- 등거리 변환군.
a를 3차원 회전 행렬이라 하자. 다음과 같이 쓴다:
(78)
SO3 x R 군의 원소는 다음 행렬로 나타낼 수 있다:
(79)
이는 두 행렬의 곱이다. 첫 번째는:
(80)
SO3에 속한다.
그리고 두 번째는:
(81)
R 시간-평행이동군에 속한다. P와 T 대칭을 도입하자. 그러면 네 개의 성분을 가진 군을 얻는데, 그 원소는:
(82)
이는 두 행렬의 곱이다:
(83)
그리고:
(84)
이 두 번째 부분군을 E1(1차원 유클리드 군)이라 부르자.
[ t , r , q , j ] 표현에서 등거리 변환군은 O3 x E1이다.
[t , r ,q, j] 좌표계에서 선소의 표현으로 돌아가자:
(85)
...고전적으로는 연관된 등거리 변환군이 SO3 x R이라고 여겨지는데, 이는 가장 큰 군이 아니다. 선소는 공간 및 시간 반전에 대해서도 불변이므로 O3 x E1이다.
이제 "확장된 에딩턴" 형태로 표현된 선소를 고려하자
(86)
이를 다음과 같이 쓴다:
(87)
데카르트 공간 좌표 [ x1, x2, x3]를 도입하면:
(88)
(89)
(90)
그러면 선소는 [x ,x1,x2,x3] 좌표로 표현될 수 있다.
(91)
이제 이 특이한 좌표계로 표현된 계량의 등거리 변환군을 찾는다.
먼저 P-대칭이 있다. 선소는 다음 변환에 대해 불변이다:
(92)
x1 → - x1
x2 → - x2
x3 → - x3
또한 다음 변화에 대해서도 불변이다:
(93)
x → - x
d → - d
그리고 시간-평행이동 x = x + e에 대해서도 불변이다. 이는 다음 네 개의 성분을 가진 군에 해당한다:
그 원소는 두 행렬의 곱이다. 첫 번째 집합
(94)
은 O3에 해당하고, 두 번째는 원소가 다음과 같은 두 번째 부분군을 이룬다:
(95)
이 두 번째 부분군을 "TF"라 부르자.
그러면 (86)의 등거리 변환군은:
O3 x TF
이제 [t = x/c , r , q , j ] 좌표계로 표현된 슈바르츠실트 계량을 고려하자. 두 표현 (76)과 (77)을 다음과 같이 묶을 수 있다:
(96)
d = -1이 반 공간-시간 r > 0을 담당하고 d = +1이 두 번째 반 공간-시간 r < 0을 담당한다는 것을 기억하자. 이는 "블랙홀"이 우리 폴드에 있고 "화이트 파운틴"이 "쌍둥이 폴드"에 있다고 간주하는 경우이다.
상황이 반전되면, 즉 "블랙홀"이 쌍둥이 폴드에 있고 "화이트 파운틴"이 우리 쪽에 있다면, 다음을 얻는다:
d = +1이 반 공간-시간 r > 0을 담당한다
d = -1이 반 공간-시간 r < 0을 담당한다
첫 번째 경우("블랙홀"이 우리 우주에 있고 "화이트 파운틴"이 쌍둥이 폴드에 있다)를 고려하자. 거기서 계량은:
(97)
다음을 변화시키면:
r → -r
t → -t
d → -d
두 번째 계량을 얻는다:
(98)
r = 0일 때 행렬식의 영이 되는 것은 ( r = 0 ) 점에서 공간(거울상)과 시간 좌표의 국소적 반전에 해당할 것임에 주목하자. 실제로 가우스 좌표를 정의하려면 영이 아닌 행렬식이 필요하다. 참고문헌 [1] 2.4를 보라.
행렬식이 영이 아니면, 측지선 x° 또는 x 또는 t 좌표선("정상점"에 대한 "세계선")에 직교하는 일련의 초곡면(x° 또는 x, 또는 t = 상수)(선택된 연대기 표지의 상수 값에 해당)을 정의할 수 있다.
