구(球)의 뒤집기
2004년 12월 8일
4페이지
베르나르 모랭(Bernard Morin)의 버전
B. 모랭과 J.P. 프티가 1979년 『Pour la Science』에 발표한 기사의 PDF 버전을 다운로드하려면
구(球)의 뒤집기
( 2.8 MB )
외부는 회색, 내부는 분홍색인 구(球)에서 시작하자.
b와 c에서는 구의 양극을 서로 접촉시킨다. 이후 면들은 '팔꿈치 재앙(catastrophe du coude)'에 따라 서로 침투한다. 이때 자기 교차하는 닫힌 곡선이 생성된다. 오른쪽 아래 세 개의 반단면은 얻어진 형태를 더 잘 이해할 수 있도록 도와준다. 이 단계에서 구는 일종의 원형 '고무보트'처럼 보이며, 이중벽 구조의 '튜브'와 '바닥'을 가지고 있다.
1단계: '팔꿈치 재앙'. 자기 교차 닫힌 곡선의 생성
두 번째 조작: 새로운 팔꿈치 재앙, 두 번째 닫힌 곡선의 생성.
자기 교차 닫힌 곡선의 두 번째 생성.
이를 위해 '고무보트'는 비틀림 운동을 하며 접혔고, 이를 통해 '튜브'의 정반대 위치 두 부분이 서로 접촉하게 되었다. 다음 그림은 '귤 조각' 생성으로 이어지는 두 번의 재앙의 결과이다.
두 개의 '귤 조각' 생성 후
왼쪽에는 모델에 단면을 냈다. 중앙에는 국부적으로 단면이 그리스 문자 '감마(γ)' 모양인 두 원기둥이 서로 침투한 방식이 나타나 있다. '귤 조각' 생성 재앙은 이면각(dihèdre)을 이루는 두 평면으로 '통나무'를 자르는 방식으로 이루어졌음을 기억하자. 단면이 '감마' 모양인 각 원기둥 구조는 둥근 단면과 이면각을 모두 포함한다. 그림 i를 주의 깊게 보라. j에서는 자기 교차 집합 전체를 그렸다. 가장 큰 닫힌 곡선 부분은 구를 '고무보트'로 변형시킨 첫 번째 '팔꿈치 재앙'에서 유래한다. 두 개의 귤 조각이 생성된 후, j'은 그 하위 집합인 더 복잡한 집합이 된다. j"에서는 이 구조가 정사면체의 인접하지 않은 두 모서리에 두 개의 '귤 조각'을 조립한 것과 비교될 수 있음을 볼 수 있다.
이 모든 것은 언젠가 애니메이션을 제작할 수 있게 되면 훨씬 더 쉽게 이해될 것이다. 기술적으로는 아무런 문제가 없다. 단순히 시간의 문제일 뿐이다. 공간을 보는 것, 즉 선, 점선, 색상, 그림자, 반사를 사용하는 이 코딩을 읽고, 제안된 운동을 상상하며 머릿속에서 변환을 연속적으로 수행할 수 있는 사람은 드물다. 언젠가 이 모든 일을 할 시간이 있기를 바란다. 참고로, 크로스캡(Crosscap)을 보이어 표면(Surface de Boy)으로 변환하는 방법을 보여줄 때처럼 다면체 모델을 사용할 수도 있다. 이것이 미래이다. 하지만 이러한 모델은 발명해야 한다. 이 문서 후반부에는 베르나르 모랭이 고안한 이 변환의 중앙 모델의 최적화된 다면체 버전과, 오려내기를 통해 직접 만드는 방법이 소개되어 있다 (그가 시각장애인임을 기억하자!).
왜 이 주제들을 더 깊이 파고들지 않았는가? '출구'가 없었기 때문이라고 말하겠다. 이러한 연구를 게재하는 수학 저널은 없다. 1975-78년 파리 과학 아카데미의 『Comptes Rendus』에 몇 편의 노트를 통해 이를 발표할 수 있었지만, 아마도 많은 사람이 읽지는 않았을 것이다. 이는 아카데미 회원 앙드레 리흐네로비츠(André Lichnérowicz)가 개인적으로 이 연구에 관심을 가졌기 때문이다. 그는 현재 고인이 되었다. 이 연구들은 1975년에 이미 완전히 완결되었으므로, 내 그림을 바탕으로 애니메이션 영화를 제작하는 것이 바람직했다. 나는 애니메이션 작업 경험이 있었기에 이러한 사업을 조율할 능력이 충분했다. 그러나 CNRS에서 자금을 확보하는 것이 불가능했고, 결국 미국 수학자 넬슨 맥스(Nelson Max)가 그의 동료 찰스 퓨(Charles Pugh)가 만든 모형(이 구 뒤집기 버전과 동일)에서 영감을 받아 강력한 컴퓨터를 사용하여 최초로 영화를 제작했다. 하지만 프랑스인들이 노력에 대한 아무런 반향을 얻지 못해, 더 잘 조직되고 더 잘 지원받은 외국인 동료들에게 먼저 결승선을 통과당하는 일은 처음도 마지막도 아니다.
