구면의 뒤집기와 쿠스피드 점의 순열
구면의 뒤집기
2004년 12월 8일
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크로스캡의 쿠스피드 점들의 순열
이제는 약간의 중간 휴식을 가지려 합니다. "구면의 뒤집기는 과연 무엇에 쓸모가 있을까?"라는 질문을 던지며, 여기서는 크로스캡의 두 쿠스피드 점을 서로 교환하는 데 사용됩니다. 이는 처음에는 불가능해 보였습니다. 이 작은 아이디어는 약 12년 전에 제가 고안한 것입니다. 그러나 아직 아무 곳에도 발표된 바 없습니다. 그런데 이런 것을 어디에 발표하면 좋을까요? 잘 모르겠네요. 수학에서 '주요한 결과'라고 할 만한 것도 아니지만, 그래도 꽤 매력적인 연습 문제입니다. 아래에서 우리는 다각형 표현을 사용할 것입니다. 오른쪽은 '둥근' 크로스캡이고, 왼쪽은 그에 해당하는 여러 다각형 표현들 중 하나입니다.
크로스캡과 그에 해당하는 여러 다각형 표현 중 하나
아래 오른쪽의 그림에서, 자가교차선의 끝부분에 위치한 두 쿠스피드 점 C1과 C2를 구면의 일부라고 볼 수 있는 영역 안에 넣었습니다. 우리는 구면을 뒤집을 수 있다는 것을 알고 있습니다. 따라서 이 물체에도 동일한 처리를 할 수 있으며, 변환 과정의 각 단계를 신경 쓰지 않아도 됩니다. 다각형 표현에서는 이는 큐브를 뒤집는 것으로 이루어집니다.
우리가 알고 있는 것은, 작업이 끝난 후에는 초기 크로스캡의 '내부'에 위치한 관찰자가 보게 될 것과 유사한 두 종류의 내측 굴곡이 나타날 것이라는 점입니다 (이 표현은 부정확한데, 이 표면은 단면이기 때문입니다).
왼쪽의 큐브와 오른쪽의 구면을 뒤집은 후
다각형 표현은 이러한 작업의 흐름을 놓치지 않도록 매우 편리합니다. 이제 이 굴곡에 두 손가락을 넣고 전체를 바깥쪽으로 끌어내기만 하면 됩니다.
쿠스피드 점 C2를 '바깥쪽'으로 끌어내기
재미가 있다면, 종이로 다각형 모델을 만들어 보실 수 있습니다. 또는 어떤 용감한 사람이 VRML로 이 모델을 만들어서 직접 조작할 수 있게 해주면 좋겠습니다.
이제 마지막 단계를 마무리합니다.
처음 상태와 동일한 임베딩으로 전환되며, 쿠스피드 점들이 서로 교환됨
어느 날, 제가 심리분석가 자크 라캉과의 만남에 대해 기록한 문서를 만들겠다고 약속한 적이 있습니다. 그는 크로스캡을 '기본 환상'을 모델링하는 데 사용했습니다. 그는 '중앙 쿠스피드 점'에 집중했고, 두 번째 점은 간단히 무시했습니다. 이 중앙 영역에서 라캉은 '언어적 음경' 또는 '작은 a 대상'을 위치시켰습니다. 나머지는 나중에 말씀드리겠습니다. 어쨌든, 라캉은 이러한 점들이 '부모-변환'될 수 있다는 것을 전혀 예상하지 못했습니다. 사실, 그가 이 언어-기하-심리분석적 모델링에 대해 이야기했을 때, 저는 두 쿠스피드 점이 서로 다른 역할을 할 수 있다는 상상을 하며 눈썹을 찌푸렸고, 그 다음 순간에 단지 질문을 던졌을 뿐인데, 어떻게 점들을 교환할 수 있는지 바로 알게 되었습니다. 라캉은 그 사실에 매우 놀랐던 것으로 기억합니다. 그의 기본 환상에는 하나가 아니라 두 개의 언어적 음경이 존재하게 되었고, 그의 모든 이론은 이 객체 중심으로 구축되어 있었습니다. 그러나 저는 즉시 대안을 제시했고, 보이 표면의 유일한 극점에 언어적 음경을 위치시키는 방식이었습니다. 그렇게 하자, 그는 매우 만족하며 모든 것이 정리되었음을 느꼈습니다.
이 일화는 그의 사망 직전에 일어난 일입니다. 제가 관찰한 바로는, 이 심리분석적-기하학적 재구성은 아직 라캉주의 심리분석가 공동체 내에 널리 퍼지지 않은 것 같습니다.
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