구의 뒤집기와 쿠스피드 점의 순열
구의 뒤집기
2004년 12월 8일
2페이지
크로스캡의 쿠스피드 점 순열
이것은 '구의 뒤집기가 실제로 어떤 용도로 쓰일 수 있을까?'라는 질문을 다루는 짧은 부록입니다. 여기서는 크로스캡의 두 쿠스피드 점을 서로 바꾸는 데 사용됩니다. 이는 처음에는 불가능해 보였습니다. 저는 이 작은 아이디어를 약 12년 전에 처음 고안했고, 아직 공개된 바는 없습니다. 그런데 이런 것을 어디에 게재할 수 있을까요? 잘 모르겠습니다. 수학에서 '중대한 결과'라고 할 수는 없지만, 여전히 꽤 매력적인 연습 문제입니다. 아래에서는 다각형 표현을 사용하겠습니다. 오른쪽은 '둥근' 크로스캡이고, 왼쪽은 그 가능성을 보여주는 여러 다각형 표현 중 하나입니다.
다각형 표현을 가진 크로스캡
아래 오른쪽 그림에서, 자가교차선의 끝부분에 위치한 두 쿠스피드 점 C1과 C2를 구의 일부라 할 수 있는 영역 안에 넣도록 조정했습니다. 우리는 구를 뒤집을 수 있다는 것을 알고 있습니다. 따라서 이 물체에도 같은 처리를 할 수 있으며, 변환 과정의 중간 단계에 대해 신경 쓰지 않아도 됩니다. 다각형 표현에서는 이는 큐브를 뒤집는 것으로 이루어집니다.
우리가 아는 것은, 작업이 끝난 후에는 초기 크로스캡의 '내부'에 위치한 관찰자가 보게 될 것처럼 두 종류의 내측 굴곡이 나타날 것이라는 점입니다 (이 표현은 부정확한데, 이 표면은 단면이기 때문입니다).
큐브(왼쪽)와 구(오른쪽)를 뒤집은 후
다각형 표현은 이러한 작업의 흐름을 놓치지 않도록 매우 편리합니다. 이제 이 굴곡에 두 손가락을 넣고 전체를 바깥쪽으로 끌어내면 됩니다:
쿠스피드 점 C2를 '바깥쪽'으로 끌어내기
재미가 있다면, 종이로 다각형 모델을 만들어보세요. 아니면 용감한 누군가가 VRML로 이 모델을 만들면, 직접 조작할 수 있을 것입니다.
이제 마지막 단계를 마무리합니다.
처음 상태와 동일한 임베딩으로 전환되며, 쿠스피드 점들이 서로 순서가 바뀐 상태
어느 날, 저는 심리분석가 자크 라캉과의 만남을 다룬 문서를 작성하겠다고 약속한 바 있습니다. 라캉은 크로스캡을 '기본 환상'을 모델링하는 데 사용했습니다. 그는 '중앙 쿠스피드 점'에 집중했고, 두 번째 점은 간과했습니다. 이 중심 영역에서 라캉은 '언어적 음경' 또는 '작은 a 대상'을 위치시켰습니다. 나머지는 나중에 이야기하겠습니다. 중요한 점은, 라캉은 이러한 점들이 '부모-변환'될 수 있다는 것을 전혀 예상하지 못했다는 것입니다. 사실, 그가 이 언어적-기하학적-심리분석적 모델링에 대해 말했을 때, 나는 두 쿠스피드 점이 서로 다른 역할을 할 수 있다는 생각이 들었고, 그 순간 바로 이 점들을 교환하는 방법을 떠올렸습니다. 라캉은 그때 매우 당황한 기억이 납니다. 그의 기본 환상은 하나가 아니라 두 개의 언어적 음경을 갖게 되었고, 그의 모든 이론은 이 대상에 기반해 세워졌습니다. 그러나 나는 곧 대안을 제시했고, 보이의 표면의 유일한 극점에 언어적 음경을 위치시켰습니다. 그렇게 하자, 그는 매우 만족스러워하며 모든 것이 정리되었습니다.
이 일은 그의 사망 직전에 일어난 일이었습니다. 제가 관찰한 바로는, 이 심리분석적-기하학적 재구성은 여전히 라캉주의 심리분석가 사회 내에 널리 퍼지지 않은 것 같습니다.
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