구의 뒤집기와 클라인 병의 임베딩

구의 뒤집기

2004년 12월 7일

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서론

이후에 다룰 표면들은 구, 토러스, 그리고 몇몇 다른 폐곡면을 포함한다. 이들은 일상적으로 우리가 이해하는 '표면'이라는 의미에서, 2차원의 물체로서 3차원 유클리드 공간 R³(우리가 상상하는 공간)에 표현된 것이다. 이러한 표면은 여러 가지 방식으로 표현될 수 있다. 표면이 자기 자신과 겹치지 않는다면, 우리는 이를 침입(embedding)이라고 부른다. 반면 자기 자신과 겹친다면, 이를 임베딩(immersion)이라 하며, 그 겹침은 자기 교차 집합(self-intersection set)으로 나타난다.

침입의 경우, 접선 평면이 연속적으로 변한다고 가정하며, 콘의 꼭짓점처럼 특이점이 발생하지 않는다고 본다. 이러한 표면은 정칙하다고 한다.

임베딩의 경우, 자기 교차선을 따라 교차하는 두 겹의 표면의 접선 평면이 서로 다를 것을 요구한다.

수학자가 이해하는 기하학의 세계는 물리적 세계와 매우 다르다. 표면이 자기 자신을 통과할 수 있다는 사실은 그에게 전혀 문제가 되지 않는다. 그러나 물리적 세계에서는 이런 일이 불가능하다. 그러나 초월적인 세계에서는 가능해진다. 성경에서는 죽은 자들이 부활할 때 "영광스러운 몸"을 입는다고 기록되어 있다. 그들은 어떤 것도 통과할 수 있고, 본질적으로 자기 자신을 통과할 수도 있다. 따라서 최후의 심판의 시기가 오면, 당신이 영광스러운 몸으로 로마를 걷고, 길을 잃어 나보나 광장(Plaza Navona)을 찾고 있다면, 당신과 비슷한 외형을 가진 또 다른 부활한 사람에게 길을 묻고 싶을지도 모른다. 그런데 그 사람이 당신이 원하는 방향과 반대 방향으로 걷고 있다면, 일반적인 물리적 공간에서는 그가 자신을 회전시켜 손가락을 그 방향으로 가리켜야만 길을 알려줄 수 있다. 그러나 그가 영광스러운 몸으로 걷고 있다면, 회전은 필요 없다. 그는 손가락을 배꼽에 대고 자신을 통과시킬 수 있다. 손이 등에서 다시 나타날 때, 그는 단지 "그쪽이야"라고 말하면 된다. 손을 배에 넣어 자신을 통과시키면서, 그의 몸 껍질 안에는 두 개의 원으로 이루어진 자기 교차 집합이 생기게 되며, 그가 정상적인 형태로 돌아올 때 사라진다.

만약 사람이 입을 다물고, 코를 막기 위해 빨래집게를 코에 끼우며, 다른 자연적인 구멍들을 무시한다면, 그의 몸 껍질은 2차원 구(S²)의 위상 구조를 갖게 된다. 영광스러운 몸으로 부활한 존재가 이러한 자연적 구멍들을 막고 있다면, 그는 자기 자신을 통과할 수 있다. 즉, 그의 몸 껍질은 침입 상태에서 임베딩 상태로 전환될 수 있다. 이에 따라 생긴 철학적 문제 중 하나는, 영광스러운 몸으로 부활한 사람이 스스로를 뒤집을 수 있는지 여부였다.

간단한 메모: 마술사들은 '마법의 원'을 이용해 서로를 마법처럼 뚫고 지나갈 수 있다. 마치 '마법의 격자'를 이용해 표면을 표현할 수 있을 것이다. 여기서 검은색과 분홍색으로 표현된 두 겹의 표면이 마법처럼 서로를 통과할 수 있도록 상상해볼 수 있다.

마법의 격자

어쨌든, 수학과 마술 사이에 큰 차이가 없다는 것을 인정해야 한다. 20년 전에 나는 만화책 '톱로지콘(Topologicon)'을 만들었다. 지금은 완전히 품절되어 수집품 외에는 찾을 수 없다. 한 페이지에는 다음과 같은 그림이 있었다:

벨랭 출판사가 이 시리즈를 포기한 것은 매우 안타까운 일이다. 제작 비용이 불과 1유로를 넘지 않는데, 13유로(배송비 별도)에 판매하는 것은, 판매가의 92퍼센트 이상이 이익이라는 점에서, 특히 흑백만을 사용한 경우, 매우 명백한 상업 전략이라기보다는 이상한 전략이었다.

