구의 뒤집기와 클라인 병의 임베딩
구의 뒤집기
2004년 12월 7일
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서론
이후에 다룰 표면들은 구, 토러스, 그리고 몇몇 다른 폐곡면을 포함한다. 이들은 일반인들이 이해하는 의미에서의 표면, 즉 2차원의 물체로, 3차원 유클리드 공간 R³(우리가 상상하는 공간)에 나타낸 것이다. 이러한 표면들은 여러 가지 방식으로 표현될 수 있다. 표면이 스스로와 교차하지 않는다면, 이를 정칙 임베딩(plongement)이라고 한다. 반면에 스스로와 교차하는 경우는 임베딩(immersion)이라 하며, 그 교차는 자기교차 집합(self-intersection)으로 나타난다.
우리가 고려하는 임베딩에서는 접선 평면이 연속적으로 변한다고 가정하고, 예를 들어 원뿔의 꼭짓점처럼 특이점이 생기지 않도록 한다. 이러한 표면들은 정칙하다고 한다.
임베딩의 경우, 자기교차선을 따라 교차하는 두 겹의 표면에 대한 두 접선 평면이 서로 다를 것을 요구한다.
수학자가 이해하는 기하학의 세계는 물리적 세계와 매우 다르다. 표면이 스스로를 통과할 수 있다는 사실은 그에게 전혀 문제가 되지 않는다. 그러나 물리적 세계에서는 이러한 일이 불가능하다. 하지만 초월적인 세계에서는 가능해진다. 성경에는 죽은 자들이 부활할 때 '영광스러운 몸'을 입는다고 기록되어 있다. 그들은 어떤 물체를도 통과할 수 있고, 본질적으로 스스로를 통과하는 것도 가능하다. 따라서 마지막 심판의 시기가 오면, 영광스러운 몸으로 로마를 산책하는 당신이 길을 잃고 나보나 광장을 찾고 있다면, 당신과 비슷한 외형을 가진 다른 부활한 사람에게 길을 물어볼 수도 있다. 그런데 그 사람이 당신이 원하는 방향과 반대 방향으로 걸어가고 있다면, 물리적 공간에서는 그가 자신을 돌려서 손가락으로 방향을 가리켜야 한다. 그러나 그가 영광스러운 몸으로 걷고 있다면, 그 회전은 필요 없다. 그는 손가락을 배꼽에 대고 자신을 통과시킬 수 있다. 손이 등에서 다시 나올 때, 그는 단지 "그쪽이야"라고 말하면 된다. 손을 배 속으로 밀어넣는 순간, 그의 몸속에 두 원으로 이루어진 자기교차 집합이 생기게 되며, 그가 정상적인 형태로 돌아올 때는 그 집합이 사라진다.
만약 사람이 입을 다물고, 코를 막는 핀을 코에 끼워서 자연스러운 구멍을 막는다면, 그의 몸은 S² 구면의 위상 구조를 갖게 된다. 영광스러운 몸으로 부활한 존재가 자연적인 구멍을 모두 막고 있다면, 그는 스스로를 통과할 수 있다. 즉, 그의 몸은 정칙 임베딩 상태에서 자기교차를 가진 임베딩 상태로 전환할 수 있다. 이에 따라 등장한 철학적 문제 중 하나는, 영광스러운 몸으로 부활한 사람이 스스로를 뒤집을 수 있는가 하는 것이었다.
간단한 메모 하나. 마술사들은 서로를 통과시킬 수 있는 '마법의 원형'을 이용한다. 표면을 마법의 '메쉬'로 표현하는 것도 상상해볼 수 있다. 여기서 검은색과 분홍색으로 표현된 두 겹의 표면이 마법처럼 서로를 통과할 수 있도록 한다.
마법의 메쉬
어쨌든, 수학과 마법 사이에 큰 차이가 없다는 사실을 인정해야 한다. 20년 전 나는 만화책 '톱로지콘(Topologicon)'을 만들었다. 지금은 품절되어 거의 찾아볼 수 없으며, 수집품으로만 존재한다. 한 페이지에는 다음과 같은 그림이 있었다:
벨린 출판사가 이 시리즈를 포기한 것은 매우 안타까운 일이다. 제작 비용이 겨우 1유로를 넘지 않는데, 13유로(배송비 별도)에 판매하는 것은, 수익률이 판매가의 92퍼센트를 넘는 12유로의 이익을 남기는 셈이지만, 흑백만으로는 상당히 비현실적인 사업 전략이었다.
