- 임베딩과 측지선에 관한 추가 설명.
모든 곡면이 R3에 임베딩될 수 있는 것은 아니다. 예를 들어, 계량
(134)
여기서 Rs > 0이고 r > 0이며
는 R 위에서 2
를 법으로 정의된다.
이러한 [ r , ] 특이 좌표로 표현된 이 선소는 거의 모든 곳에서 정칙이다(r = 0인 점은 제외). 그 밖의 곳에서는 문제가 발생하지 않는다. 그 등거리군은 O2이다. 군의 궤도는 r = 상수인 원들이다. 우리는 이 곡면이 R3에 임베딩될 수 있으며, 어떤 z축을 중심으로 축대칭으로 나타날 것이라고 상상할 수 있었다.
( = 상수 ) 측지선이 존재한다. 우리는 그것들이 곡면의 "자오선"이며 그러한 자오선의 방정식 z ( )가 논문 초반에 했던 것처럼 구성될 수 있다고 생각할 수 있었다. ( = 상수 ) 측지선을 따라 :
(135)
만약 이 곡면이 R3에 임베딩될 수 있다면, 그러한 측지선을 따라 :
(136)
이는 다음을 준다 :
(137)
결론 : 이 곡면은 R3에 임베딩될 수 없다.
이 계량 (135)은 일종의 반발 작용을 연상시킨다.
모든 곡면은, 그 계량에 의해 정의되는 한, 그럴 수 없다. 어쨌든 이러한 곡면들은 우리 손으로 붙잡을 수 없을지라도 "존재한다".
다음과 같이 정의되는 3차원 초곡면을 고려하자 :
(138)
여기서 Rs > 0이고 r > 0이며
는 R 위에서 2를 법으로 정의된다.
우리는 그러한 초곡면을 임베딩할 수 없다. 그러나 그것은 존재하며 "평면 측지선"( 
= /2)을 갖는다.
우리는 이 2차원 및 3차원 초곡면의 측지선 계를 계산할 수 있다. 우리는 그것들을 평면 (r,)
안에 그릴 수 있다. 그것들은 실수이다.
(139)
그것들의 도형은 선소 (134)로 정의된 앞의 2차원 곡면의 것들과 동일하다. 이 두 기하학적 대상은 단순 연결이다.
그림 25 : 선소 (134)와 (138)에 대응하는 측지선
(반발 작용과 유사함에 주목하라).
당혹스러운 점이 있다. 선소가 주어지면 우리는 측지선 계를 계산할 수 있다. 예를 들어 슈바르츠실트 기하학의 고전적 표현의 것은 다음에 대응한다 :
(140)
우리는 이 미분방정식에 대응하는 곡선 r (를 계산할 수 있다. 그것들은 r < Rs인 값에 대해서도 실수이다!
그림 26 : 슈바르츠실트 선소에 대응하는 완전한 측지선.
우리는 물리학자들이 이 이상한 결과를 본 후 왜 당혹스러워했는지 이해한다. 그러나 수학적 사실이 있다 : 선소는 실수 측지선 계를 산출할 수 있으며, 일부 부분은 허수 길이 요소 ds에 대응한다.
물리학은 어떠한가? 우리는 ds를 고유 시간 증분으로 동일시한다. 위에서 우리는 허수 ds가 물리적 경로에 대응하지 않는다고 간주하기로 결정했으며, 이는 우리로 하여금 초곡면의 "국소 위상"을 재고하도록 강제하여 "국소 구형 위상"을 "국소 초토러스 위상"으로 바꾸게 했다.
이전 연구들에서 사람들은 이 "국소 구형 위상" 가설을 유지했으며, 따라서 슈바르츠실트 구의 "내부"에 대한 물리적 해석은 문제가 되었다. 참고문헌 [1]의 6.8절에서 우리는 다음과 같이 읽는다 :
(슈바르츠실트 구 내부에서) 따라서 r을 시간 표지로, t를 방사형 표지로 재해석하는 것이 자연스러워 보일 것이다 (...)
... 이는 이 세계선을 따라 ds2 < 0임을 함의할 것이다.
- 크루스칼 해석적 확장.
고전적 [x° , r ,  ,  ] 좌표계에서 빛의 방사형 속도는 :
(141)
따라서 r이 Rs에 가까워질 때 0에 가까워진다. 크루스칼의 논증은 다음과 같다(참고문헌 [1], 6.8절).
이는 슈바르츠실트 좌표의 바람직하지 않은 특징이며, 우리는 다음과 같이 그것을 제거할 수 있다; 우리는 r과 t를 새로운 변수 u와 v로의 변환을 찾는데, 여기서 선소는 다음과 같은 형태를 갖는다 :
(6.187)
... 우리는 슈바르츠실트 반지름 내부에 적합한 변환에 도달한다 :
(6.204)
한편, 그 구 바깥에서는 :
(6.201)
*
*
기본 요구사항은 f가 슈바르츠실트 구 r = Rs에서 정칙이어야 한다는 것이다. 여전히 [1]로부터 :
따라서 u는 전역 방사형 표지로, v는 전역 시간 표지로 작용한다.