R³에 침입된 2차원 구(S²)를 생각해보자. 표면의 바깥은 회색이고, 안쪽은 옅은 분홍색이라고 가정하자. 우리는 임의로 '북극'과 '남극'이라고 부르는 두 반대점에 손을 대어, 둘을 한 점에서 만날 때까지 눌러보자. 예를 들어 벤티지로도 이 작업을 할 수 있다. 수학적 벤티지(부활한 벤티지가 있는지 여부는 알 수 없음)의 경우, 두 극 지역이 한 점에서 접한 후, 원형의 자기 교차 곡선을 따라 서로를 통과시킬 수 있다. 미리 말하자면, 이 표면은 'Do 유형의 재앙'을 겪었다고 할 수 있다.

그러면 우리는 벤티지나 구를 계속 뒤집어보려는 유혹을 느낄 수 있다. 그러나 그 과정에서 주름이 생기게 되고, 이는 심각한 주름, 더 정확히는 '뒤집힘 표면'(figure d)으로 악화된다.

1950년대 후반, '마법의 벤티지를 주름 없이 뒤집을 수 있는가'라는 문제는 여전히 해결되지 않은 채로 남아 있었다. 사실, 대부분의 사람들은 이것이 절대 불가능하다고 생각했다. 그러나 1957년 수학자 스티븐 스메일(그는 다른 업적을 위해 필드상을 수상했다)은 구 S²의 R³ 내 임베딩이 모두 하나의 집합을 이룬다는 것을 증명했다. 또한, 어떤 상태에서 다른 상태로 이동할 수 있는 연속적인 변형(정칙 호모토피라 불리는)이 항상 존재함을 보였다. 그 결과, 표준 구 침입 상태에서 반대점 침입 상태로 이동하는 것이 가능하다는 결론이 도출되었다. 더 쉽게 말하면, 구를 주름 없이 뒤집을 수 있으며, 단지 자기 자신을 뒤집을 수 있도록 허용하면 된다는 것이다.

스메일의 지도교수는 라울 보트였다. 그는 제자에게 어떻게 해야 할지 물었고, 스메일은 전혀 몰라서, 자신의 정리가 완전히 공격 불가능하다고 답했다. 스메일은 공간을 상상하지 못했지만, 그는 전혀 신경 쓰지 않았다(많은 기하학자들이 그렇듯). 그리고 정리 증명 후, 그는 실제로 어떻게 이 일을 구현할지에 대해 전혀 신경 쓰지 않았고, 다른 주제로 관심을 옮겼다. 이로 인해 동료 수학자들은 큰 혼란에 빠졌다. 나는 이렇게 문제를 만들고 나서 10년 후에 다른 사람이 해결하도록 놔두는 것은 그리 친절한 행동이라고 생각하지 않는다.

사실, 머릿속에서 임베딩을 상상하는 것은 매우 어렵다. 그러나 R³에서는 표현할 수 없는 표면들이 존재한다. 예를 들어 클라인 병이다.

클라인 병

여기서는 토러스와 유사하게, 닫힌 곡선의 두 집합으로 이루어진 메시 시스템과 좌표계를 사용해 클라인 병을 표현했다. 이 방법으로 메시를 만들 때 메시의 특이점이 생기지 않는다. 그러나 보는 바와 같이, 이 표면은 반드시 닫힌 곡선, 즉 원을 따라 자기 자신을 통과하게 된다. 따라서 클라인 병은 R³에 침입할 수 없다. 나는 시도해보았지만, 안 되었다. 오직 임베딩만 가능하다. 내 그림 실력 덕분에 이 물체를 어느 정도 상상할 수 있다. 그러나 구를 뒤집는 경우, 훨씬 더 복잡한 구성이 필요했다. 이를 표현하는 방법은 그리 편리하지 않았다. 일부는 모형을 만들기 위해 점토를 사용했다. 학회에서 서로 논의할 때, 그들은 보통 멀리 떨어져 앉아, 신발 상자나 모자 상자 안에 있는 좀 더 기괴한 물체들을 보여주곤 했다. 위의 그림은 이러한 물체를 만드는 가장 편리한 방법을 보여준다. 바로 '구리 철사'를 사용하는 것이다. 이 합금은 구부리기 쉽지만, 여전히 탄성을 유지한다. 가장 좋은 방법은, 선의 교차점(2mm 지름의 막대를 권장)을 실로 묶어 고정하는 것이다. 이 방법의 장점은, 물체가 최종 형태를 갖출 때까지 실을 미끄럽게 움직일 수 있다는 점이다. 최종 형태가 결정되면, 접착제로 미끄러짐을 제거할 수 있다.