R³에 정칙 임베딩된 구 S²을 생각해보자. 외부는 회색이고 내부는 오래된 핑크색이라고 가정하자. 우리는 '북극'과 '남극'이라 이름 붙인 두 반대점(대척점)을 서로 만날 때까지 눌러보자. 예를 들어 베이글로도 이 작업을 할 수 있다. 수학적 베이글의 경우(베이글이 영광스러운 몸으로 부활하는지 여부는 알 수 없지만), 두 극지역이 한 점에서 접한 후에는 자기교차하는 곡선(원 모양)을 따라 서로를 통과할 수 있다. 미리 말하면, 이 표면은 Do 유형의 붕괴를 겪었다고 할 수 있다.
그러면 베이글이나 구를 계속 뒤집어보려는 시도를 할 수 있다. 그러나 그 과정에서 주름이 생기고, 이는 심각한 접힘이나 정확히 말하면 역행 표면(figure d)으로 악화된다.
1950년대 후반, '영광스러운 베이글'을 접히지 않고 뒤집을 수 있는지 여부에 대한 중요한 질문은 여전히 해결되지 않았다. 사실, 대부분의 사람들은 이것이 절대 불가능하다고 생각했다. 그러나 1957년 수학자 스티븐 스말(Stephen Smale)은 구 S²의 R³ 내 임베딩이 유일한 집합을 이룬다는 것을 증명했다. 또한, 어떤 상태에서 다른 상태로 이어지는 연속적인 변형(정칙 호모토피라 불림)을 항상 찾을 수 있음을 보였다. 이에 따라, 구 S²의 표준 정칙 임베딩에서 대척점 정칙 임베딩으로 전환하는 것이 가능하다는 결론이 도출되었다. 간단히 말해, 구를 접히지 않고 뒤집을 수 있다는 것이었다. 다만, 구가 스스로를 뒤집을 수 있도록 허용해야 한다는 조건이 붙는다.
스말의 지도교수는 라울 보트(Raoul Bott)였다. 보트는 제자에게 어떻게 해야 하는지 물었고, 스말은 전혀 모르겠다고 답했다. 그러나 그의 정리는 완전히 무적이라고 말했다. 스말은 공간을 상상하는 데 전혀 능숙하지 않았지만, 그는 전혀 신경 쓰지 않았다(많은 기하학자들이 그렇듯). 게다가, 정리를 증명한 후에는 그 과정이 어떻게 이루어질지에 대해 전혀 신경 쓰지 않았고, 다른 주제로 관심을 옮겼다. 이로 인해 동료 수학자들은 큰 혼란에 빠졌다. 나는 이렇게 문제를 만들고 나서 10년 후에 남들이 해결하도록 놔두는 것은 그리 친절한 행동이라고 생각하지 않는다.
사실, 머릿속에서 임베딩을 상상하는 것은 매우 어렵다. 그러나 R³에 표현할 수 없는 표면들이 존재한다. 예를 들어 클라인 병이 있다.
클라인 병
여기서 클라인 병은 토러스와 유사하게 두 쌍의 닫힌 곡선으로 구성된 메시-좌표계를 사용하여 표현되었다. 이 방식으로 클라인 병을 메시화할 수 있으며, 메시의 특이점 없이 완성할 수 있다. 그러나 보는 바와 같이, 이 표면은 반드시 닫힌 곡선(원)을 따라 스스로를 통과해야 한다. 따라서 클라인 병은 R³에 정칙 임베딩할 수 없다. 나는 시도해보았지만 실패했다. 클라인 병은 오직 임베딩만 가능하다. 내 그림 실력 덕분에 이 물체를 어느 정도 상상할 수 있다. 그러나 구를 뒤집는 과정에서는 훨씬 더 복잡한 구조를 고려해야 했다. 이를 표현하는 방법은 그리 편리하지 않았다. 일부는 모형을 만들기 위해 모형 점토를 사용했다. 컨퍼런스에서 서로 논의할 때, 그들은 보통 떨어져 앉아서 신발 상자나 모자 상자 안에 있는 기괴한 물체들을 보여주곤 했다. 위의 그림은 이러한 물체를 만드는 가장 편리한 방법을 보여준다. 바로 '구리 철사'를 사용하는 것이다. 이 철사는 쉽게 구부릴 수 있지만, 여전히 탄성을 유지한다. 가장 좋은 방법은, 곡선의 교차점(2mm 지름의 막대를 권장)을 실로 묶어 고정하는 것이다. 이 방법의 장점은, 물체가 최종 형태를 갖출 때까지 실을 미끄럽게 움직일 수 있다는 점이다. 이후에는 접착제로 미끄러짐을 방지할 수 있다.
실제로 클라인 병을 사용하는 경우는 드물다. 아래는 내가 개인적으로 사용하는 클라인 병의 사진이다.
