에 대한 여수반작용을 사용하여, 구형 목 곡면인 슈바르츠실트 구를 통한 이 "시간 역전"의 물리적 의미를 부여한다: 양의 질량 입자가 공간 다리를 통과할 때 중력장에 대한 그 기여가 역전된다: m* = -m (1974년 J.M. 수리오가 보인 바와 같이, 시간 표지의 역전은 질량 및 에너지의 역전과 동등하다).
불안정화된 중성자별의 운명에 관한 문제가 여전히 미해결 문제로 남아 있으므로, 대안 모델의 계획을 제시한다: 공간 다리를 통한 그 물질 일부의 초공간적 전이로서, 이 물질은 상대론적 속도로 쌍둥이 우주를 향해 흘러간다.
덧붙여 크루스칼 모델의 몇 가지 잘 알려진 결함, 특히 무한대에서 점근적으로 로런츠적이지 않다는 사실을 상기한다.
슈바르츠실트 기하학을 10차원 공간에 매립된 초곡면으로 간주할 것을 제안한다. 본 연구를 군론에 기반한 이전 연구들과 연결하여 CPT 대칭 모델을 구축한다. 물질-반물질 이중성은 양쪽 겹에서 성립한다. 물질이 쌍둥이 우주로 전이될 때 CPT 대칭을 겪고 그 질량(중력장에 대한 기여)이 역전된다. 그러나 여전히 물질이다. 마찬가지로 공간 다리를 흐르는 반물질은 반대 질량을 지닌 반물질로 남는데, 수리오가 보인 바와 같이 시간 표지의 역전이 질량의 역전을 함축하기 때문이다.
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- 블랙홀
모델.
중성자별은 약 2.5 태양질량에 가까운 임계 질량을 초과할 수 없다. 더 높은 질량에서는 그 물질이 중력에 의한 거대한 내부 압력을 더 이상 견딜 수 없다. 그러면 중력 붕괴가 일어난다. 오랫동안 이론가들은 그러한 천체의 운명을 기술하려고 시도했다. 이하에서
좌표로 표현되는 슈바르츠실트 계량(Rs는 소위 슈바르츠실트 반지름)을 살펴보면
(1)
사람들은 이 아인슈타인 방정식의 해가:
(2)
S = 0
우변가 0인 이 해가 문제를 풀 수 있다고 상상했다. 실제로, t를 "외부 관측자의 우주 시간"으로 선택하면, 슈바르츠실트 구 r = Rs로부터 멀리 떨어진 임의의 지점에서 "방사형 측지선"을 따라가는 시험 입자의 자유 낙하 시간 는 무한한 것으로 나타나지만, 고유 시간으로 표현된 이 자유 낙하 시간 Ds는 유한하게 유지된다. 그러면 "물리적 기술"은 다음과 같다:
-
물체(안정성 한계를 넘어선 중성자별)는 중력 붕괴를 겪는다. 그 질량은 "체계의 기하학적 중심"으로 기술되는 "중심 특이점"을 향해 빠르게 떨어진다. 이 현상은 고유 시간 s의 관점에서 유한한 지속 시간 Ds에 걸쳐 일어난다.
-
그러나 물체로부터 어느 정도 거리에 위치한 "외부 관측자"에게 이 과정은 "시간 속에서 동결된" 것처럼 보인다. 더욱이 슈바르츠실트 구는 무한 적색편이 곡면이다(r = Rs에서 계량의 gtt 항이 0이기 때문).
이것이 구면 대칭 블랙홀의 모델이다.
r은 "방사형 거리"로 동일시되며, 이는 "슈바르츠실트 구 내부에 무엇이 있는지" 생각할 수 있음을 의미한다. 대략 말하면, "국소 위상"이 "구면적"이라고 가정하는 것이다: 슈바르츠실트 구 내부에는 "더 작은 구가 위치한다고 가정"되며, 물체의 "기하학적 중심"에 이를 때까지 그러하다.
나중에 모델은 축대칭 기하학(케르 계량)으로 확장되었다. 그러나 이 확장은 근본적인 개념 변화를 가져오지 않는다. 따라서 이하에서는 구면 대칭 체계에 집중할 것이다(이 연구가 나중에 케르 계량으로 확장될 수 있다고 생각한다).
그렇게 매우 밀도 높은 물체가, 선험적으로 물질-에너지가 없는 우주의 빈 부분을 가리키는 방정식 (2)의 해로 기술될 수 있다는 것은 다소 이상하다.
기술(특정 좌표 선택)을 유지하면 많은 어려움이 발생한다. 예를 들어 r이 Rs에 가까워질 때 grr 항은 무한대로 간다.
이 특정 좌표 선택으로 표현된 계량의 부호수는:
r > Rs에 대해 ( + - - - )
r < Rs에 대해 ( - + - - )
시험 입자가 슈바르츠실트 구 내부로 침투하면 그 질량은 허수가 되고 속도는 광속보다 커진다: 타키온이 된다.
부호수 변화를 고려하여 어떤 이들은 말했다:
- 문제없다: 슈바르츠실트 구 내부에서 r은 그저 시간이 되고 t는 방사형 거리가 된다.
프랑스 우주론자 장 에이드만은 말하곤 했다: "블랙홀을 생각할 때 우리는 모든 상식을 포기해야 한다."