실제로 클라인 병을 사용하는 경우는 드물다. 아래는 내가 개인적으로 사용하는 클라인 병의 사진이다.

이러한 물체는 어느 정도 형태 감각이 있다면 충분히 아름답다. 나는 아르스-프로방스 미술학교 교수 시절, 여러 개를 제작했다. 그러나 그 전에는 철사와 종이를 섞어 실험하다가, 매우 미적 가치가 낮은 결과를 얻기도 했다. 기억에 남는 일은, 한 번은 마르세유에서 파리로 가는 기차를 타고, 내 마음 깊이 사랑했던 수학자 안드레 리크네로비츠에게 내가 충분히 설명 가능한 표현을 만들어낸 몇 가지 표면을 가져갔다. 특히 보이 표면(Boy's surface)은 한 극 중심의 지도를 붙여 만들었는데, 그 결과는 정말 놀라운 물체가 되었고, 파리의 '발견의 궁전'의 10번 방에서 20년간 전시되었다. 그러나 1년 전, 박물관 관리부는 이 표면이 유행을 놓쳤다고 판단하여, 지금은 창고나 지하실에 방치되어 있다. 운 좋게도 운반 과정에서 깨지지 않았기를 바란다. 이 모든 이야기를 하려는 것은, 이제는 책이나 내가 18편의 과학 만화를 PDF 형식으로 담아낸 CD-ROM 외에는 보이 표면을 어디에서도 볼 수 없기 때문이다. CD-ROM 구입 방법

그러나 다시 마르세유에서 파리로 가는 여정으로 돌아가자. 나는 이미 두 개의 짐을 가지고 있었고, 세 개의 모형을 가지고 가기로 결정했다. 유일한 해결책은 목에 걸고 다니는 것이었다. 그러나 기차역 홀을 지나가며 사람들이 나를 보는 눈빛을 보고, 내가 정신병원에서 나온 정신병자처럼 보인다는 것을 깨달았다. 그들에게 반박하는 것은 무의미했고, 나는 가능한 최대한의 위엄을 유지하며 그 고통을 견뎌냈다.

재미있는 것은, 이런 물체를 만드는 사람은 매우 드물다는 점이다. 미국에는 버클리 대학 수학과에 근무하던 수학자 찰스 푸가 있었다. 나중에 다시 언급할 기회가 있을 것이다. 푸가는 닭장용 철사에 정말 뛰어났지만, 나는 개인적으로 구리 철사를 더 선호했다.

이제 구의 뒤집기 이야기로 돌아가자. 이 문제를 처음 해결한 사람은 기하학자 앤서니 필립스였다. 그는 1967년 '사이언티픽 아메리칸'지에 일련의 그림을 통해 자신의 작업을 발표했다. 구를 뒤집는 방법은 여러 가지가 있다. 그 중 하나는 구의 각 점을 그 반대점과 일치시키는 것이다. 그러면 표면은 보이 표면의 형태를 갖게 된다. 나는 항상 보이 표면으로 접힌 지구를 표현하는 아름다운 조각품을 만들 수 있는 후원자를 찾고 싶어 했다. 실현이 어려워서, 나는 '톱로지콘'의 표지에 이를 그려냈다:

보이 표면에 접합된 지구

이러한 구성에서 북극에 구멍을 파면, 즉시 반대편 남극에서 나온다. 왜냐하면 두 점이 반대점이기 때문이다. 프랑스인이 지하실을 파면 뉴질랜드에 도착하게 된다.

앤서니 필립스가 발견한 방법은 실제로 구가 보이 표면의 이중 겹침 형태로 구성되는 방식을 설명하는 것이다. 보이 표면은 당연히 단면 표면이다. 만약 마법의 제품인 '통과성'이 있다면, 표면이 스스로를 통과할 수 있게 해주는 것이며, 각 점을 그 반대점과 실로 연결한 후, 실을 길이가 0이 되도록 수축시킨다면 된다. 이 변형을 쉽게 표현할 수 없다면, 구의 일부, 예를 들어 적도 근처를 고려해볼 수 있다. 다음 애니메이션은 이를 보여준다. 이 표면은 두 개의 원형 가장자리를 가진 자전거 휠의 림과 비슷하다. 반대편에 있는 세 개의 반지름이 그려져 있다. 이 반지름의 길이를 0으로 줄이면, 이 이중면은 세 번 반전된 모비우스 띠의 이중 겹침 형태로 구성된다. 아래는 다소 대충 그려진 두 애니메이션이다. 왼쪽은 느리고, 오른쪽은 빠르다.

이 세 번 반전된 모비우스 띠는 보이 표면의 '적도 근처'이다. 구의 적도는 이 띠 위에 감겨 있다.

