- 시간 표지의 선택.
선소 (25)에 대응하는 [ t , r , q , j ] 좌표에서 계량의 행렬식은 다음과 같다:
(34)
이는 r이 0이 될 때 소멸한다. 어쨌든 1924년 에딩턴 [10]은 계량의 영(nullity)이 좌표에 의존한다는 것을 보여주었다. 먼저 초기 형태로 돌아가자.
(35)
좌표계의 선택은 순전히 임의적이라는 사실을 강조하자. 왜냐하면 텐서 형태의 방정식의 해인 계량은
(36)
S
= 0
기본적으로 좌표 불변적이기 때문이다. 우리는 입자가 측지선을 따른다고 정한다. 임의로 선택된 좌표는 이 기하학적 해의 물리적 의미를 가져온다. 우리는 x� = ct를 선택할 수 있으며, c는 상수이다. 그러나 우리는 다른 기준계를 선택할 수 있다. 그것은 우리에게 달려 있다. 선택된 시간 표지 x�, 또는 t, x에 대한 유일한 요구 사항은 계량이 점근적으로 유클리드적이어야 한다는 것이다:
(37)
또는:
(38)
데카르트 좌표계로 표현된 바와 같이. 리만 계량은 선소의 이차 형식이 상수 계수를 갖는 좌표계를 찾을 수 있을 때 유클리드적이라는 것을 기억하라. 부호들의 집합은 부호수(signature)이다.
만약 이 마지막이 ( + - - - )라면 이것은 민코프스키 계량이다.
(39)
기본 거리로 식별되므로, 그러한 거리에 대한 선택된 정의(위에서부터 r 또는 r)가 무엇이든 간에 "먼 거리에서" 계량이 점근적으로 유클리드적이어야 한다고 요구하는 것은 합리적으로 보인다.
"우주 시간" 또는 "공간 표지"의 정의는 완전히 자유로운 선택으로 남는다. 반대로 우리는 고유 시간 s, 또는 더 정확히 말해 다양체의 두 주어진 점 사이의 시간 간격 Ds를 수정할 수 없다. 왜냐하면 그것은 기본적으로 좌표 독립적이기 때문이다. 또한 입자는 주어진 측지선을 따라 양방향으로 이동할 수 있다고 가정한다.
그림 12: 주어진 측지선 위에서 입자의 이동.
주어진 측지선을 따라 시험 입자가 이동하는 것은 하나의 현상이다. 다양체의 또 다른 측지선은 어떤 "정지한 외부 관찰자"를 가리키는 것으로 가정된다. 그러나 정지 상태는 완전히 임의적인 좌표 선택 (x�, x1 , x2 , x3)에 의존한다.
이 "외부 관찰자"는 계량이 유클리드적이거나 준유클리드적인, 즉 (37)의 형태를 갖는 다양체의 일부에 위치한다고 가정된다. 그러면 정지 조건은 다음을 의미한다.
(40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
그러한 정지 상태 관찰자에게는 모든 고유 시간 간격이 임의로 선택된 연관된 "우주 시간 간격"과 동일시된다:
(41)
Ds
= Dx�
...우주 시간의 선택이 순전히 임의적이므로, 시험 입자의 시간에 따른 진화는 이 선택에 의존한다. 외부 관찰자를 가리키는 것으로 가정되는 주어진 측지선 위의 두 점 A와 B를 고려하자. 이 점들은 시공간 사건들이다. 그림 13에서 점선은 일정한 우주 시간 x�를 가리키는 것으로 가정된다.
그림 13: 측지선 위에서 시험 입자의 진화를 "고려하는" "정지한 외부 관찰자". 우주 시간 x�
이제 우주 시간에 대한 또 다른 선택 x를 고려하자. 그림 14를 보라.
그림 14: 측지선 위에서 시험 입자의 진화를 "고려하는" "정지한 외부 관찰자". 우주 시간 x
점선은 광자의 경로가 아니라는 점을 명확히 하자. 광자는 좌표 불변적인 특별한 영 측지선을 따라 이동한다.
우리는 여전히 Ds(O) = Dx� = Dx를 갖지만, 간격 Ds'(TP)와 Ds"(TP)는 비록 동일한 측지선을 가리키더라도 상당히 다를 수 있다. 왜냐하면 쌍 (A',B')와 (A",B")가 다를 수 있기 때문이다. 기본적으로 그것들은 선택된 시간 좌표, 즉 "시간 표지"에 의존한다.
- 에딩턴의 시간 좌표 변환과 그 확장 형태.
1924년 에딩턴이 도입한 다음의 좌표 변환은 그 점을 예시하는 것으로:
(42)
그러면 선소는 다음과 같이 된다.
(43)
gxx 항이 구 r = Rs에서 0이 되므로, 이 마지막은 무한 적색편이 표면이다(고전적 슈바르츠실트 계량 선소에서처럼). 행렬은 다음과 같이 된다.