이러한 물체는 어느 정도 형태 감각이 있다면 매우 아름답다. 나는 아르스 프로방스 미술학교에서 조각 교사였을 때, 여러 개를 제작했다. 그러나 이 기법을 사용하기 전까지는 철사와 종이를 섞어 실험하는 등 많은 시행착오를 겪었다. 그 결과물은 미학적으로 매우 논란의 여지가 있었다. 기억에 남는 일은, 한 번은 마르세유에서 파리로 가는 기차를 타고, 내가 제작한 충분히 설명력 있는 표면들을 유명한 수학자 안드레 리크너비츠에게 전달해야 했다. 그 중에는, 한 극점 중심의 지도를 붙인 보이 표면이 포함되어 있었다. 결과적으로 매우 아름다운 물체가 만들어졌고, 이는 파리의 '발견의 궁전'의 10호 전시실에서 20년 동안 전시되었다. 그러나 일 년 전, 박물관 관리부는 이 표면이 시대에 뒤떨어졌다고 판단하여, 지금은 창고나 지하실에 보관되어 있다. 운 좋게도 운반 중에 깨지지 않았기를 바란다. 이 모든 이야기를 하려는 이유는, 이제는 책이나 내 18편의 과학 만화를 담은 CD-ROM(파일 형식은 PDF)을 제외하고는 보이 표면을 어디서도 볼 수 없다는 점이다. CD-ROM 구입 방법
하지만 다시 마르세유에서 파리로 가는 여정으로 돌아가자. 나는 이미 두 개의 여행 가방으로 가득 차 있었고, 세 개의 모형을 가지고 가기로 결정했다. 유일한 해결책은 목에 걸고 다니는 것이었다. 그러나 기차역 홀을 지나가며 사람들이 나를 보는 시선을 느꼈을 때, 내가 정신병원에서 나온 풍자적인 사람처럼 보였다는 것을 깨달았다. 그들에게 반박하는 것은 무의미했고, 나는 가능한 최대한의 위엄을 유지하며 그 고통을 견뎌냈다.
재미있는 점은, 이런 종류의 물체를 만드는 사람은 매우 드물다는 것이다. 미국에는 버클리 대학 수학과에 있던 수학자 찰스 퍼(Charles Pugh)가 있었다. 나중에 다시 언급할 기회가 있을 것이다. 퍼는 닭장용 철망을 다루는 데 천재적이었지만, 나는 개인적으로 구리 철사를 사용하는 기법을 더 선호했다.
이제 구의 뒤집기 문제로 돌아가자. 이 문제를 처음 해결한 사람은 기하학자 앤서니 필립스다. 그는 1967년에 과학 아메리칸에 일련의 그림을 게재하며 자신의 작업을 발표했다. 구를 뒤집는 방법은 여러 가지가 있다. 한 가지 방법은 구의 각 점을 그 점의 대척점과 일치시키는 것이다. 이 경우, 표면은 보이 표면의 형태를 띤다. 나는 항상, 보이 표면에 접합된 지구 모형을 만드는 후원자를 찾는 꿈을 꾸었다. 실현할 수 없었기 때문에, 나는 이 아이디어를 '톱로지콘'의 표지로 그렸다:
보이 표면에 접합된 지구
이러한 구조에서는 북극에 구멍을 파면, 즉시 남극으로 나가게 된다. 왜냐하면 두 점이 서로 대척점이기 때문이다. 프랑스 사람이 지하실을 파면, 뉴질랜드에 도착하게 된다.
앤서니 필립스가 제시한 방법은 실제로 구가 보이 표면의 이중 겹침(double cover) 형태로 구성되는 방식을 설명하는 것이다. 보이 표면은 명백히 단면 표면이므로, 이중 겹침이 가능하다. 만약 마법의 제품인 통과성을 가진 표면이 있다면, 표면이 스스로를 통과할 수 있게 해주는 제품이라면, 각 점을 그 대척점과 실로 연결하고, 실을 길이가 0이 되도록 수축시키면 된다. 이 변환을 쉽게 표현할 수 없다면, 구의 일부만을 고려할 수 있다. 예를 들어, 적도 근처 영역을 생각해보자. 이 표면은 두 개의 원형 경계를 가지며, 자전거 휠의 림과 비슷하다. 세 개의 반지름이 반대편 점들에 연결되어 있다. 이 반지름의 길이를 0으로 수축시키면, 이 이중면은 세 번 반전된 모비우스 띠의 이중 겹침 형태로 변형된다. 아래는 다소 거친 두 애니메이션이다. 왼쪽은 느리고 오른쪽은 빠르다.
이 세 번 반전된 모비우스 띠는 보이 표면의 '적도 근처 영역'이다. 구의 적도가 이 띠 위에 감겨 있다.