세 번째 단계로 넘어가자. 가장 파악하기 어려운 단계이다.
두 개의 '바지 재앙' 준비
그림 k에서는 '바지 다리'의 두 끝부분이 잘 구분되며, 그 세부 사항은 전경 k'에 나타나 있다. 흰색 화살표는 '사타구니'를 통과하는 경로를 나타낸다. 이 변환은 정말로 파악하기 어렵다. 더 잘 이해되기를 바라며 그림 m을 추가했다. l에서는 점선으로 자기 교차 곡선을 나타냈으며, 전체는 l'에 있다. 하나의 경로(흰색 화살표가 지나가는 경로)가 닫힐 것이다. 이 닫힘 운동은 교차 곡선의 일부가 두 곳에서 상승하는 것과 함께 일어난다. 이 곡선 끝부분들은 각각 '귤 조각'에 속하는 선 중 하나와 접촉하게 된다. 접촉이 일어나면 수술(변형)이 수행된다. 어려움은 앞 페이지에서 네 가지 기본 재앙을 보았더라도, 필요하면 목의 척추를 비틀어가며 모든 각도에서 그것들을 변환할 수 있어야 한다는 점에 있다. n에서는 수술이 수행되는 임계 순간(변환의 "중간 상태")과 곡선 끝부분의 연결 방식이 변경되는 방식을 나타냈다. 이 '바지 재앙'은 하나의 통로를 닫고 다른 하나를 열기를 안다. 초기 통로는 흰색 화살표로 나타낸다. 그러나 모델의 수직축을 중심으로 180° 회전시켜 같은 각도에서 보면 볼 수 있는 또 다른 통로가 존재한다. 이 화살표들은 사실상 하나의 화살표이다. 이러한 재앙들이 일어나기 전까지는 이 '접힌 고무보트' 내부에서 이동하는 것이 가능하다. 이러한 재앙들이 효과를 발휘하면 이 통로는 더 이상 가능하지 않게 된다. 대신 두 개의 다른 통로가 생성된다. 하지만 어디에, 공간의 어떤 부분이 관련되는가? 이 통로들은 귤 조각의 내부와 외부를 연결할 것이다. l'에서 이 귤 조각들을 볼 수 있다. 다음 단계로 넘어가자.
통로의 닫힘. 이중 임계 상황으로
o에서는 두 개의 '바지 재앙'을 서로 다른 두 단계에서 나타냈다. 하나의 통로는 완전히 닫혔다. 곡선 호의 연결 방식이 변하기 직전의 임계 상황이다. 오른쪽(그림 o'의 세부 사항)에서는 통로가 닫히는 중이다. 따라서 자기 교차 곡선 o"의 모습은 오른쪽과 왼쪽에서 다르다. 그림 p, p', p"에서는 양쪽 모두에서 임계성(변환의 '중간 상태')에 도달했다. 다음 판에서는 수술들이 효과를 발휘했다. 그림 p"에서 형성되기 시작했던, '귤 조각'을 외부와 연결하는 튜브들이 이제 완성되었다:
두 개의 '바지 재앙'이 효과를 발휘했다. 통로(흰색 화살표)가 열렸다.
이제 작업은 모델의 하단 부분을 다루며 계속될 것이며, 그 세부 사항은 r에 표시되어 있다. 이 표면 부분을 주의 깊게 보자. 서로 직교하는 두 방향으로 향하는 두 개의 포물면 원기둥 부분이 교차하는 것을 볼 수 있다. r의 하단, 독자를 향하는 쪽에 통로가 존재한다. 이 두 원기둥을 서로 대해 미끄러뜨리는 것을 고려하자. 이는 이 통로를 닫고 수직 방향('좌에서 우로')의 다른 통로를 여는 효과가 있을 것이다. 여기서 새로운 '바지 재앙'을 인식할 수 있다. 이 포물면 원기둥 부분들의 수직 미끄러짐이 일어나면, 면들의 연결 방식이 변하는 새로운 임계 상황에 다시 도달하게 된다. 그러나 실제로는 단순한 절약 차원에서, 독자를 향하는 통로가 닫히고 수직 방향의 통로는 아직 열리지 않은 '중간 상태'의 임계성에서 '과정'을 중단할 것이다. 그렇게 하자.