(44)
그 행렬식은:
(45)
- r 4
sin2 q
이며 더 이상 r 값이 무엇이든 소멸하지 않는다. 나중에 설명할 이유로, 이 좌표 변환을 다음과 같이 확장하자.
(46)
( x , r , q , j ) 좌표계로 표현하면, 선소는 다음과 같이 된다.
(47)
그 행렬식은 같은 형태 (44)를 갖는다. 에딩턴의 좌표 변환은 d = - 1 값에 해당한다는 점에 주목하라.
우리는 함수에 기초한 라그랑주 방정식을 사용하여 측지선을 연구한다.
(48)
여기서:
또한, 선소 표현으로부터 우리는 고전적으로 물질 입자(ds � 0)에 대해 다음을 갖는다.
(49)
하나의 라그랑주 방정식은 다음을 준다.
(50)
평면 측지선 q = p/2를 고려하면 다음을 준다.
(51)
측지선을 따라, 고유 시간 s에 대해, j의 진화는 단조롭다. 또 다른 라그랑주 방정식은 다음을 준다.
(52)
즉:
(53)
(49)와 결합하면, 놀랍게도 d가 사라진다.
(54)
r이 무한대로 갈 때 dr = 0(영 속도)이면, 그것은 l = 1에 해당한다는 점에 주목하라. r이 무한대로 갈 때, (53)에 따라:
(55)
만약 l � 1이면, r이 무한대로 갈 때, 우리는 다음을 얻는다.
(56)
여기서
우리는 다음을 얻는다.
(57)
[ r , j ]에서 우리는 비영 측지선(ds � 0)에 대해 고전적 형태의 미분 표현을 다시 찾는다.
(58)
이는 그림 7, 8, 9의 패턴을 제공한다. 이제 우리는 다음을 통해 새로운 우주 시간을 정의할 수 있다.
(59)
x = ct
...선소 (43)은 여전히 점근적으로 유클리드적이다. "먼 거리"에서 정지 관찰자의 고유 시간 Ds는 간격 Dt와 동일시된다.
- 방사형 경로에 대한 시간 간격.
우리는 미분 방정식을 통해 측지선을 따르는 비영 질량 입자의 시간 간격 Dt = Dx/c를 계산할 수 있다.
(60)
"방사형 측지선"( h = 0 )에 대해:
(61)
슈바르츠실트 구 근처에서 우리는 다음을 얻는다.
(62)
l = 1은 무한대에서 속도가 0으로 가는 시험 입자에 해당한다.
그 특별한 경우를 고려하자.
(63)
(54)로부터
n = - 1은 (dr < 0) 경로에 해당한다.
n = +1은 (dr > 0) 경로에 해당한다.
...특별한 에딩턴의 좌표 변환은 (r � Rs에 대해) d = + 1에 해당한다는 점에 주목하라. 이 새로운 우주 시간에 대해 시험 입자의 방사형 이동 시간 Dt를 계산할 때, 우리는 이 마지막이 이 운동의 방향과 d의 부호, 즉 곱 dn에 의존한다는 것을 발견한다. 그것이 양수일 때, 방사형 측지선(r � Rs)을 따르는 시험 입자의 이동 시간은 유한하다. 그것이 음수일 때 이 이동 시간은 무한해진다.
...첫 번째 결과로서, 구형 대칭 블랙홀 모델에 적용하면, 에딩턴의 좌표 변환은 유한한 자유 낙하 시간 Dt를 준다. r = Rs일 때 입자의 속도는 다음과 같이 된다.
(64)
슈바르츠실트 구를 향해 낙하하는 시험 입자는 속도 c로 그것에 도달한다.
- 광속.
광자는 다음에 해당하는 영 측지선을 따라 이동한다.
(65)
속도를 고려하자.
(66)
(65)로부터 우리는 다음을 얻는다.
(67)
r이 무한대로 갈 때, vj는 � c로 간다.
dr < 0일 때 우리는 n < 1을 갖는다. 그러면 (d r< 0) 경로에 대해 r = Rs일 때:
(68)
시험 입자가 방사형 경로를 따라 슈바르츠실트 구를 향해 낙하할 때, 그것은 빛의 속도로 그것에 도달한다.
요약하면:
(69)
(70)
빛의 속도는 (dr > 0) 또는 (d r< 0) 경로를 고려하느냐에 따라 다르다.
- 기준틀 끌림 효과.
커 계량을 고려하자.
(71)
여기서 r은 위에서 정의된 것과 다른 공간 좌표이다. 우리는 단지 참고문헌 [1]의 방정식 7.110을 재현한다.
원에 접하는 운동(q = p/2, r = 상수)에 대한 광자의 속도(ds = 0)를 계산하자. 우리는 다음을 발견한다.