보이 표면의 '적도'

구의 두 극은 보이 표면의 유일한 극점에 일치한다. 이 표면은 클라인 병과 마찬가지로 R³에 침입할 수 없다. 오직 임베딩으로만 표현할 수 있다. 이 경우, 자기 교차 집합은 세 개의 날개를 가진 나선형의 형태를 가지며, 세 개의 '귀'처럼 보이는 끝이 보인다. 다음 페이지에서는 이 표면을 더 잘 이해하기 위한 요소들을 제공한다. 문제가 생기면 '톱로지콘'을 구입하라.

위 왼쪽에는 보이 표면이 있다. 이 표면은 단면이므로 두 가지 색을 사용할 수 없다. b에서 자기 교차 집합이 삼엽형으로, 나선의 날개를 연상시킨다. 곡선은 한 점에서 삼중 교차점 T를 형성한다. 다음 그림들은 독자가 이해하는 데 도움을 준다.

표면의 구조를 설명하기 위해 다양한 방법이 사용될 수 있다. 띠, 부품을 붙이는 방식 등. 이 물체는 정말 매력적인 실체이므로 조각가에게는 완벽한 소재가 될 것이다. 간단한 역사적 메모를 덧붙이자면, 1901년 독일의 거대한 수학자 힐베르트의 학생인 베르너 보이가 자신이 처음으로 생각해낸 표면을 그에게 보여주었다. 방학이 거의 다가오고 있었다. 힐베르트는 학생에게 말했다.

- 이 문제는 흥미롭게 보인다. 원한다면, 다시 돌아와서 함께 논의하자.

방학이 지나갔지만, 보이는 돌아오지 않았다. 두 달 후, 힐베르트는 그를 찾으려 했고, 다른 학생들이 그의 주소를 알려주었다. 그러나 그는 그의 주소로 찾아갔지만, 보이의 숙소 주인은 젊은 베르너 보이가 여름 전에 열쇠를 돌려주고 더 이상 나타나지 않았다고 말했다. 그를 찾기 위한 모든 노력은 실패했으며, 그의 가족도 찾을 수 없었다. 그는 마치 공기처럼 사라졌다. 만약 독일을 방문한다면, 이 유명한 발명가의 묘지에 갈 수 없다. 그의 묘지는 존재하지 않는다.

마지막 그림, 아래 오른쪽에는 보이 표면 자체를 흰색으로, 그 위에 덮인 구의 두 면(회색과 분홍색)을 색으로 표현했다. A와 A'는 이 구에서 반대점이다. 따라서 보이 표면의 이중 겹침이 어떻게 구를 뒤집는 데 사용될 수 있는지 이해할 수 있다. 우리가 구의 바깥이 분홍색, 안쪽이 회색인 상태에서, 아래 오른쪽의 그림으로 변형하는 정칙 호모토피를 가진다고 가정하자. 그러면, 두 겹을 서로 교차시키며, A와 A'를 교환하고, 이전의 변형을 역순으로 수행하면, 이번에는 회색이 바깥쪽을 향한 반대점 침입 상태의 구에 도달하게 된다.

이와 유사한 논리로, 토러스가 이중 겹침 형태로 클라인 병을 구성할 수 있을 것으로 기대할 수 있다. 이 이중 겹침은 다음과 같다.

클라인 병의 이중 겹침

토러스를 이와 같이 구성할 수 있다면, 다시 한 번 클라인 병(여기서는 표현되지 않음) 양쪽에 있는 인접한 겹을 교환하고, 역순으로 연산을 수행하면, 뒤집힌 토러스에 도달할 수 있다. 이 작업은 1979년 1월 'Pour la Science'지에 B. 모린과 J.P. 페티의 공동 논문으로 발표되었다. 나는 그림을 담당했고, 모린은 글을 썼다. 이 논문에서 모린은 많은 사람을 인용했지만, 나를 빼먹었고, 46~47페이지에서 내가 이 작업의 발명자임을 언급하지 않았다. 그러나 동료와 긴밀히 협업할 때 이런 일은 자주 발생한다. 당신도 아는 것처럼, 수년간 함께 일하면서 너무 익숙해져서, 누구도 잊지 않겠다는 생각에 결국 그 사람을 잊게 되는 것이다. 마치 가구처럼 느껴진다. 자세한 내용은 1978년 11월 20일, 나의 이름으로 '파리 과학 아카데미 회보'에 '비자연적인 토러스 뒤집기'라는 제목으로 발표되었다. 논문은 아카데미아인 안드레 리크네로비츠에 의해 제출되었다.

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