그런데 (6.187)로부터, 영 측지선(ds = 0)은 "일정한 광속"을 준다 :
(142)
*(6.201)*로부터 우리는 r이 무한대로 갈 때 f가 0으로 감을 알 수 있으며, 따라서 Adler, Schiffer, Bazin은 [1]에서 다음과 같이 말한다 :
그러나 그것들은 슈바르츠실트 좌표가 그러하듯이 점근적 거리에서 평평한 공간에 대한 구면 좌표에 대응하지는 않는다.
크루스칼 계량은 또한 이 영역들에서 아인슈타인 방정식의 비특이 해이며 슈바르츠실트 해와 동등하지만, 경계(슈바르츠실트 구)에서 특이점이 없다. 이것은 다양체의 해석적 확장이다.
크루스칼은 이 경계에서의 문제에 집중하며, 이는 비특이점이 되고, 특이점은 f가 무한대로 가는 "기하학적 중심"에 집중된다. 여전히 참고문헌 [1]을 사용하여 우리는 안쪽으로 향하는 광자의 방사형 경로에 할당된 구절을 재현한다 :
u , v로는 궤적이 단순하다; 그러나* r과 t로는 그것이 어떤 유한한 r > Rs와 유한한 x°에서 시작하여, x°가 무한대로 감에 따라 r = Rs를 향해 안쪽으로 이동하고, 선 x° = 무한을 슈바르츠실트 구 내부로 가로지른다는 것을 알 수 있다. 그 후 r은 궤적을 따라 계속 감소하지만, x°*는 감소한다. ... 현재의 처리는 또한 x°가 슈바르츠실트 구 내부에서 합리적인 시간 표지가 아님을 명확히 한다.
우리는 "완벽한 것은 없다"는 것을 알 수 있다. 크루스칼은 그의 특이한 좌표 선택으로 슈바르츠실트 구의 횡단을 처리하여 기하학적 해의 특이한 특징을 "중심 특이점"에 가둔다. 그러나 계량은 무한대에서 더 이상 로런츠적이지 않다.
이는 좌표 선택이 해의 해석을 어떻게 변형시키는지 보여준다. 우리의 것은 "국소 위상"(초토러스 다리)의 변화를 도입하지만, 모든 특이점이 제거된다.
22)임베딩으로 돌아가서.
비너-그라우스타인 정리는 n > 2인 임의의 n차원 곡면이 최소 차원이
(143)
인 공간에 임베딩될 수 있다고 말한다.
4차원 초곡면의 경우 이는 10차원 공간에 해당한다. 우리는 슈바르츠실트 기하학의 측지선이 평면들 안에 놓임을 안다.  = p/2는 그중 하나에 대응한다. 그러면 우리는 ( = p/2) 측지선의 부분집합에 집중할 수 있다. 이 측지선들은 두 매개변수 l과 h에 의존한다. 우리는 ( l =1 ) 측지선이 무한대에서 속도가 0인 입자들에 대응함을 안다. 또한 ( = 상수 ) 측지선의 부분집합을 선택하자. 그러면 :
(144)
추가 좌표 z를 도입하고 다음과 같이 쓰자 :
(145)
ds 2 = dr 2 + dz 2
(146)
해가 다음과 같은 미분방정식 :
(147)
우리는 이 측지선들을 3차원 [ z , r ,] 공간 안에 그릴 수 있다. 그것들은 축대칭 곡면의 자오선이다.
그림 27 : (  = 상수) 슈바르츠실트 측지선의 등거리 임베딩이 수행되는 곡면의 자오선.
3차원 공간에서 이 곡면은 그림 28처럼 보인다(반쪽 단면).
그림 28 : 임베딩 곡면.
그 위에 "방사형" 측지선을 그리면 그림 29를 얻는다.
그림 29 : "방사형" 측지선의 표현. 아래 : [ r ,] 평면 위로의 그 투영.
이는 매우 부분적인 임베딩인데, "방사형" 측지선의 집합으로 제한되기 때문이다. 그림 29는 주름을 연상시키고 거울상 이성질을 시사한다. 실제로 방사형 측지선을 따르는 세 점의 집합을 고려하자. 우리는 다음을 얻는다
그림 30-a : "방사형" 경로를 따라 목구멍을 향해 낙하하는 세 질량점.
그리고 :
그림 30-b : 목구멍을 가로지른 후의 같은 것. 삼각형이 뒤집혔다.
평면 투영 [ r ,] 위에서 삼각형의 방향이 뒤바뀐다.
이제 슈바르츠실트 구를 향해 낙하하며 사면체를 이루는, 방사형 궤적을 따르는 네 개의 시험 입자를 상상하자. 그림 31을 보라.
그림 31 : 유클리드 3차원 표현 공간에서 "방사형" 측지선을 따라 슈바르츠실트 구 위로 낙하하는 네 입자.
그림 32 : 슈바르츠실트 구에서 "반사"한 후 입자들은 쌍둥이 공간을 여행한다. 사면체가 뒤집힌다(거울상 이성질)
앞의 표현으로 돌아가자. 법선 벡터도 뒤집힌다 :
그림 33 : 그 표현 안의 특이한  = 상수 측지선. ( r ,, z ) 공간에서 (l = 1) 측지선들의 집합 안에서.