구의 뒤집기
구의 뒤집기
2004년 12월 7일
3페이지
기본적인 재난들
이전에 우리는 고려하는 임베딩들이 자가교차 집합이 존재할 경우, 그 집합을 따라 접선 평면들이 서로 분리된 상태를 유지한다고 언급한 바 있다. 이 경우, 네 가지 기본적인 재난을 통해 한 임베딩에서 다른 임베딩으로 전환할 수 있다. 모린은 이 재난들에 이름을 붙였으며, 아래의 그림에 나타나 있다. 첫 번째 재난은 닫힌 곡선의 생성(또는 그 반대인 소멸)을 초래한다. 이는 씻는 욕조의 물에 팔꿈치를 담그며 온도를 확인할 때 일어나는 현상이다(왼쪽). 그림 a4: 표면들이 한 점에서 접촉하고 있다. a5에서는 자가교차 곡선이 생성되었다. 본문에서 이 과정을 '팔꿈치 재난'이라 부르기로 하겠다.
'팔꿈치 재난': 닫힌 곡선의 생성-소멸
두 번째 재난은 '민트의 조각' 재난이다:
'민트의 조각' 생성-소멸 재난
이 그림들을 왼쪽에서 오른쪽으로 잘 살펴보면, 포물선형 원통이 이면각에 접근하는 것을 볼 수 있다. 자가교차 집합은 서로 분리된 두 개의 포물선형 곡선과 더불어 명백하게 이면각의 모서리로 구성된다. 가운데 그림에서는 이면각의 모서리가 원통의 생성선 중 하나와 접촉하고 있다. 이 모서리는 그 점에서 원통에 접촉한다. 자가교차 집합은 서로 한 점에서 접하는 두 개의 포물선형 곡선과 이면각의 모서리로 이루어진다. 오른쪽 그림에서는 포물선형 원통이 계속 움직였다. 자가교차 곡선이 변화했다. 모서리와 포물선형 곡선이 이면각의 모서리 위에 두 점에서 서로 교차하는 형태로 구성된다. 반대로 원통이 정지해 있고 두 '자르는 평면'이 움직이는 것으로 볼 수도 있다. 오른쪽 그림은 마치 두 번의 도끼질이나 톱질을 한 것처럼 보인다. 조각난 부분도 함께 나타내어져 있다. 모린은 이를 '민트의 조각'에 비유했는데, 매우 생생한 이미지였다.
세 번째 재난은 '바지 재난'이다.
'바지 재난'
그림은 충분히 설명력이 있다. 왼쪽에서 오른쪽으로 바지를 물속에 내리기 시작한다. 왼쪽에서는 새가 바지 사이를 지나가지만 물고기는 한쪽 다리 안에 갇혀 있다. 오른쪽에서는 물고기가 지나가지만 새가 지나갔던 통로는 사라졌다. 가운데는 그 사이의 상태이다. 중요한 것은 교차 곡선의 국소적인 변화이며, 이는 '수술' 또는 곡선의 호를 재연결하는 변화를 의미한다. 이 변환을 잘 이해하는 것이 중요하며, 구의 뒤집기의 호모토피에서 가장 어려운 부분이 될 것이다. 이 재난이 수직 방향으로 새로운 통로를 열면서 동시에 기존의 통로를 닫는다는 점을 기억하라.
네 번째이자 마지막 재난은 '사면체의 역전'이다:
사면체를 역전시키는 재난
자기교차 곡선은 사면체의 네 변을 연장한 네 개의 '직선'으로 구성된다. 왼쪽 그림에서는 사면체를 분리하여 외부를 회색 면으로 보여주고 있다. 오른쪽 그림에서는 반대이다: 면이 분홍색이다. 가운데 그림은 중간 상태로, 사면체가 네 겹의 면이 교차하는 점 Q로 축소되었다.
이 네 가지 재난을 이용해, 연속적인 교차 임베딩의 연속적인 과정을 통해 구를 뒤집는 것을 생각해보자. 이 변형은 시각 장애를 가진 수학자 베르나르 모린이 제안한 것이다. 우리가 만난 것은 이야기할 가치가 있다. 어느 날, 문과대학의 기술자가 수학 강연을 할 강연자에게 내 그림 실력을 도와달라고 요청했다. 나는 전혀 의심 없이 그 자리에 갔다. 나는 항상 공간에서 물체를 잘 인식할 수 있었고, 고등 수학 강의에서 기하학적 묘사 문제를 다룰 때, 선생님이 문제를 제시하는 동안 나는 교차선을 그리며 동시에 원근법을 사용한 시각도를 제시할 수 있었다. 그러나 이번에는 상황이 달라졌다.
나는 위의 그림들을 그리는 데는 전혀 어려움이 없었다. 그러나 구의 뒤집기를 포함하는 도식에 그들을 통합해야 할 때, 서로 뒤덮인 여러 겹의 면들 앞에서 나는 완전히 혼란스러워했다. 매우 실망한 나는 다시 그 이상한 사람을 찾아갔다. 그는 시력을 잃었지만, 형태의 전개 속에서 나보다 훨씬 더 편안해 보였다. 나는 이후 몇 달 동안 그의 수업을 들었다. 대화는 매우 복잡했다. 그는 말 외에는 다른 수단이 없었고, 나는 그에게 내 그림을 설명하거나, 집에 돌아와 만든 모형을 그의 손에 넘기거나, 나중에는 현장에서 직접 만들 수 있었다. 이 대화들을 녹음했더라면, 정말 초현실적인 대화였을 것이다. 예를 들어:
- 두 개의 곡선이 달걀 털이용 휘어진 끈처럼 만나는 것을 상상해 보세요.
이 사람의 성격이 어려웠지만, 그 만남은 나에게 잊을 수 없는 기억이 되었다. 결국 나는 작업 세션 전에 예방 차원에서 두 알의 아스피린을 먹는 습관을 들였다. 그의 성격은 그의 아내가 붙인 별명으로 요약할 수 있다: '복된 번개'. 이는 에르게의 만화 '틴틴 티베트'에 등장하는 인물이다. 모린의 복수심은 전설적이며, 되돌릴 수 없었다. 그는 죽은 일부 적들을 언급할 때, 이렇게 말하기도 했다:
- 가끔 그들에게는 죽은 뒤에도 작은 저주를 보내주곤 해. 아무리 아프지 않더라도, 최소한 해를 끼치지는 못할 거야.
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