보이 표면의 '적도'
구의 두 극은 보이 표면의 유일한 극점에 일치한다. 이 표면도 클라인 병과 마찬가지로 R³에 정칙 임베딩할 수 없다. 오직 임베딩만 가능하며, 이 경우 자기교차 집합은 삼중 나선형(3개의 날개를 가진 나선) 형태를 띤다. 이 나선의 끝부분은 마치 세 개의 '귀'의 '현'처럼 보인다. 다음 페이지에서는 이 표면을 더 잘 이해할 수 있도록 도움이 되는 요소들을 제시한다. 문제가 생기면 '톱로지콘'을 구입하라.
위쪽 왼쪽에는 보이 표면이 있다. 이 표면은 단면이므로 두 가지 색을 사용할 수 없다. b에서는 삼엽형의 자기교차 집합이 나타나며, 이는 b의 나선 날과 유사하다. 이 곡선은 한 점에서 삼중 교차점 T를 형성한다. 다음 그림들은 독자가 이해하는 데 도움을 주기 위해 있다.
표면의 구조를 설명하기 위해 다양한 방법이 사용될 수 있다. 예를 들어, 띠 형태의 조각이나 부품을 붙이는 방식 등이다. 조각가라면 이 정말 매력적인 물체에서 영감을 얻을 수 있을 것이다. 간단한 역사적 배경을 덧붙이자면, 1901년 독일의 거대한 수학자 힐베르트의 학생인 베르너 보이(Werner Boy)는 누구도 생각해보지 못한 표면을 그에게 제안했다. 방학이 곧 다가오고 있었다. 힐베르트는 학생에게 말했다.
- "이 문제는 흥미로워 보인다. 원한다면, 방학 후에 다시 나를 찾아와서 함께 논의하자."
방학이 지나갔지만, 보이는 다시 나타나지 않았다. 두 달 후, 힐베르트는 그를 찾아보려 했다. 다른 학생들이 그의 주소를 알려주었고, 그는 그의 거주지로 갔다. 그러나 그의 숙소 주인은 젊은 베르너 보이가 여름 전에 키를 돌려주고 더 이상 나타나지 않았다고 말했다. 그를 찾기 위한 모든 노력은 실패했고, 그의 가족을 찾는 시도도 무산되었다. 그는 실종된 것처럼 사라졌다. 만약 독일에 간다면, 이 위대한 발명가의 묘지에 갈 수 없다. 그의 묘지는 존재하지 않는다.
마지막 그림, 아래 오른쪽에는 보이 표면 자체를 흰색으로, 그를 덮고 있는 구의 두 면을 회색과 핑크색으로 표현했다. 점 A와 A'는 이 구에서 서로 대척점이다. 이 이중 겹침이 어떻게 구를 뒤집는 데 사용될 수 있는지 이해할 수 있다. 만약 우리가 구의 외부가 분홍색, 내부가 회색인 상태에서, 아래 오른쪽의 그림으로 변형하는 연속적인 변형(정칙 호모토피)을 가진다면, 단지 두 겹을 서로 교환(자기교차시키며)하고, 점 A와 A'를 바꾸고, 역순으로 동일한 변형을 수행하면, 이번에는 외부가 회색인 대척점 정칙 임베딩된 구에 도달할 수 있다.
이와 같은 논리로, 토러스도 이중 겹침된 클라인 병의 형태로 구성될 수 있다. 이 이중 겹침은 다음과 같다.
클라인 병의 이중 겹침
토러스를 이와 같이 구성할 수 있다면, 다시 한 번 클라인 병(여기서는 표현되지 않음) 양쪽에 있는 두 겹을 교환하고, 역순으로 동일한 변형을 수행하면, 뒤집힌 토러스에 도달할 수 있다. 이 작업은 1979년 1월호의 'Pour la Science'에 B. 모린과 J.P. 페티의 기사로 발표되었다. 나는 그림을 담당했고, 모린은 글을 썼다. 그 논문에서 많은 사람을 인용했지만, 나를 언급하지 않았고, 특히 46~47페이지에 제시된 작업의 발명자라는 점을 언급하지 않았다. 그러나 동료와 긴밀히 협업할 때는 이런 일이 생긴다. 당신도 알다시피, 수년간 함께 일해오다 보니 그 존재가 너무 익숙해지고, 누구도 잊지 않으려는 마음이 커지다 보면, 결국 그 사람만을 잊게 된다. 마치 가구처럼 말이다. 자세한 내용은 1978년 11월 20일, 파리 과학 아카데미의 '보고서'에 나의 이름으로 발표된 논문 "비자명한 토러스의 뒤집기"를 참고하라. 이 논문은 아카데미원 안드레 리크너비츠에 의해 제출되었다.
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