그림 15: 참고문헌 [1]의 그림 2.1 이후
이전과 같이 (97)과 (98)을 데카르트 좌표로 표현하고 (92)와 (93)을 다시 찾을 수 있다. (96)의 등거리 변환군은 다음과 같다:
(99)
두 반 공간-시간 폴드는 PT-대칭이다.
안드레이 사하로프가 1967년(참고문헌 [26]~[30])에 한 우주가 우리 우주와 "반대 시간"을 가진 쌍둥이 우주로 구성될 수 있다고 처음 제안했음을 기억하자. 나중에 그는 쌍둥이 폴드가 거울상일 수 있다고 제안했다.
- 우주 시간 t의 반전의 물리적 의미.
이 시간 반전은 당혹스럽다. 이는 측지선을 따라 우리 폴드에서 쌍둥이 폴드로 갈 때 시간 표지 t가 반전된다는 것을 의미한다. 이 초토릭 다리를 통과하는 "승객"의 시계가 역행한다는 뜻인가?
위에서 "블랙홀 - 화이트 파운틴" 쌍이 존재할 수 있으며, "블랙홀"은 쌍둥이 폴드에, "화이트 파운틴"은 다른 쪽에 위치할 수 있다고 했다. 이는 이 "시험 승객"이 첫 번째 초토릭 다리로 뛰어들어 두 번째 다리에서 나올 수 있다는 뜻이다. 그가 출발한 공간 지점으로 돌아와 "아버지를 죽일" 수 있을까?
그림 16: (도식적) 역설적 여행.
답은 아니오이다. 그가 따르는 측지선을 따라 고유 시간의 기본 증분 ds의 부호가 변하지 않기 때문이다. 그러면 t의 물리적 의미는 무엇인가? 없다. 그것은 단지 좌표일 뿐이다.
오직 고유 시간만이 물리적 의미를 가진다.
그러면 이 시간 좌표의 반전의 결과는 무엇인가?
군의 그 공간 운동량에 대한 여공액 작용을 연구해야 한다(참고문헌 [11]과 [12]). 군의 원소는
(100)
이는 두 개의 성분을 가진 군( m = ± 1 )이며, 그 차원은 4이다.
역행렬은:
(101)
리 대수 원소를 계산하자. 다음과 같이 쓴다:
(102)
da = w d e = e
계산하자: dg' = g-1 x dg x g
(103)
(104)
여공액 작용을 계산하기 위해(참고문헌 [11] 참조), 스칼라를 도입하자:
(105)
그 불변성은 다음에 의해 보장된다:
(106)
즉:
(107)
이 동일시는 군의 네 성분 운동량에 대한 여공액 작용을 제공한다:
(108)
( l , m )
운동량 성분의 수가 군의 차원과 같음을 기억하자.
(109)
(110)
m' = m m
m을 질량(또는 에너지 E = mc2, 무관하게)과 동일시할 수 있다. (110)은 입자가 "목 구체"를 통과할 때 그 질량이 반전된다(m' = -m)는 것을 의미한다. 이는 놀랍지 않으며 이 "시간 좌표의 반전"의 매우 물리적인 의미를 제공한다.
... J.M.수리오[12]를 따라 군의 (m = +1) 성분을 "정시간 성분", (m = -1)을 "반시간 성분"이라 부를 수 있다. 반시간 성분의 원소는 질량을 반전시킨다. J.M.수리오가 보인 바와 같이([12] p.197, 시간과 공간 반전 장), 시간-대칭은 m-대칭과 동등하다.
- 후속 결합 장 방정식.
우리는 단일 영 제2항 장 방정식에서 시작했다:
(111)
S = 0
이는 진공(T=0)에 적용되는 완전한 (아인슈타인의) 방정식:
(112)
S = c T
에서 나온 것으로 가정되었다. 완전한 기하학은 두 개의 "켤레 계량" g와 g*로 기술될 수 있으며, 이로부터 두 개의 아인슈타인 기하 텐서 S와 S*를 구성할 수 있다고 가정할 수 있다. 참고문헌 [13]~[15]를 보라.