새로운 바지 재앙, L에서 시작되어 오른쪽에서 임계성에서 중단됨.
L에서는 외부가 분홍색인 원기둥에 '압력'을 가해 위로 상승시킨다. c'에서는 이 운동이 자기 교차 집합 전체에 미치는 영향을 볼 수 있다: 곡선 호들이 서로 가까워지기 시작한다. 임계성에 도달하면 이 부분의 모습은 그림에 나타난 '계란 거품기'와 유사할 것이다. 오른쪽 그림들, t, t', t": 임계성, 즉 '재앙의 중간 순간'에 도달했다. t"에서는 자기 교차 집합의 모습이 나타나며, 하단 부분은 우리의 계란 거품기와 동일하다. 그림 t'은 작은 사면체 부피를 나타낸다. t'''에서는 네 개의 면이 교차하는 모습을 나타냈다.
아스피린 한 알을 삼키시오.
이 구 뒤집기 버전에서는 모든 변환과 재앙을 완결해야 한다. 그러나 방금 언급한 재앙을 중간 상태인 '임계' 구성에서 멈출 것이다. 이후 아직 사용하지 않은 재앙을 시작할 것이다: 사면체를 뒤집는 재앙. 하지만 여기에서도 사면체가 한 점으로 축소되는 '중간 상태'에서 멈출 것이다. 자, 시작하자!
마지막 재앙, 중간 단계에서 멈춤: 사면체가 4중 점 Q로 축소될 때
t'''에서는 자기 교차 집합이 사면체 모양의 부피를 포함하는 네 개의 면 구성의 암시를 나타낸다. u"에서는 이 사면체가 한 점(네 개의 면이 교차하므로 4중 점)으로 축소되었다. 왼쪽에는 '모랭의 4귀 모델'이 구성되었다. 전경에는 자기 교차 집합이 있으며, 아래에는 '계란 거품기'가, 위에는 '토끼 귀'를 연상시키는 4개의 고리가 있다. 표면을 약간 변형하되 새로운 재앙을 수행하지 않으면 오른쪽에서 모랭의 4귀 중앙 모델에 도달한다. 이 모델은 4차 대칭성을 가진다. 수직 대칭축을 중심으로 90° 회전시키면 같은 그림이 얻어지지만, 색상이 교환된다. 회색은 분홍색이 되고 그 반대도 마찬가지이다. 그러면 작업이 완료되었다고 말할 수 있다. 실제로 전체 호모토피를 그리려면, 애니메이션을 사용하여 이 중앙 모델을 90° 회전시키면 된다. 이후 우리가 만든 모든 그림을 색상 교환 상태로 역순으로 진행하면 된다. 최종적으로 외부가 분홍색인 구의 매몰(immersion)을 얻게 된다. 하지만 수학은 게으름의 학교이거나, 혹은 관점에 따라 절약의 학교이다. 작업이 이 4차 대칭성을 가진 대상에 도달했다면, 작업이 성공적으로 수행되었다고 말하며 여기서 멈출 수 있다.
다음 판에서는 모랭의 열린 중앙 모델을 가능한 한 상세하게 묘사하려고 노력했다. '귀가 닫힌' 모델도 존재하며, 이를 아카데미에 다른 노트에서 설명했지만 여기서는 생략하겠다.
모랭의 4귀 중앙 모델 상세 묘사
이후 4귀 중앙 모델의 다면체 표현을 발견했다. 사실 이러한 모델에는 '위'도 '아래'도 없다. 그림 및 애니메이션 제작의 편의를 위해(이 이미지들은 1980년대 초 내가 개발한 CAD 소프트웨어로 얻었다) 다음 애니메이션은 이중 점을 위쪽으로 향하게 하여 모델을 보여준다. 4중 점도 볼 수 있다:
나의 4귀 모델 다면체 버전
오려내기 요소(인쇄 후 두 가지 색상으로 두꺼운 종이 4장에 복사)
초기 애니메이션에서는 물체가 위 그림에 대해 '거울상'이었다. 따라서 '위에서 보면' 갈고리 십자(swastika) 모양이었으며, 전체는 일종의 '신나치당의 문화회관'을 연상시킬 수 있었다. 극우파 건축가들에게 나쁜 아이디어를 주지 않기 위해 물체를 반전시키는 것을 선호했다. 이 물체를 직접 조립하는 방법에 대한 모든 설명은 여기를 클릭하여 확인하라. 마지막으로, 이 물체의 몇 가지 뷰를 소개한다.
