- [r,j] 표현에서의 측지선.
(6)을 (14)에 도입하고, dr = thr dr로 두면 다음을 얻는다:
(17)
이는 측지선의 [r, j] 표현을 제공한다. r이 0으로 갈 때 dj/dr은 유한한 값으로 가므로, 피치 각의 탄젠트는:
(18)
원점에서 0으로 간다. 그러한 표현에서 슈바르츠실트 목 원의 상은 원뿔형 점이다.
그림 4: 그림 3에 표시된 측지선을 (r, j) 좌표계에서 나타낸 것.
목 원의 교차는 점 O에 해당한다
이것은 측지선의 등거리 표현이다.
표면을 [z, r, j] 표현으로도 그릴 수 있지만, 이것은 더 이상 등거리 표현이 아니다. 우리는 연관된 자오선을 얻는다:
(19)
r이 0으로 갈 때 z(r)은 선형이다. 무한대로 갈 때, 함수는 포물선으로 간다.
그림 5: 표면의 자오선을, 표면의 [r, j] 비등거리 표현에서 나타낸 것.
그러한 표현에서 슈바르츠실트 목 원의 상은 원뿔형 점이다.
- 구면 대칭 3차원 초곡면으로의 확장.
이것은 선 요소로 기술되는 3차원 초곡면으로 확장될 수 있다:
(20)
이 계량은 3차원 초곡면을 가리키며, 여기서는 [r, q, j] 좌표계로 표현된다. 변수 r은 "구면 좌표"에 해당하는 "방사 거리"가 아니다. 우리는 이 새로운 선 요소에서 유사한 병리를 다시 발견하며, 이는 동일한 좌표 변환 (6)을 도입함으로써 제거될 수 있다.
[r, q, j] → [r, q, j]
그러면 이 선 요소는 다음과 같이 된다:
(21)
그 부호수는 (+, +, +)가 되고 그 행렬식은:
(22)
더 이상 소멸하지 않는다.
이 초곡면의 측지선은 평면들에 위치한다. q = p/2가 그중 하나이다. 그들의 [r, j] 표현에서 그것들은 그림 2의 것들과 동일시된다. 등거리군은 O3이고 대응하는 궤도는 구면이다. 그중 하나는 최소 면적(그러한 3차원 토로이드 다리의 목 구면)을 가진다. 구면-궤도의 대원들은 측지선 곡선이 아니며, 둘레가 2 p Rs인 목 구면에 위치한 특별한 것들은 예외이다. 이 특별한 구면의 측지선들은 유일하게 닫힌 것들이다. 우리는 이 특별한 기하를 초토로이드 기하라고 부를 수 있다. 이 3차원 표면은 단순 연결이 아니다. 그것은 단일 3차원 주름을 가지며, 이는 그들의 구면 경계(목 구면)를 따라 함께 접착된 두 개의 유계 반 3차원 주름의 집합으로 간주될 수 있다. 이 "초토로이드 다리"로부터 멀리 떨어진 곳에서 계량은 유클리드 계량으로 가며, 이는 이후 구면 좌표로 쓰인다:
(23)
ds2 = dr2 + r2 ( dq2 + sin2q dj2 )
- 슈바르츠실트 기하.
고전적으로 사람들은 그 등거리군이 SO3 X R이라고 생각하며, 여기서 R은 1차원 평행 이동을 가리킨다. 그러면 사람들은 이 계량이 시간 독립적이고 구면 대칭이라고 말하며, R이 시간 평행 이동에 해당한다고 생각한다.
[x�, r, q, j] 좌표계로 표현되며, 여기서 x�는 시간 표지자이며, 선 요소는
(24)
고전적으로 사람들은 x� = ct라고 쓰며, 이는 "외부 관찰자"의 우주 시간 t를 정의한다고 가정된다. r >> Rs일 때 (21)은 민코프스키 계량으로 간다. 고전적으로 r은 방사 좌표로 동화된다. (21)은 grr 항의 불규칙성과 r = Rs일 때 부호수의 변화를 보여준다.
다시 한 번 우리는 (6) 좌표 변환을 사용하여 이 계량을 정칙화할 수 있으며, [t, r, q, j] 체계로 이동한다. 그러면 선 요소는 다음과 같이 된다:
(25)
O3 등거리군의 궤도는 구면이다. 이 집합 중 하나, 목 구면(슈바르츠실트 구면)은 최소 면적을 가진다. 초곡면은 단순 연결이 아니다. 그것은 단일 시공간 주름을 형성하며, 이는 두 개의 반 4차원 시공간 주름(쌍둥이 주름)의 집합으로 간주될 수 있고, 첫 번째는 r > 0에, 두 번째는 r < 0에 해당하며, 따라서 목 구면은 r = 0에 해당한다. 우리는 q = p/2 평면에 위치한 측지선을 계산할 수 있다. 다음을 따르면: "구면 좌표":
그림 6: 구면 좌표.
요소는 dr2 = r2 ( dq2 + sin2q dj2 )
원 j = 상수는 구면의 측지선이지만, 분명히 그것들은 표면의 모든 측지선을 나타내지는 않는다. 두 대척점(극)을 지나는 것들만 그렇다.