두 반 공간-시간이 비어 있다면, 집합 ( g , g*)은 다음 계의 해이다:
(113)
S = 0
(114)
S* = 0
(계 (113)과 (114)의 정상 정확해는 참고문헌 [16]에 주어져 있다). 이제 첫 번째 공간 시간 폴드를 텐서장 T에 해당하는 양의 질량(양의 에너지와 압력)으로, 두 번째를 음의 질량(음의 에너지)으로 채우고, 장이 다음 형식을 통해 두 텐서장 모두에 의존한다고 가정한다:
(115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T*- T )
이는 켤레 기하학에 해당한다:
(117)
S* = - S
이것이 결코 g* = - g를 의미하지는 않음에 주목하자!
텐서 T와 T*는 질량 밀도 r과 r*, 압력 p와 p*로 나타낼 수 있다.
여기서는 "이것이 같은 종류의 물질"임을 보이기 위해 r, r*, p, p*가 모두 양수라고 간주한다. 음의 부호는 "쌍둥이 물질"이 음의 질량(그리고 음의 에너지와 압력) 물질처럼 행동함을 나타낸다. 이 장 방정식 계는 이전 논문들(참고문헌 [13]~[15])에서 제시되고 연구되었다.
- 프로젝트: 초공간 전이 모델.
참조된 논문들에서 정상 상태 결합 해[16]와 비정상 균일 해([14], [15], [17])가 제시되었다. 우리는 계 (115) 더하기 (116)의 비정상 비균일 해를 구성하려 한다. 예를 들어, 우리 공간-시간 폴드 F에 물질이 존재하고 두 번째 F*가 비어 있는 초기 조건을 고려하자. 해당 계는 다음과 같을 것이다:
(118)
S = c T
(119)
S* = - c T
...그러한 계의 정상 상태 해는 이전 논문[16]에 제시되었다. 그러한 조건에서 물질은 폴드 F에만 존재한다. 이는 이 폴드, 즉 우리 쪽에 중성자별이 존재하고 두 번째(쌍둥이) 폴드 F*의 인접 부분이 비어 있는 것에 해당하는 켤레 기하학을 기술할 수 있다. 처음에 두 폴드는 연결되어 있지 않다. 중성자별 외부의 해는 다음을 따른다:
(120)
S = 0
(121)
S* = 0
...그러면 물질이 임계점까지 중성자별로 쏟아진다. 전문가들은 임계점의 첫 증상이 톨만-오펜하이머-볼코프(TOV) 모델(참고문헌 [1], 방정식 144.22)에 따라 (구면 대칭으로 가정된) 중성자별 중심에서 압력이 무한대로 갑자기 상승하는 것임을 안다. 우리는 이 상승이 물리 상수(광속, 중력 상수, 질량)의 국소 값에 작용한다고 생각한다. "변하는 상수"를 가진 모델은 처음에 저자들([18], [19], [20], [14])에 의해 도입되었다. 나중에 다른 저자들이 이 새로운 개념을 다소 다른 방식으로 발전시켰다[17].
...우리는 이것이 두 폴드를 연결하는 초토로이드 다리의 탄생을 초래할 것이라고 생각한다. 그러면 물질은 (빠르게, 상대론적 속도로) 이 통로를 통해 폴드 F에서 폴드 F*로 흐를 것이다. 위에서 보인 바와 같이, 이 현상은 질량을 반전시키므로(14절, 방정식 (110) 참조), 비정상 해는 다음 계에 의존한다:
(122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T*- T )
"과정의 중간"에서 T = T*이다. 그러면 해는 다음을 따른다:
(124)
S = 0
(125)
S* = 0
...우리는 이것이 슈바르츠실트 기하학의 진정한 의미라고 생각한다. 이는 비정상 과정에 속하는 기준틀에 해당할 것이다.
...이 비정상 해는 단지 해의 프로젝트일 뿐이다. 아직 구성되지 않았다. 우리는 무엇이 나올지, 완전한 과정이 어떻게 보일지 모른다.