구 뒤집기에 대한 이 회상을, 놀랍지만 완전히 사실적인 일화로 마무리하겠다. 이러한 변환들이 극소수의 전문가들만 알던 시절, 한 후원자는 충분히 명료한 모델을 제작한 사람에게 100만 달러의 상금을 제공했다. 버클리의 수학자 찰스 퓨는 이 작업에 착수하여 완수했다. 그는 그 돈으로 집을 살 수 있었다. 닭장용 철망으로 제작되고 각각 직경이 1미터가 넘는 이 모델들(퓨는 놀라운 손재주로 자기 교차를 허용하며 구조의 고리를 자르고 다시 연결했다)은 수년간 버클리 수학과의 카페테리아 천장을 장식했다. 그러다 어느 밤, 그것들은 도난당했고 다시는 찾을 수 없었다. 누가 범행했는지도 알 수 없었다. 상업적으로는 루브르의 모나리자보다 팔기 어려웠을 것이다. 아마도 한 수집가가 비밀 지하실에 보관하며 매일 밤 내려가 "이것을 볼 수 있는 유일한 사람은 나뿐이다"라고 기뻐하고 있을지도 모른다.
이번에는 보이어 표면에 관한 또 다른 일화가 있다. 나는 이 표면의 자오선 곡선을 타원족(ellipse family)으로 식별하여 최초로 위치를 규명했다. 이 작업은 내가 제작한 금속 모델을 바탕으로 완전히 경험적으로 수행되었다. 수학자 장마리 수리아(Jean-Marie Souriau)의 아들 중 한 명인 제롬(Jérôme)은 당시 물리학을 전공하고 있었다. 그는 아버지의 애플 II 마이크로 컴퓨터를 사용하여 이 대상의 첫 번째 매개변수 표현을 구축하는 데 성공했다:
X = X ( alpha , mu )
Y = Y ( alpha , mu )
Z = Z ( alpha , mu )
Dreamweaver에서 Symbol 글꼴을 포함시켜 htm 페이지에 그리스 문자를 넣는 방법을 모르겠다.
&&& 누군가 방법을 설명해 줄 수 있다면......
10줄의 BASIC 프로그램을 사용하여 1981년 처음으로 화면에 보이어 표면의 '와이어 프레임' 이미지를 나타낼 수 있었다. 만약 다른 사이트에서 이 대상의 합성 이미지를 발견한다면, 그것들은 항상 과학 아카데미에 게재된 이 작업(권 293, 1981년 10월 5일 회의, 시리즈 1, pp. 269-272)에서 얻어진 것이다. 이 작업의 저자가 J.P. Petit과 J. Souriau로 서명되어 있어, (드문) 독자들은 J. Souriau가 유명한 수학자라고 생각한다. 사실 이는 그의 아들 제롬이며, 그는 물리학 학사 학위를 끝내지 못하고 프로그래머로 일하는 것을 선호했다. 에콜 폴리테크니크의 폴리테크니시앙 콜로나(Colonna)가 제작한 많은 합성 이미지들이 제롬과 내가 발견한 이 방정식들을 기반으로 하고 있음을 쉽게 알 수 있다. 이 이미지들은 개선될 여지가 있으며, 이러한 마무리 작업의 부족으로 인해 표면은 극 근처에서 세 개의 보기 흉한 주름을 보인다. 이러한 '와이어 프레임' 표현을 구축하는 프로그램은 다음과 같다.
『Topologicon』에서 발췌한 프로그램:
마지막 일화는 더욱 놀랍다. 약 20년 전, 나는 다이버 자크 마욜(Jacques Mayol)과 함께 바하마 남부에서 수중 탐사에 참여했다. 목적은 샤를 베를리츠(Charles Berlitz)의 베스트셀러 『버뮤다 삼각지대』에서 존재가 언급된 '침몰한 피라미드'를 발견하는 것이었다. 정확히 말하면 이 피라미드는 플로리다와 쿠바 중간 지점, Cay Sal Bank 암초 남쪽에 위치해야 했으며, 이 지역은 상당히 위험한 심해 상어로 들끓었다. 하지만 탐사에는 때때로 위험을 감수할 줄 알아야 한다.