원 q = 상수는 측지선이 아니며, q = p/2(적도)에 해당하는 것은 예외이다.
[r � Rs, j] 좌표계에서 이들 (영이 아닌 길이의) 측지선은 다음에 해당한다:
(26)
상수 집합 [l, h]의 선택은 측지선을 결정한다. 그중에서 우리는 목 구면 r = Rs와 교차하지 않는 쌍곡선 유사 측지선을 발견한다. 그림 7을 보라.
그림 7: 슈바르츠실트 기하. 목 구면 r = Rs를 자르지 않는 쌍곡선 유사 평면 측지선의 [r, j] 표현
우리는 또한 준타원 측지선을 발견한다. 그림 8을 보라
그림 8: 슈바르츠실트 기하. 준타원 측지선의 [r, j] 표현.
이제 r = Rs 목 구면과 교차하는 측지선에 초점을 맞추자. [r, j] 표현에서, 측지선의 접선과 방사 벡터 사이의 각을 a라고 부르자.
(27)
첫 번째 라그랑주 방정식은 다음을 준다:
(28)
r � Rs 값에 대해 매개변수 l은 엄격히 양수이다. 또 다른 라그랑주 방정식은:
(29)
이며, 고유 시간 s에 대한 각 j의 단조로운 진화를 준다. 이 (q = p/2) 평면에서 회전은 h의 부호에 달려 있다.
슈바르츠실트 기하에 대한 이 새로운 해석(단순 연결이 아닌 초곡면으로 간주됨)에 따르면, 우리는 그림 9에 표시된 것처럼 [r, j] 표현에서 측지선을 그릴 수 있다.
그림 9a: h � Rs에 해당하는 목 구면(슈바르츠실트 구면)과 교차하는 측지선의 [r, j] 표현
측지선의 한 부분은 점선으로 그려졌는데, 그것이 목 구면, 즉 슈바르츠실트 구면을 따라 첫 번째에 연결된 두 번째 반 3차원 주름에 속한다고 가정되기 때문이다. 그것은 끊김을 암시한다. 그러나 이 마지막은 우리의 (빈약한) 인간 기하 직관에 더 친숙한 이 특별한 [r, j] 표현 체계 때문이다. 3차원 표현 공간에서 우리는 그림 9b를 얻는다. 입자들은 슈바르츠실트 구면에서 "튕기는" 것과 같다.
그림 9b: 3차원 유클리드 표현 공간에서 입자들은 슈바르츠실트 구면에서 튕기는 것과 같다.
이 관점에서 "슈바르츠실트 구면 내부에는 아무것도 없다", 왜냐하면 이 "내부"에서 우리는 단순히 "초곡면 밖"이기 때문이다. 목 구면, 슈바르츠실트 구면은 r = 0 값에 해당한다는 것을 상기하라. 첫 번째 반 주름은 (r > 0)에 해당하고 두 번째는 (r < 0)에 해당한다.
[r, j] 표현에서 측지선의 양상은 상당히 달라진다. 측지선과 반경 벡터 사이의 각 b의 탄젠트를 계산하자(그림 6 참조).
(30)
r이 � 0으로 갈 때 thr � r이므로:
(31)
[r, j] 표현에서 한 반 주름에서 다른 반 주름으로 가는 측지선은 방사 벡터에 접한다. 원점에서 더 이상 각 불연속은 없으며, 이 마지막은 목 원(r = 0)의 상이다. 이 측지선들의 완전한 기술을 얻으려면, 우리는 라그랑주 방정식 체계를 사용하여 [t = x�/c, r, q, j] 좌표계(24)로 표현된 선 요소로 돌아가야 한다:
(32)
이 방정식들 중에서 우리는 다음을 발견한다:
(33)
주어진 h 값에 대해 j의 진화는 고유 시간 s에 대해 단조롭다.
그림 10: 한 반 주름(r > 0)에서 다른 반 주름(r < 0)으로 가는 측지선의 [r, j] 표현.
이전과 마찬가지로, 두 번째 3차원 반 주름에 속하는 측지선의 부분은 점선으로 그려졌다.
우리는 논문 초반에 2차원 표면에 대해 했던 것처럼 4차원 초곡면의 매립을 줄 수 없다. 그런데 우리는 3차원 측지선이 아니라 4차원 측지선을 다룬다. [r, q, j]와 [r, q, j] 공간은 단지 표현 공간이며, 상황을 조금 더 명확하게 해줄 것으로 가정된다. 실제 측지선은 4차원 공간에 새겨진다. 어쨌든, [r, q, j] 표현은 어떤 3차원 "초토로이드 다리"를 암시하며, 따라서 [r, q, j] 표현은 어떤 3차원 "초원뿔"을 암시한다. 그러한 2차원 표면의 이 두 번째 (3차원) 표현에서, (r = 0) 점을 통과하여 한 반 주름에서 다른 반 주름으로 가는 측지선들이 있다. 이것은 2차원 원뿔과 유사하다. 그림 11을 보라
그림 11: 원뿔의 측지선. 오른쪽: 원뿔형 점을 가진 표면.