(72)
즉 두 개의 별개 값이다. 이것은 방위각 기준틀 끌림에 해당하며 커 계량의 성질이다. 참고문헌 [1], 7.7, "커 해와 회전"에서 우리는 다음을 읽는다.
커 해의 회전적 성질로부터 매우 흥미로운 물리적 효과가 발생한다. 측지 운동을 하는 물체는 코리올리 힘을 연상시키는, 매개변수 a에 비례하는 힘을 경험한다. 느슨하게 말하면, 우리는 회전하는 원천이 공간을 그것과 함께 "끌고 간다"고 생각할 수 있다. 마키안적 의미에서, 원천은 국소 관성계의 확립에서 무한대의 로렌츠 경계 조건과 "경쟁"한다.
에딩턴의 좌표로 다시 표현하면, 장의 원천으로 간주되는 블랙홀은 방사형 기준틀 끌림을 유도한다.
- 블랙홀과 화이트 파운틴.
4절에서 우리는 슈바르츠실트 구가 그림 9에서 보듯이 두 "반쪽 시공간 주름"을 연결하는 목 구체처럼 행동하는 슈바르츠실트 기하학에 대한 새로운 해석을 제안했다. 우리는 다음의 두 슈바르츠실트 기하학을 결합한 유사한 구조를 상상할 수 있다.
(73)
(74)
이 둘은 (43)에서 유도되며, 첫 번째 선소 (73)은 d = -1에, 두 번째 (74)는 d = +1에 해당한다. d는 측지선의 [ r, j ] 표현 계산에 나타나지 않으므로 연결은 어려움을 일으키지 않는다. 방정식 (58)을 보라. 우리는 "중심 특이점"이 없는 "블랙홀-화이트 파운틴" 쌍을 얻는다. 물질은 블랙홀에 들어갈 수 있지만 나올 수는 없다. 반대편에서 물질은 화이트 파운틴 밖으로 흘러나올 수 있지만 들어갈 수는 없다. 통과 시간은 한 방향으로는 유한하고 다른 방향을 따라서는 무한하다. 새로운 우주 시간 x로 계산하면, 유한한 통과 시간은 고유 시간 s로 계산한 것과 유사하다. 방사형 경로에 대해:
(75)
이 시간은 매우 짧다. 이 논문에서 보여졌듯이, 블랙홀 모델은 좌표, 특히 우주 시간의 특별한 선택에 기초한다. 6절에서 지적했듯이 시간 표지의 선택은 순전히 임의적이다. 고전적인 것은 외부 관찰자에 대해 블랙홀에 쏟아진 물질의 낙하가 "시간 속에 얼어붙은" 준 정상 상태 시스템을 준다. 그러나 본 논문은 에딩턴의 아이디어에서 유도된 시간 표지의 또 다른 선택이 그 과정을 "해동시킨다"는 것을 보여준다. 이 관점에서 블랙홀, 또는 블랙홀-화이트 파운틴 쌍은 밀리초당 수십 태양 질량을 삼킬 수 있으므로 영구적인 객체로 존재할 수 없다. 따라서 여전히 열린 질문이 있다.
- 중성자별이 안정성 한계를 넘어설 때 무슨 일이 일어나는가?
- 표현 공간.
대안적 모델 계획을 제시하기 전에, 우리가 "표현 공간"이라고 부를 수 있는 것에 대해 몇 마디 하자. 논문의 시작에서 우리는 선소로 정의된 2차원 곡면을 연구했다. 이 곡면을 R3에 매립하는 것이 가능한 것으로 나타났으며, 이는 이 기하학적 객체의 등장적 표현을 주었다. 그런데 우리는 [r,j] 표현을 언급했다.
4차원 초곡면의 명백한 표현을 주는 것은 불가능하다. 왜냐하면 우리는 그것을 그릴 수도 없고 그림으로 보여줄 수도 없기 때문이다. 그러나 객체는 기본적으로 좌표 불변이므로, 초곡면은 다양한 좌표 선택에 해당하는 많은 표현 공간에서 형상화될 수 있다. 예를 들어 우리는 변환 (6)을 도입할 수 있다. 그러면 선소는 다음과 같이 된다.
(76)
r > 0에 대해
그리고:
(77)
r < 0에 대해.
"방사형" 측지선(예: q = p/2 , dj = 0)은 (이 특별한 표현에서) 시스템의 기하학적 중심 O에 집중된다. 이 점은 "쌍곡원뿔점"에 비견된다.
3차원 공간에서 한 점에 대한 대칭은 P-대칭이다.
이 [ t , r , q , j ]에서 슈바르츠실트 선소는 P-대칭이다. 그것은 또한 시간 독립적(시간 평행 이동을 통해 불변, 즉 정상 상태에 해당)이며 T-대칭, 즉 다음을 통해 불변이다.
t � - t