우리는 피라미드도, '막대기 끝의 버터'도 찾지 못했다. 우리는 매우 부유한 이탈리아인 금융가의 도움으로, 30미터 길이의 멋진 요트에 올라타 매우 강력한 엔진을 갖추고 현장에 도착했다. 피라미드가 없자, 나는 이 백만장자에게 기하학 이야기를 하기 시작했고, 수학 표면 제작을 후원하면 파리 리도 쇼걸들을 저녁 식사에 초대하는 것보다 더 무의미하게 돈을 쓸 수 있는 방법을 찾을 것이라고 설명했다. 이름은 밝히지 않겠지만 진짜 이름이 카를로(Carlo)인 이 남자는 몇 개의 모델 제작을 후원하기로 동의했고, 구리 와이어 조작 능력이 나보다 뛰어난 한 조형 예술가가 이를 '다듬었다'. 이 금융가는 결국 금 와이어로 만든 모델을 제작하여 거실에 놓기를 원했다.
그러던 어느 날, 갑자기 연락이 끊겼다. 결국 밀라노에 있는 그의 사무실에 연락을 시도했다. 하지만 그는 이탈리아 'P2 로지(Loge P2)' 사건의 2인자로 지목되어 수감되었다는 사실을 알게 되었다. 그는 몇 달 후 판사들을 매수하여 감옥에서 나올 수 있었다. 유감스럽게도 그 이탈리아인은 이후 수학에서 관심을 돌렸다. 이 사건을 통해 바하마 탐사의 실제 목적을 이해할 수 있었다. 사실 그의 멋진 요트는 이탈리아에서 바하마 나소로, 아마도 마약 밀매에서 나온 자금을 운반하는 데 사용되었다. 우리가 그 항구에 기항했을 때, 배의 주인이자 우리의 주인이었던 그는 배 안에 마련한 숨겨진 장소로 사라졌고, 항만 경찰이 검사를 마치고 승선자 신원을 확인한 후 육지로 돌아간 후에야 모습을 드러냈다. 그는 그때 나소의 은행으로 향했으며, 내용물이 매우 무거워 보이는 서류 가방을 들고 있었는데, 그 안에는 아마도 현금으로 상당한 부가 들어 있었을 것이다. 당시 우리는 Cay Sal Bank에서 상어에게 잡아먹히지 않을 방법을 걱정하고 있었기 때문에, 이 세부 사항에 중요성을 두지 않았으며, 나중에야 비로소 기억이 떠올랐다.
프랑스로 돌아온 후, 나는 파리의 그랑 팔레(Grand Palais)에 위치한 팔레 드 라 데쿠베르트(Palais de la Découverte) 수학 부서 책임자에게, 내가 전시를 제안했고 실제로 20년 동안 전시되었던 모델이 마약 거래에서 나온 자금으로 제작되었다고 말한 실수를 저질렀다. 예방 차원에서 그는 그 대상 옆에 어떤 언급도 하지 않았으며, 발명자의 이름이나 내 이름조차도 적지 않았다. 이 대상은 20년간 '파이(Pi) 홀' 중앙에 완전히 수수께끼처럼 놓여 있었다.
과거에는 투탕카멘 왕의 무덤 발견과 관련된 저주가 있다고 말한 적이 있다. '보이어 표면의 저주'라는 것이 존재하는지는 모르겠다. 확실한 것은(이것은 완전히 사실이다) 발명자가 신비롭게 사라졌으며, 이 대상은 험프리 보가트 주연의 영화 『말타의 매』처럼 시칠리아 마피아와 관련된 이야기들과 얽혀 있다는 것이다. 박물관 측이 이 대상을 수장고로 옮겨 보관한 것이 단순한 예방 조치였는지도 의문이다.
팔레 드 라 데쿠베르트의 수장고는 일반인에게 공개되지 않으며, 이집트 왕가의 계곡에 있는 파라오의 지하 무덤과 유사하다. 제2차 세계대전이 파리를 초토화한 후 수년 뒤, 한 탐험가가 우연히 이 대상을 발견할지도 모른다. 이 대상이 새로운 희생자를 만들지도 모른다. 누가 알겠는가?
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