덧붙여, 블랙홀 후보는 매우 적으며, 이것이 가장 수수께끼 같은 점이다. 실제로 초신성, 백색왜성, 중성자별은 관측되기 전에 예측되었다. 예를 들어 프리츠 츠비키는 1931년 칼텍에서 열린 유명한 강연에서 아무것도 관측되기 전에 초신성 모델을 발표했다. 그러나 해가 거듭되면서 모델은 확인되었고 우리는 이제 수백 개를 알고 있다. 회전하는 중성자별(펄서로 확인됨)도 마찬가지다. 왜 관측된 블랙홀은 그렇게 적은가?
어쨌든 천체물리학자들은 그것들에 관한 관측 데이터가 매우 적음에도 블랙홀이 존재한다고 믿는다. 그들은 은하나 은하단의 중심에 위치한다고 가정되는 "거대 블랙홀" 모델을 "사용"하여 그들의 수수께끼 같은 역학적 특징 일부를 "설명"한다.
이하에서 우리는 안정성 한계를 넘어선 중성자별에 대해 다른 운명을 제안하고자 한다. 새로운 기하학적 도구를 소개하는 것으로 시작하자.
- 과환상 기하학.
두 좌표 [ r , j ]의 집합으로 선소가 쓰인, 2차원의 다음과 같은 리만 계량 g를 고려하자:
(3)
여기서:
는 R 위에서, 2 
를 법으로 정의된다.
Rs는 상수이다.
이 계량은 r이 무한대로 갈 때 점근적으로 유클리드적이 된다:
(4)
이 특정
좌표계에서 부호수는:
r > Rs에 대해 ( + , + )
r < Rs에 대해 ( - , + )
행렬식:
(5)
은 r = Rs에서 무한대가 된다. 이것이 이 특정 좌표 선택 때문임을 보이자. 다음과 같은 좌표 변환을 도입하자:
(6)
선소는 다음과 같이 된다
(7)
그 연관 행렬식은:
(8)
더 이상 모든 
값에서 소멸하지 않는다(이는 덧붙여, 계량에서 선소 행렬식의 소멸이 좌표계 선택에 의존함을 보여주며, 1924년 에딩턴이 슈바르츠실트 계량에 대해(ref.[10]) 입증한 바와 같다). 가 0으로 갈 때(
에 해당) 이 행렬식은 다음으로 간다:
는 - 무한대에서 + 무한대까지 변하며, 이는 r ³ Rs와 동등하다
계량 g는 선택된 좌표계와 무관하게 곡면, 즉 2차원 물체를 기술한다. 이 곡면은 기본적으로 좌표 불변인 자신의 측지계를 가진다. 라그랑주 방정식 체계를 통해
좌표계에서 이 체계를 연구하자. 다음과 같은 F 함수를 도입하자:
(9)
대응하는 라그랑주 방정식은:
(10)
(11)
방정식 (11)은 다음을 준다:
(12)
h는 양, 음 또는 0이다. 덧붙여 (3)에서 두 변을 로 나누면 고전적으로 다음을 얻는다:
(13)
여기서
좌표계에서 평면 측지선을 기술하는 미분 방정식을 도출할 수 있다:
(14)
(12)에 따른 조건 IhI £ r은 측지선의 접선과 방사형 벡터 사이 각도의 코사인 절댓값이 £ 1임을 의미한다.
이제 매립 추가 좌표 z를 더하여 곡면을 R3에 매립하자. 원통 좌표
를 선택한다. 곡면은 z축에 대해 축대칭이다.
( = 상수 ) 측지선은 이 곡면의 자오선이며, 여기서:
(15)
이는 R3에 매립된 이 곡면의 자오선 곡선 방정식을 즉시 준다. 그것은 포물선이다:
(16)
그림 1은 R3에 매립된 이 곡면의 3차원 보기와, 하나의 측지선 및
극좌표를 가진 평면 위로의 그 투영을 보여준다.
이 곡면은 단순 연결이 아니다. 등장사상군 O2의 궤도들 가운데 최소 둘레 원, 즉 목 원(p = 2 Rs)을 찾는다.
그림 1: R3에 매립된 곡면
및
좌표계에서의 그 표현.
그림 2에는 이
표현 체계에서 여러 측지선이 표시되어 있다.
그림 2: 일부 측지선의 표현.
그림 3 :
목 원을 가로지르는 특정 측지선.
평면
에서의 이 측지선 표현은 등거리적이지 않음에 유의하라. 이 평면에서 길이를 측정하면 곡면에서 측정한 길이와 대응하지 않는다.
길이 dS를 실수로 강제하면, 그것이 우리가 국소 위상이라 부를 수 있는 것을 결정함을 알 수 있다. 그러한 기하학적 구조를 환상 다리라 부르자. 또한 이 곡면이 국소 환상 위상을 가진다고 말할 수 있다. 그것은 단일 겹을 가지며, 이는 두 개의 유계 반겹의 집합으로 간주될 수 있고, 둘은 둘레가 2 Rs인 목 원을 따라 그 원형 경계에서 접합된다. 이 원들은 측지선이 아니다(유일한 폐곡선인 목 원이라는 바로 이 특정 측지선은 예외). 각 반겹에서 "환상 다리"로부터의 거리가 무한대로 갈 때 계량은 유클리드적인 것(2)으로 간다. [ r , ] 표현에 해당하는 그림 2에서, 목 원을 가로지르는 측지선의 상부 부분은 실선으로, 다른 반겹에 해당하는 부분은 점선으로 그려졌다. 한 반겹은 ( ) 에, 다른 반겹은 (
) 에 해당함에 유의하라. 목 원은
= 0 에 해당한다.